Zoran Skoda mat2-250221

Prethodno predavanje mat2-240221, slijedeće mat2-030321, stranica kolegija zadarmat2.

Na prethodnom predavanju 24.2., obradili smo stranicu aksiomi planimetrije, odnosno njen dio koji se odnosi na opći uvod, aksiome incidencije i aksiome uređaja, a 25.2. prvih nekoliko paragrafa na stranici kut. Uz to promatrali smo pojam simetrale dužine.

Za dane dvije različite točke $A$ i $B$, dužina $\overline{A B}$ je skup točaka ravnine $M$ koje leže između $A$ i $B$. Drugim riječima $T\in M$ pripada dužini ako je na pravcu $A B$ i ako je po jednom od dva geometrijski istaknuta linearna uređaja na pravcu iza $A$, a ispred $B$. Točke $A$ i $B$ zovemo krajevima dužine.

Polovište dužine $\overline{A B}$ je točka $C$ na pravcu $A B$ koja je jednako udaljena od krajeva dužine, odnosno $d(A C) = d(B C)$. Takva točka je jedinstvena i dobiva se na osnovu aksioma III-4. Naime, promatrajmo polupravac pravca $\overline{A B}$ s vrhom $A$ i koji gleda na stranu prema $B$ i uzmimo $r = \frac{1}{2}d(A,B)$. Tada po III-4 postoji jedinstvena točka $C$ na tom polupravcu takva da je $d(A,C) = r$. Kako je za svaku točka $T$ na polupravcu $A\leq T$ to je ili $B$ između $A$ i $C$ ili $C$ između $A$ i $B$. Prva mogućnost je nemoguća jer bi tada prema III-3b bilo

$$d(A,B)+ d(B,C) = d(A,C) = \frac{1}{2}d(A,B),$$

iz čega bi slijedilo $d(B,C) = -\frac{1}{2}d(A,B)\lt 0$ što je nemoguće prema III-1 (pozitivnost udaljenosti). Dakle $C$ je između $A$ i $B$ i stoga, prema III-3a, $d(A,C)+d(C,B) = d(A,B)$ pa je

$$d(B,C) = d(C,B)= d(A,B)-d(A,C) = \frac{1}{2}d(A,B).$$

Simetrala dužine = skup svih točaka ravnine koje su jednako udaljene od krajeva dužine

$A, B$ su vrhovi dužine, a simetrala je skup

$$\{ C \in M | d(A,C) = d(B,C) \}$$

Teorem: taj skup je pravac i taj pravac je okomit na pravac $A B$

Što znači OKOMIT ???

Dva pravca $p, q$ su okomita i pišemo $p\perp q$ ako su različita i osna simetrija s obzirom na $p$ šalje $q$ (kao skup) na samog sebe (ali ne po točkama! samo njihovo sjecište idu samog sebe)

Pokaže se i da osna simetrija u odnosu na q šalje p u samog sebe pa he relacija simetrična. Relacija biti okomit nije tranzitivna, na primjer $p\perp q \perp p$ ali nije $p\perp p$.