Zoran Skoda mat2-030321

Prethodno zapisano predavanje je mat2-250221. Slijedeće djelomično zapisano predavanje je na mat2-100321.pdf

Ponavljanje aksioma planimetrije (usmeno, nismo pisali)

Geometrijsko mjesto točaka (čega ? izražava neko svojstvo!) je skup SVIH točaka ravnine koje zadovoljavaju neko zadano svojstvo.

Kružnica je geometrijsko mjesto točaka ravnine (skup točaka ravnine) čija udaljenost od zadane fiksne točke $S$ koju zovemo središte kružnice je fiksni pozitivni realni broj.

$$K(S,r) = \{ A \in M | d(A,S) = r \}$$

Krug

$$B(S,r) = \{ A \in M | d(A,S) \leq r \}$$

Točke ravnine koje nisu u krugu zovemo vanjština kruga.

Međusobni položaji dva pravca:

paralelni (presjek je prazan skup)

jedna točka (ako su dvije onda su jednaki) – unakrsni pravci

identični (p = q)

Međusobni položaji pravca i kružnice

ne sijeku se

sijeku se u dvije točke, dužina između dviju točki se zove tetiva kružnice, a pravac je sekanta kružnice

sijeku se u jednoj točki, pravac je tangenta (definicija: pravac je tangenta na kružnicu ako je u svakoj točki presjeka s kružnicom okomit na kružnicu)

Međusobni položaj dviju kružnica

ne sijeku se – jedan krug unutar drugog (koji može biti koncentričan) ili da su izvana

sijeku se u dvije točke

sijeku se u jednoj točki $T$,

izvana se diraju

$r_1 + r_2 = d(S_1,S_2)$, na istom pravcu su sjecište i oba središta koja su na raznim stranama od sjecišta

$d(S_1, T) + d(T, S_2) = d(S_1,S_2)$

iznutra se diraju:

$| r_1 - r_2 | = d(S_1,S_2)$

podudaraju se

Svojstva izometrija: šalju pravce u pravce, polupravce u polupravce itd.

Kut = dva polupravca s istim vrhom

Orijentirani kut = dva polupravca s isti vrhom, s tim da znamo koji je prvi, a koji je drugi

Kutni isječak = presjek poluravnina s obzirom na pravce na kojima leže polupravci kuta i takvi da svaki polupravac ležu u izabranoj poluravnini s obzirom na drugi pravac

Dva su kuta (kao par polupravaca) kongruentna ako postoji izomorfizam koji šalje jedan u drugi bijektivno kao skupove točaka.

Dva orijentirana kuta su kongruentna ako postoji izomorfizam koji šalje prvi krak prvog kuta bijektivno u prvi krak drugog kuta i drugi krak prvog kuta u drugi krak drugog kuta bijektivno.

Dva su skupa točaka ravnine sukladna ako postoji izometrija koja šalje prvi u drugi bijektivno.

Neka je $l \geq 0$ broj. Kažemo da je preslikavanje ravnine u samu sebe $f:M\to M$ preslikavanje sličnosti s koeficijentom $l$ ako vrijedi da za svake dvije točke $A,B\in B$ vrijedi

$$d(f(A),f(B)) = l d(A,B)$$

Svako preslikavanje sličnosti je bijekcija. Inverzno preslikavno preslikavanju sličnosti je i samo preslikavanje sličnosti s koefijentom sličnosti $1/l$. Izometrija je preslikavanje sličnosti s koeficijentom $l=1$.

Dva su (nekolinearna) skupa ravnine sukladna (druga definicija) ako postoji bijekcija koja šalje prvi u drugi i takva da vrhove svakog trokuta šalje u vrhove trokuta koji ima kongruentne kuteve i sukladne pripadne stranice (to je drugi način da se kaže da su trokuti sukladni).

Dva su skupa ravnine slična ako postoji sličnost koja šalje jedan u drugi ili ekvivalentno, ako postoji preslikavanje ravnine u samu sebe koja šalje taj skup u samog sebe, a svaki trokut u sličan trokut (pripadni nutarnji kutevi trokuta su kongruentni i stranice sukladne/jednake duljine).

Involucija je preslikavanje skupa u samog sebe takvo da je kompozicija sa samim sobom identiteta.

Teorem. Osna simetrija $s_p$ s obzirom na pravac $p$ je involucija. $s_p(x) = x$ onda i samo onda ako $x\in p$. Osna simetrija mijenja poluravninu u drugu poluravninu. Polovište spojnice od $x$ do $s_p(x)$ je na pravcu $p$ i pravac $x s_p(x)$ na kojem je ta spojnica je okomit na pravac $p$.

Komentari:

Neka je $T$ polovište dužine $x s_p(x)$

$d(x,T) = d(T,s_p(x))$ po definiciji polovišta

$= d(s_p(x),s_p(T))$

svaka izometrija šalje pravce u pravce pa ovaj pravac šalje u samog sebe, polovište u samog sebe. Znači da je polovište na samom pravcu.