Zoran Skoda translacija

Neka je $E$ Euklidska ravnina, prostor ili višedimenzionalni prostor i $\vec{a}$ slobodni vektor u $E$. Predstavnici tog vektora su dakle usmjerene dužine oblika $\vec{A B}$ i dvije su usmjerene dužine $\vec{A B}$ i $\vec{C D}$ su ekvivalentne ako se dužine $\overline{A D}$ i $\overline{B C}$ raspolavljaju, tj. $A B C D$ je paralelogram.

Translacija $t_{\vec{a}}$ za vektor $\vec{a}$ je preslikavanje iz $E$ u $E$ koje je dano pravilom: usmjerena dužina $\vec{A t_{\vec{a}}(A)}$ je predstavnik vektora $A$. U Euklidskoj ravnini ili prostoru translacija je vrsta izometrije. U Euklidskoj ravnini svaka translacija se može napisati kao kompozicija dviju osnih simetrija $t_{\vec{a}} = s_{p}\circ s_{q}$ gdje su pravci $p$ i $q$ međusobno paralelni i okomiti na vektor $\vec{a}$, i udaljenost od $p$ do $q$ je pola duljine vektora $\vec{a}$. To je slično slučaju rotacije u ravnini gdje je kut rotacije $r$ dvostruko veći od kuta između dva pravca $p$ i $q$ koji se u slučaju rotacije sijeku u jednoj točki, a za koje vrijedi $s_{p}\circ s_{q} = r$. U Euklidskom prostoru i u više dimenzija također možemo prikazati translaciju kao kompoziciju dvaju zrcaljenja u odnosu na međusobno paralelne ravnine.

O konstrukciji translacije pogledajte video na yt (engleski).

Pišemo nekad umjesto $t_{\vec{a}}(A)$ izraz $A + \vec{a}$. Kažemo da je običan prostor $E$ afini prostor u odnosu na skup svih slobodnih vektora $V$, jer taj skup, gledan kao vektorski prostor djeluje na $E$, tj. za svaku točku $A$ i za svaka dva vektora $\vec{a},\vec{b}\in V$ vrijede aksiomi

$$A + (\vec{a} \oplus \vec{b}) = (A + \vec{a}) + \vec{b}$$

$$A + \vec{0} = A,$$

gdje smo s $\oplus$ označili zbrajanje vektora (obično koristimo isti simbol, ali sad želimo biti precizni radi boljeg razumijevanja) i to djelovanje ima svojstvo da za svake dvije točke $A$ i $B$ postoji jedinstveni vektor $\vec{c}$ takav da je $A+\vec{c} = B$, naime to je vektor $\vec{c} = \vec{A B}$.

category: zadarmat2