Zoran Skoda
polinom

Realni brojevi čine polje

Skup realnih brojeva \mathbb{R} dolazi s dvije algebarske (“računske”) operacije ++ i \cdot, obje komutativne, asocijativne i s neutralnim elementima redom 00 i 11, svaki element ima suprotni element s obzirom na zbrajanje te svaki element osim nule ima inverz s obzirom na množenje (pa su oduzimanje i dijeljenje definirani svuda osim dijeljenja s nulom) te je konačno množenje distributivno prema zbrajanju i slijeva i sdesna. Skup s dvije algebarske operacije koje zadovoljavaju sva ta svojstva zovemo polje. Skup racionalnih brojeva, skup realnih brojeva, skup kompleksnih brojeva i skup ostataka modulo pp, tj. razreda ekvivalencije cijelih brojeva modulo fiksiranog prostog broja pp primjeri su polja. Skup cijelih brojeva nije polje.

Polinomi nad poljem

Neka je sad kk polje, npr. polje \mathbb{R} ili \mathbb{C}. Tada definiramo polinom u jednoj varijabli xx nad kk kao izraz oblika

P(x)=a nx n+a n1x n1++a 0 P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} +\ldots + a_0

gdje je n0n\geq 0 prirodni broj ili 00 i gdje a 0,,a nka_0,\ldots, a_n\in k. Broj a ia_i zovemo koeficijentom uz potenciju x ix^i, a svi umnošci oblika a ix ia_i x^i zovu se članovi polinoma. Najveći ii takav da je a i0a_i\neq 0 zovemo stupanj polinoma PP, a pripadni koeficijent vodeći koeficijent polinoma. Koeficijent a 0a_0 zovemo slobodni član polinoma (ne moramo pisati a 0x 0a_0 x^0 jer po konvenciji x 0=1x^0 = 1). Pišemo i P(x)=Σ i=0 na ix iP(x)=\Sigma_{i=0}^n a_i x^i. Simbol xx nekad zovemo varijablom (ili po uzoru na terminologiju jednadžbi) nepoznanicom, a polinome iz ove definicije zovemo polinomima u jednoj varijabli. Polinom koji ima samo jedan član zovemo monomom, dakle to je polinom u kojem nema znaka ++. Polinom koji ima točno dva člana zovemo binomom i polinom koji ima tri člana zovemo trinomom. Polinom je unarni ako mu vodeći član ima koeficijent 11. Npr. x 37xx^3 - 7 x je unarni binom. Izrazi tipa x nx^n su dakle unarni monomi u jednoj varijabli, no ponekad ih zovemo potencije. Kako se u standardnom zapisu iz definicije polinoma svaka potencija javlja točno jednom, to za svaki broj nn možemo reći što je koeficijent uz potenciju x nx^n.

Jednakost polinoma. Dva su polinoma nad kk po definiciji jednaka ako imaju jednake koeficijente uz jednake potencije (ako su stupnjevi različiti potencije koje se ne javljaju u polinomu nižeg stupnja smatramo kao potencije s koeficijentom nula).

Računske operacije s polinomima

Polinome zbrajamo tako da zbrojimo koeficijente uz jednake potencije. Polinome množimo tako da pomnožimo svaki član prvog sa svakim članom drugog polinoma, pri čemu množimo potencije kao potencije (zbrajanjem eksponenata) i koeficijente kao elemente u kk:

i=0 na ix i j=0 mb jx j= i=0 n j=0 ma ib jx i+j= k=0 n+m( i=0 ka ib ki)x k \sum_{i = 0}^n a_i x^i \cdot \sum_{j=0}^m b_j x^j = \sum_{i = 0}^n\sum_{j=0}^m a_i b_j x^{i+j} = \sum_{k = 0}^{n+m} (\sum_{i=0}^k a_i b_{k-i}) x^k

Formalni znak ++ u oznaci za polinom se podudara sa stvarnim zbrajanjem polinoma. Npr. 3x 3+2x 2+1=3x 3+(2x 2+1)3 x^3 + 2 x^2 + 1 = 3 x^3 + (2 x^2 + 1) gdje je s lijeve strane samo polinom kao izraz, a s desne strane je zbroj monoma 3x 33 x^3 i binoma 2x 2+12 x^2 + 1.

