Zoran Skoda problemi algebarske topologije

Algebarska topologija je grana matematike u kojoj definiramo i koristimo funktore iz neke kategorije topoloških prostora u neku kategoriju algebarskih objekata da bi rješili probleme postojanja i jedinstvenosti preslikavanja ili prostora koji su u izvjesnom odnosu s poznatim prostorima. Najpoznatiji takvi funktori su grupe homologije, grupe kohomologije, homotopske grupe i funktori K-teorije; većina tih funktora je homotopski invarijantna tj. homotopski ekvivalentni topološki prostori daju izomorfne algebarske strukture.

Četiri su problema ili osnovne zadaće algebarske topologije za preslikavanja: problemi (egzistencije, jedinstvenosti i efektivnog nalaženja) proširenja, podizanja i prereza preslikavanja i problem retrakcije. Ovi problemi imaju smisla u bilo kojoj kategoriji (zamijenite preslikavanja s morfizmima u toj kategoriji, a prostore s objektima). Ukoliko promatramo jedan od problema egzistencije u nekoj topološkoj kategoriji prikazanog u vidu komutativnog dijagrama i ukoliko taj problem ima pozitivno rješenje egzistencije, tada nakon primjene funktora u neku algebarsku kategoriju dobijemo dijagram s pozitivnim rješenjem egzistencije. Dakle ako pokažemo nepostojanje rješenja u algebarskoj kategoriji, tada očito i izvorni problem egzistencije ima negativno rješenje. S druge strance, funktor treba imati posebna svojstva barem za postojeći dijagram da bismo mogli nešto zaključiti u pozitivnom smislu egzistencije ili jedinstvenosti. Dakle, u tom slučaju potrebna je pažljivija analiza.

Problem proširenja preslikavanja. (engl. extension problem) Neka je $i:A\to X$ preslikavanje i $f:A\to Y$. Želimo proširiti preslikavanje $f$ na $X$, tj. naći preslikavanje $\tilde{f}:X\to Y$ takvo da je $i\circ\tilde{f}=f$. Primijeti da ako je $i:A\hookrightarrow X$ ulaganje podobjekta (potprostora), tada je $i\circ\tilde{f}$ restrikcija $\tilde{f}|A$, dakle uvjet je $\tilde{f}|_A = f$.

Problem retrakcije. (engl. retraction problem) Neka je $f:A\to Y$ preslikavanje. Nađi preslikavanje $r:Y\to A$ koje je retrakcija, tj. $r\circ f = id_A$.

Problem retrakcije je specijalni slučaj problema proširenja preslikavanja, kad je $A=X$ i $i=id_A$. Vrijedi i obrat: proizvoljni problem proširenja se svodi na problem retrakcije.

Propozicija. (Svođenje proširenja na retrakciju.) Ukoliko kategorija prostora u kojoj radimo ima dobro definiran istisak (pushout) tada je opći problem proširenja (dani $i$ i $f$ kao gore) ekvivalentan problemu retrakcije za preslikavanje $i_*(f) : Y\to Y\coprod_A X$.

Problem podizanja preslikavanja. (engl. lifting problem) Neka su $p:E\to B$ i $g:Z\to B$ preslikavanja. Tada je podizanje $\tilde{g}:Z\to E$ preslikavanja $g$ preslikavanje za koje vrijedi $p\circ\tilde{g}=g$.

Problem prereza. (engl. section problem) Za dano preslikavanje $p:E\to B$ nađi prerez (sekciju) $s: B\to E$, tj. preslikavanje $s$ takvo da je $p\circ s = id_B$.

Problem presjeka je specijalni slučaj problema podizanja preslikavanja kad je $g = id_E : E\to E$. Tada je $\tilde{g} = s$.

Propozicija. (Svođenje podizanja na prerez.) Ukoliko kategorija prostora u kojoj radimo ima dobro definirano povlačenje (pullback) tada je opći problem podizanja (dani $p$ i $g$ kao gore) ekvivalentan problemu prereza za preslikavanje $g^*(p)=Z\times_B p : Z\times_B E\to Z$.