Zoran Skoda
determinanta

Determinanta kvadratne n×nn\times n-matrice je broj koji za 1×11\times 1 matricu je sam broj koji je njen jedini član, a rekurzivno ga možemo odrediti za n×nn\times n-matricu razvojem po bilo kojem retku ili stupcu.

Neka je dakle A=(a ij)A = (a_{i j}) matrica s nn redaka i nn stupaca. i želimo je razviti po kk-tom redu. Tada je vrijednost determinante

detA=|A|= i=1 n(1) k+ia kidetA k^i^ det A = |A| = \sum_{i=1}^n (-1)^{k +i} a_{k i} det A_{\hat{k}\hat{i}}

gdje je A k^i^A_{\hat{k}\hat{i}} ona (n1)×(n1)(n-1)\times (n-1) matrica koja se dobije od matrice AA tako da prekrižimo kk-ti redak i ii-ti stupac, tj. isti redak i stupac u kojem je član a kia_{k i}.

Npr. determinanta 2×22\times 2-matrice (a b c d)\left(\array{a & b\\c & d}\right) je adbca d - b c. Matrica 3×33\times 3 marice (a ij)(a_{i j}) razvojem po prvom retku je

|a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 2,3 a 31 a 32 a 33|=a 11|a 22 a 23 a 32 a 33|a 12|a 21 a 23 a 31 a 33|+a 13|a 21 a 22 a 31 a 33| \left|\array{a_{1 1} & a_{1 2} & a_{1 3}\\ a_{2 1}& a_{2 2} & a_{2,3}\\ a_{3 1}& a_{3 2} & a_{3 3} }\right| = a_{1 1} \left|\array{a_{2 2} & a_{2 3}\\ a_{3 2}& a_{3 3}}\right| - a_{1 2}\left|\array{a_{2 1} & a_{2 3}\\ a_{3 1}& a_{3 3}}\right| + a_{1 3}\left|\array{a_{2 1} & a_{2 2}\\ a_{3 1}& a_{3 3}}\right|

Za kvadratnu matricu kažemo da je regularna ako ima obostrani inverz s obzirom na množenje. Matrica je regularna ako i samo ako je njena determinanta različita od nule.

Determinanta ima neka dobra svojstva koja pojednostavljuju računanje.

Ako matrica ima jedine elemente različite od nule na glavnoj dijagonali a iia_{i i} tada je determinante jednostavno umnožak tih elemenata.

Ako zamijenimo dva retka matrice tada se determinanti samo promijeni predznak.

Ako zamijenimo dva stupca matrice tada se determinanti samo promijeni predznak.

Ako jednom retku dodamo višekratnik nekog drugog retka determinanta se ne mijenja.

Ako jednom stupcu dodamo višekratnik drugog stupca determinanta se ne mijenja.

Stupci matrice su linearno nezavisni kao vektor-stupci ako i samo ako je matrica regularna, odnosno ako joj je determinanta nula.

Retci matrice su linearno nezavisni kao vektor-retci ako i samo ako je matrica regularna, odnosno ako joj je determinanta nula.

Ako jedan redak ili stupac matrica pomnožimo brojem onda se i njena determinanta pomnoži tim brojem.

Npr.

|1 2 3 4 5 6 7 8 9|==|1 2 3 3 3 3 7 8 9|=|1 2 3 3 3 3 6 6 6|=0 \left|\array{ 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9}\right| = = \left|\array{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 3 & 3\\ 7 & 8 & 9}\right| = \left|\array{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 3 & 3\\ 6 & 6 & 6}\right| = 0

jer su retci 3,3,3 i 6,6,6 proporcionalni pa dakle zavisni.

Cramerovo pravilo. Promatrajmo sustav nn-jednadžbi koji možemo napisati kao jednu vektorsku jednadžbu oblika Ar=bA \vec{r} = \vec{b} gdje je AA kvadratna matrica, a r\vec{r} vektor stupac nepoznanica i b\vec{b} vektor stupac brojeva. Formirajmo matrice A iA_i tako da ii-ti stupac u AA zamijenimo s b\vec{b}. Tada izvorni sustav ima jedinstveno rješenje akko je matrica AA regularna, tj. detA0det A\neq 0 i tada je rješenje sustava dano Cramerovim pravilom

r i=detA idetA,i=1,,n. r_i = \frac{det A_i}{det A},\,\,\,\,\,\,\,i = 1,\ldots,n.

Npr. sustav

3x+4y=11 2x+3y=17\array{ 3 x + 4 y = 11\\ 2 x + 3 y = 17 }

Možemo napisati kao

(3 4 2 3)(x y)=(11 17)\left(\array{ 3 & 4\\ 2 & 3 }\right) \left(\array{x \\ y}\right) = \left(\array{ 11 \\ 17} \right)

Tada je detA=3342=1det A = 3\cdot 3- 4\cdot 2 = 1. Tada nam je mnemotehnički lakše pisati A x,A yA_x, A_y umjesto A 1,A 2A_1,A_2 i vrijedi

A x=(11 4 17 3),A y=(3 11 2 17), A_x = \left(\array{ 11 & 4\\ 17 & 3 }\right),\,\,\,\,\,\,\,A_y = \left(\array{ 3 & 11\\ 2 & 17 }\right),

pa je detA y=317112=5122=29det A_y = 3\cdot 17 - 11\cdot 2 = 51 - 22 = 29 i detA x=113417=3368=35det A_x = 11\cdot 3 - 4\cdot 17 = 33 - 68 = -35. To su ujedno i vrijednosti xx i yy jer je determinanta od AA upravo jednaka 11, naime y=detA y/detA=29/1=29y = det A_y/det A = 29/1 = 29 i x=detA x/detA=35/1=35x = det A_x/det A = -35/1 = -35. Provjerimo da je rješenje dobro uvrštavanjem u početni sustav, 3(35)+329=105+116=113\cdot(-35)+3\cdot 29 = -105+116 = 11 i 2(35)+329=70+87=172\cdot(-35)+3\cdot 29 = -70+87=17.

category: zadarmat3, zadarmat4

Last revised on January 11, 2018 at 12:51:26. See the history of this page for a list of all contributions to it.