Zoran Skoda mat2-250221

Prethodno predavanje mat2-240221, slijedeće mat2-030321, stranica kolegija zadarmat2.

Na prethodnom predavanju 24.2., obradili smo stranicu aksiomi planimetrije, odnosno njen dio koji se odnosi na opći uvod, aksiome incidencije i aksiome uređaja, a 25.2. prvih nekoliko paragrafa na stranici kut. Uz to promatrali smo pojam simetrale dužine.

Za dane dvije različite točke AA i BB, dužina AB¯\overline{A B} je skup točaka ravnine MM koje leže između AA i BB. Drugim riječima TMT\in M pripada dužini ako je na pravcu ABA B i ako je po jednom od dva geometrijski istaknuta linearna uređaja na pravcu iza AA, a ispred BB. Točke AA i BB zovemo krajevima dužine.

Polovište dužine AB¯\overline{A B} je točka CC na pravcu ABA B koja je jednako udaljena od krajeva dužine, odnosno d(AC)=d(BC)d(A C) = d(B C). Takva točka je jedinstvena i dobiva se na osnovu aksioma III-4. Naime, promatrajmo polupravac pravca AB¯\overline{A B} s vrhom AA i koji gleda na stranu prema BB i uzmimo r=12d(A,B)r = \frac{1}{2}d(A,B). Tada po III-4 postoji jedinstvena točka CC na tom polupravcu takva da je d(A,C)=rd(A,C) = r. Kako je za svaku točka TT na polupravcu ATA\leq T to je ili BB između AA i CC ili CC između AA i BB. Prva mogućnost je nemoguća jer bi tada prema III-3b bilo

d(A,B)+d(B,C)=d(A,C)=12d(A,B),d(A,B)+ d(B,C) = d(A,C) = \frac{1}{2}d(A,B),

iz čega bi slijedilo d(B,C)=12d(A,B)<0d(B,C) = -\frac{1}{2}d(A,B)\lt 0 što je nemoguće prema III-1 (pozitivnost udaljenosti). Dakle CC je između AA i BB i stoga, prema III-3a, d(A,C)+d(C,B)=d(A,B)d(A,C)+d(C,B) = d(A,B) pa je

d(B,C)=d(C,B)=d(A,B)d(A,C)=12d(A,B).d(B,C) = d(C,B)= d(A,B)-d(A,C) = \frac{1}{2}d(A,B).

Simetrala dužine = skup svih točaka ravnine koje su jednako udaljene od krajeva dužine

A,BA, B su vrhovi dužine, a simetrala je skup

{CM|d(A,C)=d(B,C)} \{ C \in M | d(A,C) = d(B,C) \}

Teorem: taj skup je pravac i taj pravac je okomit na pravac ABA B

Što znači OKOMIT ???

Dva pravca p,qp, q su okomita i pišemo pqp\perp q ako su različita i osna simetrija s obzirom na pp šalje qq (kao skup) na samog sebe (ali ne po točkama! samo njihovo sjecište idu samog sebe)

Pokaže se i da osna simetrija u odnosu na q šalje p u samog sebe pa he relacija simetrična. Relacija biti okomit nije tranzitivna, na primjer pqpp\perp q \perp p ali nije ppp\perp p.

Last revised on February 28, 2023 at 12:14:07. See the history of this page for a list of all contributions to it.