Skup svih polinoma ima svojstva sličnih polju, osim što nema inverza s obzirom na množenje, tj. proizvoljna dva polinoma ne možemo dijeliti. Točnije, polinomi nad danim poljem kk čine komutativan prsten bez djelitelja nule, ali kako ne možemo dijeliti nije polje. Međutim, slično kao i prirodne i cijele brojeve, svaka dva polinoma možemo dijeliti s ostatkom, te na njih prenijeti Euklidov algoritam za nalaženje najveće zajedničke mjere i najmanjeg zajedničkog višekratnika. Pri dijeljenju s ostatkom određujemo vodeći član dijeljenjem vodećih članova dvaju polinoma, pa gledamo ostatak koji dalje dijelimo dok stupanj ostatka nije niži od stupnja djeljitelja. Dakle, ako su P,QP, Q polinomi, tada podijeliti PP polinomom QQ s ostatkom znači naći polinome SS i RR takve da je P=SQ+RP = S \cdot Q + R i gdje je stupanj polinoma RR manji od stupnja polinoma QQ. Polinom SS je rezultat dijeljenja polinoma s ostatkom, a RR je ostatak dijeljenja. Teorem o dijeljenju polinoma s ostatkom kaže da za svaka dva nenul polinoma PP i QQ nad poljem postoje jedinstveni polinomi RR i SS takvi da P=SQ+RP = S \cdot Q + R i gdje je stupanj polinoma RR manji od stupnja polinoma QQ.

Primjeri dijeljenja polinoma polinomom s ostatkom:

(y 4 + y 3 + y + 1) : (y 2y1)=y 2+2y+3 y 4 + y 3 + y 2 ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ 2y 3 + y 2 + y 2y 3 + 2y 2 + 2y ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ 3y 2 + 3y + 1 3y 2 + 3y + 3 ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ 6y + 4 \array{ (y^4&+&y^3&+&&&y&+&1)&:&(y^2-y-1) = y^2 + 2 y + 3 \\ -y^4&+&y^3&+&y^2&&&&&& \\ \underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&&&&&& \\ && 2y^3 &+& y^2&+& y&&&& \\ && -2y^3&+&2y^2&+&2y&&& \\ \underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&&&& \\ &&&&3y^2&+&3y&+&1&& \\ &&&&-3y^2&+&3y&+&3&& \\ &&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&& \\ &&&&&&6 y&+&4&& }

Provjera. (y 2+2y+3)(y 2y1)+6y+4=y 4y 3y 2+2y 32y 22y+3y 23y3+6y+4=y 4+y 3+y+1(y^2+2y+3)\cdot(y^2-y-1)+6y+4 = y^4-y^3-y^2+2y^3-2y^2-2y+3y^2-3y-3+6y+4 = y^4+y^3+y+1.

(x 4 + x 3 + x 2 + 1) : (x 2x1)=y 2+2x+4 x 4 + x 3 + x 2 ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ 2x 3 + 2x 2 + x 2x 3 + 2x 2 + 2x ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ 4x 2 + 3x + 1 4x 2 + 4y + 4 ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ ̲ 7x + 5 \array{ (x^4&+&x^3&+&x^2&+&&&1)&:&(x^2-x-1) = y^2 + 2 x + 4 \\ -x^4&+&x^3&+&x^2&&&&&& \\ \underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&&&&&& \\ && 2x^3 &+&2x^2&+&x &&&& \\ && -2x^3&+&2x^2&+&2x&&& \\ \underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&&&& \\ &&&&4x^2&+&3x&+&1&& \\ &&&&-4x^2&+&4y&+&4&& \\ &&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&\underline{}&& \\ &&&&&&7 x&+&5&& }

Provjera.

(x 2x1)(x 2+2x+4)+7x+5=x 4+2x 3+4x 2x 32x 24xx 23x4+7x+5=x 4+x 3+x 2+x+1(x^2-x-1)\cdot(x^2+2x+4)+7x+5 = x^4+2x^3+4x^2- x^3-2x^2-4x-x^2-3x-4+7x+5 = x^4+x^3+x^2+x+1

Polinomijalne funkcije

Neka je P(x)P(x) polinom s koeficijentima u polju kk. Tom polinomu pridružujemo funkciju P:kkP:k\to k koja broju zKz\in K pridružuje vrijednost izraza P(z)P(z) u kojem xx supstituiramo sa zz, a z iz^i shvaćamo kao potenciranje u kk (tj. zzzzz\cdot z\cdot z\cdots z ii puta), i a iz ia_i z^i kao umnožak a iz ia_i\cdot z^i, a formalni ++ shvaćamo kao ++ u polju kk. Npr. ako je P(x)=x 25P(x) = x^2 - 5 tada je P(2/3)=(2/3) 25=4/945/9=41/9P(2/3) = (2/3)^2 - 5 = 4/9 - 45/9 = -41/9.

