Zoran Skoda
logaritam

Logaritamska funkcija xlog a(x)x\mapsto log_a(x) s bazom (koja je pozitivni realni broj) aa je inverzna eksponencijalnoj funkciji? xa xx\mapsto a^x s istom bazom aa. Ako je a>1a\gt 1 tada je logaritamska funkcija strogo uzlazna funkcija log a: +log_a : \mathbb{R}_+\to\mathbb{R} koja je negativna za brojeve strogo između 00 i 11. Samim time što vidimo da je strogo uzlazna (recimo, kao inverz strogo uzlazne) to je injekcija. Ako je 0<a<10\lt a\lt 1 tada je log a: +log_a: \mathbb{R}_+\to\mathbb{R} strogo silazna funkcija, koja je negativna za brojeve strogo veće od 11.

Dakle, logaritam log axlog_a x pozitivnog realnog broja xx po bazi aa je broj na koji moramo potencirati bazu aa da bi dobili xx. To možemo izreći definicijskom formulom

a log a(x)=x a^{log_a(x)} = x

Ako označimo p=log a(x)p = log_a(x) tada ta jednakost glasi a p=xa^p = x pa dakle p=log a(a p)p = log_a(a^p). Npr. log 3(81)=log 3(3 4)=4log_3(81) = log_3(3^4) = 4.

Npr. 2 3=82^3 = 8 znači da je 3=log 283=log_2 8. Slično, (13) 2=9\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9 znači da log 1/29=2log_{1/2}9 = -2. Iz definicije log aa p=plog_a a^p = p je očito pri promatranju slučajeva p=0,1,1p = 0,1,-1 da za svaki a>0a\gt 0 vrijedi

log a1=0,log aa=1,log a1a=log 1/aa=1. log_a 1 = 0,\,\,\,\,\,\,\,log_a a = 1,\,\,\,\,\,\,\,log_a \frac{1}{a} = log_{1/a}a = -1.

Jedna vrijednost je očita

a xa y=a x+ya^x\cdot a^y = a^{x+y}, dobivamo za x=log a(A)x = log_a(A) i y=log a(B)y = log_a(B) da ke

AB=a log a(A)a log a(B)=a log a(A)+log a(B),A\cdot B = a^{log_a(A)}\cdot a^{log_a(B)} = a^{log_a(A)+log_a(B)},

i ako lijevu i desnu stranu logaritmiramo dobivamo

log a(AB)=log a(A)+log a(B)log_a(A\cdot B) = log_a(A)+log_a(B)

dakle, logaritam umnoška jednak je zbroju logaritama (s istom bazom).

Slično,

log a(AB)=log aAlog aB, log_a\left(\frac{A}{B}\right) = log_a A - log_a B,

dakle, logaritam količnika jednak je razlici logaritama (s istom bazom). Ako je A=1A =1 to nam daje log a1B=log aBlog_a \frac{1}{B} = - log_a B. Npr. log 28=3log_2 8 = 3, log 218=3log_2 \frac{1}{8} = -3. Primijeti da također log 1/28=3log_{1/2} 8 = -3.

Logaritam potencije se može izračunati kao eksponent pomnožen logaritmom baze. Zaista,

a rlog a(b)=(a log a(b)) r=b r=a log a(b r) a^{r log_a(b)} = (a^{log_a(b)})^r = b^r = a^{log_a(b^r)}

pa, kako je eksponencijalne funkcija injekcija, vrijedi rlog a(b)=log a(b r)r log_a(b) = log_a(b^r).

Logaritmi s različitim bazama se mogu uspoređivati. Naime, za eksponencijalnu funkciju vrijedi (a x) y=a xy(a^x)^y = a^{x\cdot y} (potenciju potenciramo tako da je svedemo na jednostavnu potenciju koja ima istu bazu kao i početna potencija, a eksponent je umnožak eksponenata). Dakle, ako je a x=Aa^x = A, tj. x=log aAx = log_a A, tada je a xy=(a x) y=A ya^{x\cdot y} = (a^x)^y = A^y. Iz tog slijedi da y=log AA yy = log_A A^y, (log aA)y=xy=log aA y(log_a A) y = x y = log_a A^y dakle

log aB=log ABlog aA log_a B = log_A B \cdot log_a A

jer svaki pozitivni broj BB možemo napisati kao A yA^y za neki yy.

To znači da su logaritmi istog broja za različite baze aa i AA povezani reskaliranjem (dakle pomnožimo) s konstantom log aAlog_a A.

Možemo do istog rezultata doći i ovako. Primijetimo da ako log b sx=alog_{b^s} x = a tada b sa=(b s) a=xb^{s a} = (b^s)^a = x pa je log bx=salog_b x = s a. Dakle log b sx=1slog bxlog_{b^s} x = \frac{1}{s} log_b x (to je isto kao i gornje formule, jer s=log bb ss = log_b b^s i 1s=log b sb\frac{1}{s} = log_{b^s} b) pa npr. log 27=5log 2 57log_2 7 = 5 log_{2^5} 7, tj. log 2 57=15log 27log_{2^5} 7 = \frac{1}{5}log_2 7.

Posebno je važan logaritam s bazom e=2,7182818...e = 2,7182818... koji zovemo prirodni logaritam i označavamo ga s ln(x)=log e(x)ln(x) = log_e(x).

Broj ee je zbroj

e=1+12!+13!+14!+15!+ e = 1 + \frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+\ldots

gdje n!=n(n1)(n2)21n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1 označava funkciju faktorijela.

Primjeri.

log 48=log 42 3=log 4(4 1/2) 3=log 44 3/2=3/2 log_4 8 = log_4 2^3 = log_4 (4^{1/2})^3 = log_4 4^{3/2} = 3/2
2 log 46=(4 1/2) log 46=4 12log 46=4 log 46 1/2=6 1/2=6 2^{log_4 6} = (4^{1/2})^{log_4 6} = 4^{\frac{1}{2} log_4 6} = 4^{log_4 6^{1/2}} = 6^{1/2} = \sqrt{6}

Tu smo koristili samo supstituciju 2=4 1/22 = 4^{1/2} i pravila potenciranja potencije i logaritmiranja potencije.

Alternativno (vidi gore reskaliranje), možemo koristiti log 2 sx=1slog 2xlog_{2^s} x = \frac{1}{s} log_2 x pa

2 log 46=2 log 2 2(6)=2 12log 26=2 log 26 1/2=6 1/2=6 2^{log_4 6} = 2^{log_{2^2}(6)} = 2^{\frac{1}{2}log_2 6} = 2^{log_2 6^{1/2}} = 6^{1/2} = \sqrt{6}

category: zadarmat3

Last revised on March 5, 2018 at 16:54:58. See the history of this page for a list of all contributions to it.