Zoran Skoda matrice

Matrice su uređene tablice s $m\times n$ brojeva.

$$A = \left(\array{ A_{1 1} & A_{1 2} &\ldots & A_{1 n} \\ A_{2 1} & A_{2 2} &\ldots & A_{2 n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ A_{m 1} & A_{m 2} &\ldots & A_{m n} }\right)$$

Matrice iste veličine zbrajamo, tako da elemente na istim mjestima zbrojimo (tj. $(A + B)_{i j}= A_{i j} + B_{i j}$). Matrice različite veličine ne možemo zbrajati. Npr.

$$\left(\array{ -4 & 2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 }\right)+\left(\array{ 6 & 6 & 1 \\ 1 & -1 & 9 }\right) = \left(\array{ -4+ 6 & 2+6 & 0+1\\ 0+1 & -1-1 & 0+9 }\right) = \left(\array{ 2 & 8 & 1\\ 1 & -2 & 9 }\right)$$

Matrice množimo samo ako je broj stupaca u prvoj matrice jednak broju redaka u drugoj matrici. Tj. množimo $m\times n$ matricu s $n\times p$ matricom i dobijemo $m\times p$ matricu. Na mjestu $i j$ napišemo sumu produkata elemenata $i$-tog reda prve matrice s odgovarajućim elementima $j$-tog stupca druge matrice. Npr.

$$\left(\array{ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 0\\ 3 & 5 & 7 }\right)\left(\array{ 0 & 6 & 2 \\ 2 & 0 & 1\\ 1 & -1 & -2 }\right) = \left(\array{ 1\cdot 0+2\cdot 2 + (-1)\cdot 1 & 1\cdot 6+2\cdot 0 + (-1)\cdot (-1) & 1\cdot 2+2\cdot 1 + (-1)\cdot (-2) \\ 2\cdot 0 + 3\cdot 2+ 0\cdot 1& 2\cdot 6+ 3\cdot 0+ 0\cdot(-1) & 2\cdot 2+ 3\cdot 1+ 0\cdot (-2)\\ 3\cdot 0 + 5\cdot 2 + 7\cdot 1 & 3\cdot 6 + 5\cdot 0 + 7\cdot (-1) & 3\cdot 2 + 5\cdot 1 + 7\cdot (-2) }\right)$$

Dakle, rezultat je (nakon zbrajanja)

$$\left(\array{ 3& 7 & 6 \\ 6& 12 & 7\\ 17 & 11 & -3 }\right)$$

Primijetite da općenito $A B \neq B A$, pa čak jedna strana jednadžbe (ako su takve veličine matrica) može biti definirana, a druga ne (npr. $2\times 3$ matricu možemo množiti s $3\times 7$ matricom ali ne možemo obratno).

Matrica je kvadratna ako je broj njenih redaka jednak broju njenih stupaca.

Matricu množimo brojem $s$ tako da svaki njen element pomnožimo tim brojem. Isti rezultat dobijemo ako množimo kvadratnom matricom odgovarajuće veličine koja ima broj $s$ svuda na dijagonali (“skalarna matrica”, vidi niže), a $0$ na drugim mjestima.

Npr.

$$5 \cdot \left(\array{ 3& 7 & 6 \\ 6& 12 & 7\\ 17 & 11 & -3 }\right) = \left(\array{ 5& 0 & 0 \\ 0& 5 & 0\\ 0 & 0 & 5 }\right)\left(\array{ 3& 7 & 6 \\ 6& 12 & 7\\ 17 & 11 & -3 }\right) = \left(\array{15& 35 & 30 \\ 30& 60 & 35\\ 85 & 55 & -15 }\right)$$

Kvadratna matrica se zove dijagonalna ako su njeni svi elementi koji nisu na glavnoj dijagonali (gore lijevo-dolje desno) nula, a jedino elementi na dijagonali mogu biti različiti od nule. Dijagonalna matrica je skalarna matrica ako su svi njeni elementi na glavnoj dijagonali međusobno jednaki.

Kvadratnu matricu veličine $m\times m$, koja ima jedinice na dijagonali i $0$ na svim ostalim mjestima, zovemo jediničnom $m\times m$ matricom. Koriste se oznake tipa $1_{m\times m}$, $I_{m\times m}$ i slične.

Matricu zovemo realnom ako su svi njeni elementi realni brojevi i kompleksnom ako su njeni elementi kompleksni brojevi.

Ako je $i = \sqrt{-1}$, tada je, primjerice, $\left(\array{2 + i & -i\\ i & 2+i}\right)$ kvadratna kompleksna matrica.

Podrazumijevamo da su elementi matrice uzeti iz nekog polja brojeva $F$. Skup svih kvadratnih $n\times n$ matrica s elementima u polju $F$ (“matrica nad $F$”) označavamo s $Mat_n(F)$ i zatvoren je s obzirom na množenje i zbrajanje matrica čineći algebarsku strukturu komutativnog prstena. Važna je funkcija determinanta

$$det : Mat_n(F)\to F$$

koja matrici $A$ pridružuje broj koji zovemo determinanta matrice $A$ i pišemo $det(A)$, za njenu definiciju i svojstva vidi determinanta.

category: zadarmat3, zadarmat4