Pridruživanje P(x)PP(x)\mapsto P je preslikavanje iz polja polinoma u skup svih funkcija iz kk u kk. Ako je neka funkcija dobivena na taj način, tj. dana je polinomijalnom formulom, zovemo je polinomijalna funkcija.

Polinomi u više varijabli

Ako su x,y,z...x,y,z... varijable, tada ih možemo množiti i dijeliti. Najmanji skup koji dobijemo od nn nezavisnih varijabli i brojeva u nekom polju, s dvije osnovne algebarske operacije je skup polinboma u nn varijabli, npr. u dvije varijable to je skup k[x,y]k[x,y], pri čemu se smatra da varijable međusobno komutiraju pa je xy=yxx y = y x. Primjer elementa u k[x,y]k[x,y] nad poljem \mathbb{R} je 23x 3y+2xy 7\frac{2}{3} x^3 y + \sqrt{2} x y^7.

Neki identiteti za polinome u više varijabli

Binomna formula: (x+y) n= k=0 n(n k)x ky nk(x+y)^n = \sum_{k = 0}^n \left(\array{ n\\k}\right) x^k y^{n-k} (dokazuje se matematičkom indukcijom, vidi tamo).

Trinomna formula:

(x+y+z) n= i+j+k=nn!i!j!k!x iy jz k. (x + y + z)^n = \sum_{i + j + k = n} \frac{n!}{i!j!k!} x^i y^j z^k.

Rastav razlike istih potencija

x ny n=(xy)(x n1+x n2y++y n1) x^n - y^n = (x-y)(x^{n-1} + x^{n-2}y +\ldots + y^{n-1})

Specijalni slučajevi te formule su za n=2n = 2 rastav razlike kvadrata

x 2y 2=(xy)(x+y) x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)

i za n=3n = 3 rastav razlike kubova

x 3y 3=(xy)(x 2+xy+y 2) x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + x y + y^2)

Rastav zbroja istih neparnih potencija – za nn neparan prirodni broj vrijedi

x n+y n=(x+y)(x n1x n2y++y n1) x^n + y^n = (x+y)(x^{n-1} - x^{n-2}y +\ldots + y^{n-1})

gdje u drugom faktoru na desnoj strani jednakosti predznak alternira, npr. za zbroj kubova x 3+y 3=(x+y)(x 2xy+y 2)x^3+y^3 = (x+y)(x^2 - x y + y^2), a za zbroj petih potencija x 5+y 5=(x+y)(x 4xy 3+x 2y 2xy 3+y 4)x^5 + y^5 = (x + y)(x^4 - x y^3 + x^2 y^2 - x y^3 + y^4).

Zbroj kvadrata se može rastavljati u umnožak nad poljem koje sadrži neki i=1i = \sqrt{-1} (npr. u polju kompleksnih brojeva), naime tada vrijedi

x 2+y 2=(x+iy)(xiy)=(ix+y)(ix+y). x^{2} + y^{2} = (x + i y) (x - i y) = (i x + y) (- i x + y).

Svi ti identiteti vrijede kad se za x,y,zx,y,z umjesto apstraktne “nepoznanice” uvrste ma koji elementi u kk, ili u nekom skupu polinoma nad kk.

Nultočke polinoma

Osnovni teorem algebre. Nad poljem \mathbb{C} kompleksnih brojeva svaki polinom P n(x)P_n(x) stupnja n1n\geq 1 ima barem jedan korijen/nultočku, tj. rješenje jednadžbe P n(x)=0P_n(x) = 0 u kojoj se traži rješenje s xx\in\mathbb{C}.

Propozicija. Ako je x 1x_1 korijen jednadžbe P(x)=0P(x) = 0 tada dijeljenje PP linearnim množiteljem (xx 1)(x-x_1) nema ostatka i količnik je stupnja (n1)(n-1).

Dokaz: po teoremu o dijeljenju polinoma s ostatkom, svaka dva polinoma PP i TT stupnjeva nn i mm možemo unutar skupa polinoma podijeliti s ostatkom, tj. napisati na jedinstven način kao P=QT+RP = Q \cdot T + R gdje je QQ neki polinom (rezultat dijeljenja s ostatkom ili najveći polinomijalni količnik) stupnja (nm)(n-m) i RR je ostatak, tj. neki polinom stupnja manjeg od stupnja polinoma TT. Neka je T=(xx 1)T = (x - x_1), tada je RR stupnja nula, dakle naprosto konstanta RR. Tada gornju jednakost promatrajmo kao jednakost pripadnih polinomijalnih funkcija i izvrijednimo obje strane jednakosti u x 1x_1. Tada je lijeva strana jednakosti P(x 1)=0P(x_1) = 0, a desna strana Q(x 1)(x 1x 1)+R=RQ(x_1)(x_1-x_1) + R = R. Dakle, iz jednakosti slijedi R=0R = 0 kao što smo i tražili.

