Zoran Skoda
matrice

Matrice su uređene tablice s m×nm\times n brojeva.

A=(A 11 A 12 A 1n A 21 A 22 A 2n A m1 A m2 A mn) A = \left(\array{ A_{1 1} & A_{1 2} &\ldots & A_{1 n} \\ A_{2 1} & A_{2 2} &\ldots & A_{2 n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ A_{m 1} & A_{m 2} &\ldots & A_{m n} }\right)

Matrice iste veličine zbrajamo, tako da elemente na istim mjestima zbrojimo (tj. (A+B) ij=A ij+B ij(A + B)_{i j}= A_{i j} + B_{i j}). Matrice različite veličine ne možemo zbrajati. Npr.

(4 2 0 0 1 0)+(6 6 1 1 1 9)=(4+6 2+6 0+1 0+1 11 0+9)=(2 8 1 1 2 9)\left(\array{ -4 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 }\right)+\left(\array{ 6 & 6 & 1 \\ 1 & -1 & 9 }\right) = \left(\array{ -4+ 6 & 2+6 & 0+1\\ 0+1 & -1-1 & 0+9 }\right) = \left(\array{ 2 & 8 & 1\\ 1 & -2 & 9 }\right)

Matrice množimo samo ako je broj stupaca u prvoj matrice jednak broju redaka u drugoj matrici. Tj. množimo m×nm\times n matricu s n×pn\times p matricom i dobijemo m×pm\times p matricu. Na mjestu iji j napišemo sumu produkata elemenata ii-tog reda prve matrice s odgovarajućim elementima jj-tog stupca druge matrice. Npr.

(1 2 1 2 3 0 3 5 7)(0 6 2 2 0 1 1 1 2)=(10+22+(1)1 16+20+(1)(1) 12+21+(1)(2) 20+32+01 26+30+0(1) 22+31+0(2) 30+52+71 36+50+7(1) 32+51+7(2)) \left(\array{ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 0\\ 3 & 5 & 7 }\right)\left(\array{ 0 & 6 & 2 \\ 2 & 0 & 1\\ 1 & -1 & -2 }\right) = \left(\array{ 1\cdot 0+2\cdot 2 + (-1)\cdot 1 & 1\cdot 6+2\cdot 0 + (-1)\cdot (-1) & 1\cdot 2+2\cdot 1 + (-1)\cdot (-2) \\ 2\cdot 0 + 3\cdot 2+ 0\cdot 1& 2\cdot 6+ 3\cdot 0+ 0\cdot(-1) & 2\cdot 2+ 3\cdot 1+ 0\cdot (-2)\\ 3\cdot 0 + 5\cdot 2 + 7\cdot 1 & 3\cdot 6 + 5\cdot 0 + 7\cdot (-1) & 3\cdot 2 + 5\cdot 1 + 7\cdot (-2) }\right)

Dakle, rezultat je (nakon zbrajanja)

(3 7 6 6 12 7 17 11 3) \left(\array{ 3& 7 & 6 \\ 6& 12 & 7\\ 17 & 11 & -3 }\right)

Primijetite da općenito ABBAA B \neq B A, pa čak jedna strana jednadžbe (ako su takve veličine matrica) može biti definirana, a druga ne (npr. 2×32\times 3 matricu možemo množiti s 3×73\times 7 matricom ali ne možemo obratno).

Matrica je kvadratna ako je broj njenih redaka jednak broju njenih stupaca.

Matricu množimo brojem ss tako da svaki njen element pomnožimo tim brojem. Isti rezultat dobijemo ako množimo kvadratnom matricom odgovarajuće veličine koja ima broj ss svuda na dijagonali (“skalarna matrica”, vidi niže), a 00 na drugim mjestima.

Npr.

5(3 7 6 6 12 7 17 11 3)=(5 0 0 0 5 0 0 0 5)(3 7 6 6 12 7 17 11 3)=(15 35 30 30 60 35 85 55 15) 5 \cdot \left(\array{ 3& 7 & 6 \\ 6& 12 & 7\\ 17 & 11 & -3 }\right) = \left(\array{ 5& 0 & 0 \\ 0& 5 & 0\\ 0 & 0 & 5 }\right)\left(\array{ 3& 7 & 6 \\ 6& 12 & 7\\ 17 & 11 & -3 }\right) = \left(\array{15& 35 & 30 \\ 30& 60 & 35\\ 85 & 55 & -15 }\right)

Kvadratna matrica se zove dijagonalna ako su njeni svi elementi koji nisu na glavnoj dijagonali (gore lijevo-dolje desno) nula, a jedino elementi na dijagonali mogu biti različiti od nule. Dijagonalna matrica je skalarna matrica ako su svi njeni elementi na glavnoj dijagonali međusobno jednaki.

Kvadratnu matricu veličine m×mm\times m, koja ima jedinice na dijagonali i 00 na svim ostalim mjestima, zovemo jediničnom m×mm\times m matricom. Koriste se oznake tipa 1 m×m1_{m\times m}, I m×mI_{m\times m} i slične.

Matricu zovemo realnom ako su svi njeni elementi realni brojevi i kompleksnom ako su njeni elementi kompleksni brojevi.

Ako je i=1i = \sqrt{-1}, tada je, primjerice, (2+i i i 2+i)\left(\array{2 + i & -i\\ i & 2+i}\right) kvadratna kompleksna matrica.

Podrazumijevamo da su elementi matrice uzeti iz nekog polja brojeva FF. Skup svih kvadratnih n×nn\times n matrica s elementima u polju FF (“matrica nad FF”) označavamo s Mat n(F)Mat_n(F) i zatvoren je s obzirom na množenje i zbrajanje matrica čineći algebarsku strukturu komutativnog prstena. Važna je funkcija determinanta

det:Mat n(F)F det : Mat_n(F)\to F

koja matrici AA pridružuje broj koji zovemo determinanta matrice AA i pišemo det(A)det(A), za njenu definiciju i svojstva vidi determinanta.

category: zadarmat3, zadarmat4

Last revised on January 25, 2018 at 08:03:32. See the history of this page for a list of all contributions to it.