Kao posljedicu osnovnog teorema algebre i te propozicije dobivamo:

Nad poljem kompleksnih brojeva svaki se unarni polinom (u jednoj varijabli) stupnja n1n\geq 1 može na jedinstven način do na poredak faktora napisati kao umnožak linearnih izraza tj. kao

P n=(xx 1)(xx 2)(xx n) P_n = (x - x_1)\cdot (x - x_2) \cdots (x - x_n)

Dokaz se provodi indukcijom po stupnju nn. Za n=1n=1 svaki unarni polinom je oblika xx 1x - x_1. Ako je polinom stupnja (n+1)(n+1) tada nađemo jednu nultočku x 1x_1 i podijelomo P n+1P_{n+1} s (xx 1)(x-x_1). Po propoziciji rezultat dijeljenja je neki polinom Q nQ_n i nema ostatka tj. P n+1=Q n(xx 1)P_{n+1} = Q_n\cdot (x - x_1), a po pretpostavci indukcije je Q nQ_n umnožak nn linearnih faktora, tj. Q n=(xx 2)(xx n+1)Q_n = (x - x_2)\cdots (x - x_{n+1}). Dakle, P n+1=(xx 1)(xx 2)(xx n+1)P_{n+1} = (x - x_1)\cdot (x - x_2) \cdots (x - x_{n+1}). Pri tome neke nultočke mogu biti jednake. Time smo dokazali egzistenciju rastava na unarne linearne faktore. Trebamo pokazati da taj rastav zavisi jedino o poretku. Pretpostavino suprotno, da ima neki drugi rastav. Tada taj rastav ima barem jedan faktor koji se pojavljuje u njemu, a ne pojavljuje u prvom rastavu ili koji se pojavljuje više puta nego u prvom rastavu. Neka se neki (xa)(x-a) pojavljuje kk puta. Tada možemo podijeliti početni polinom s (xa) k(x-a)^k bez ostatka što vidimo iz drugog rastava. No, ako gledamo prvi rastav tada najprije podijelimo s (xa) r(x-a)^r gdje je r<kr\lt k broj koliko puta se (xa)(x-a) pojavljuje u drugom rastavu. Taj rezultat je oblika (xx 1)(xx nr)(x-x_1)\cdots (x-x_{n-r}) gdje su sve nultočke x 1,x 2,,x nrax_1,x_2,\ldots, x_{n-r}\neq a. Nakon toga, možemo podijeliti s (xa) kr(x-a)^{k-r} bez ostatka. To je nemoguće jer uvrstivši aa u (xx 1)(xx nr)(x-x_1)\cdots (x-x_{n-r}) vidimo umnožak elemenata u kk koji nisu nula, pa njihov umnožak nije nula. No, ako napišemo kao količnik puta (xa) kr(x-a)^{k-r} tada dobivamo nula! Dobili smo kontradikciju, dakle drugi zapis nije moguć. Primijetimo da smo tu suštinski koristili svojstvo da u polju kk po definiciji polja nemamo djelitelje nule.

Teorem. Ako su koeficijenti polinoma realni brojevi (što je posebni slučaj kompleksnih brojeva) tada ako je kompleksni broj a+bia + b i nultočka, tada je i njegov kompleksno konjugirani par abia - b i. Drugim riječima, mogu se pojavljivati brojevi koji su ili realni ili dolaze u kompleksno konjugiranim parovima.

Na primjer, jednadžba x 3+1=0x^3 + 1 = 0 ima tri rješenja: x 1=1x_1 = 1, x 2=1+32x_2 = \frac{1+\sqrt{3}}{2} i x 3=132x_3 = \frac{1-\sqrt{3}}{2}. Zaista 1=cos(π)+isin(π)-1 = cos(\pi) + i sin(\pi) pa je po Moivreovim formulama treći korijen iz 1-1 oblika cos(1+2k3π)+isin(1+2k3π)cos(\frac{1+2k}{3}\pi) + i sin(\frac{1+2k}{3}\pi) gdje je k{0,1,2}k\in \{0, 1, 2\}, odnosno 1+2k3π{π/3,π,5π/3}\frac{1+2k}{3}\pi \in \{\pi/3, \pi, 5\pi/3\}.

category: zadarmat3, zadarmat4

Last revised on July 9, 2018 at 06:28:43. See the history of this page for a list of all contributions to it.