Zoran Skoda skup

Skup je primitivan pojam u matematici. Dakle mi ga ne definiramo, ali imamo neku interpretaciju i pravila služenja tim pojmom. Ta pravila mogu biti zadana aksiomatski (aksiomatska teorija skupova), ali ih obično implicitno izvodimo analizom interpretacije. Naime skup gledamo (interpretiramo) kao neku zamišljenu skupinu (kolekciju) objekata koje nazivamo elementi skupa. Ako je $e$ element skupa $A$ tada pišemo $a\in A$. Za negaciju iskaza $a\in A$ pišemo $a\notin A$ ($a$ nije element skupa $A$). Skupovima možemo davati razna imena. Više imena mogu biti korištena za isti skup i imena ne utiču na svojstva i jednakost skupova. Jednakost skupova je binarna relacija među skupovima koju označavamo $=$.

Po definiciji, dva su skupa jednaka ako imaju jednake elemente. Dakle, u gornjoj notaciji, $A = B$ ako i samo ako $(\forall a) (a\in A \Leftrightarrow a\in B)$.

Tako definirana jednakost skupova ima uobičajena svojstva jednakosti (vidi logika predikata), naime uvijek vrijedi $A = A$ i iz $A = B$ slijedi $B = A$ te

$$((A = B) \wedge (B = C)) \implies (A = C).$$

Često koristimo pokratu $A\neq B$ ($A$ nije jednak $B$) za iskaz $\not (A = B)$. Drugim riječima $\neq$ je relacija komplementarna relaciji $=$.

Postoji jedinstveni skup, kojeg zovemo prazan skup i označavamo $\emptyset$, sa svojstvom $(\forall a)(a\notin\emptyset)$. Riječima, za svaki objekt vrijedi da nije u tom skupu, dakle ništa nema svojstvo da je element tog skupa.

Ako su $A$ i $B$ skupovi, i svaki element iz $A$ je ujedno u $B$, tada kažemo da je $A$ podskup od $B$ i pišemo $A\subseteq B$ ili, ekvivalentno, da je $B$ nadskup od $A$ i pišemo $B\supseteq A$. Dakle,

$$A\subseteq B \Leftrightarrow B\supseteq A \Leftrightarrow (\forall e)(e\in A\implies e\in B)$$

Ponekad se (posebno u naprednoj matematičkoj literaturi i inozemstvu) relacija biti podskup od označava s $\subset$. Očito je $A\subseteq A$. Kažemo da je $A$ pravi podskup od $B$ ako je $A$ podskup od $B$ i različit od $B$.

Relacija “biti pravi podskup” se ponekad također označava s $A\subset B$. To može zbuniti s obzirom da nekad $\subset$ označava podskup. Osim toga ta relacija se koristi mnogo rjeđe nego relacija biti podskup pa je zgodno imati jednostavniju notaciju za ono što se češće koristi. Tada je dobro naglasiti “pravi” podskup znakom nejednakosti ispod: Dakle,

$$(A\underset\neq\subset B) \Leftrightarrow ((A\subseteq B) \wedge (A\neq B))$$

Drugim riječima, svi elementi od $A$ su elementi u $B$ i postoji barem jedan element od $B$ koji nije u $A$.

Ako je $P$ svojstvo koje ima smisla za elemente u $A$, tj. pojedini elementi skupa $A$ mogu ili imati ili ne imati to svojstvo, tada postoji skup svih elemenata $a\in A$ za koje $a$ ima svojstvo $P$, pišemo $P(a)$ (čitaj: $a$ ima svojstvo $P$). Taj skup je podskup od $A$ i označavamo ga oznakom

$$\{ a\in A | P(a) \}$$

Svojstvo $P$ se tipično zapisuje kao istinitost neke logičke tvrdnje/suda čija jedina nevezana varijabla je $a$.

Ako su $a,b,c,\ldots, z$ imena nekih objekata tada s $\{a,b,c,\ldots,z\}$ označavamo skup $S$ čiji elementi su $a,b,c,\ldots, z$ i ni jedan drugi objekt. Ako dva imena označavaju jednaki objekt tada je činjenica da je jedan od njih u $S$ ekvivalentna činjenici da je drugi u $S$ pa ga dakle možemo i izostaviti iz spiska. Npr. $\{a,a,b\}$ i $\{a,b\}$ imaju iste elemente pa su dakle jednaki skupovi.

Često promatramo skupove u nekom kontekstu gdje su elementi svih promatranih skupova ujedno elementi nekog velikog skupa kojeg nazivamo univerzalni skup (za dani kontekst). Ako je univerzalni skup $U$, tada $\forall a \in U$ ima praktički isto značenje kao i $\forall a$. Također tada $\{a | P(a)\} = \{ a\in U | P(a)\}$.

Operacije na skupovima

Neka su $A, B$ skupovi, oba sadržana u nekom univerzalnom skupu $U$. Tada definiramo nove skupove,

• presjek $A\cap B$ skupova $A$ i $B$,
  $$A \cap B := \{ x | x\in A \wedge x\in B \},$$
• uniju $A\cup B$ skupova $A$ i $B$,
  $$A \cup B := \{ x | x\in A \vee x\in B \},$$
• skupovnu razliku $A\backslash B$ skupova (ili diferenciju skupova) $A$ i $B$,
  $$A \backslash B := \{ x | x\in A \wedge x\notin B \},$$
• simetričnu razliku $A\triangle B$ skupova $A$ i $B$,

$$A \triangle B := \{ x | (x\in A \wedge x\notin B)\vee(x\in B \wedge x\notin A)\} = (A\backslash B) \cup (B\backslash A),$$

• nadopunu ili komplement $A^c$ skupa $A$ u univerzalnom skupu $U$,
  $$A^c = U \backslash A = \{ x| x\notin A\}.$$

Lako je zaključiti cijeli niz svojstava tih operacija, npr. za sve $A,B,C\subseteq U$ vrijedi

• $A\cap (B\cap C) = (A\cap B)\cap C$ (asocijativnost presjeka)

• $A\cup (B\cup C) = (A\cup B)\cup C$ (asocijativnost unije)

• $A\cup B = B\cup A$ (komutativnost unije)

• $A \cap B = B\cap A$ (komutativnost presjeka)

• $A\cap (B\cup C) = (A \cap B)\cup (A\cap C)$ (distributivnost presjeka prema uniji)

• $(A^c)^c = A$ (idempotentnost nadopune)

• $(A\cap B)^c = A^c\cup B^c$ (de Morganov zakon)

• $A \triangle B = (A\cup B)\backslash (A\cap B)$

• $A\cap \emptyset = \emptyset$

• $A\cup \emptyset = A$

• $\emptyset^c = U$

Ali, treba biti oprezan i nikako ne pogađati “slične” formule bez pažljivog zaključivanja. Lako je npr. konstruirati primjere skupova $A$ i $B$ kad je $A\backslash B\neq B\backslash A$ (što je logično i kad se raspišu definicije). U onim slučajevima u kojima vrijednost izraza ne zavisi od položaja zagrada možemo izostaviti zagrade. Dakle, zbog $A\cap (B\cap C) = (A\cap B)\cap C$ možemo naprosto pisati $A\cap B\cap C$ bez zagrada. Međutim, izraz $A\cup B\cap C$ nema smisla, jer općenito $A\cup (B\cap C)\neq (A\cup B)\cap C$ pa ne znamo na koji od ta dva izraza mislimo.

Familije skupova

Množina je stara riječ koja se nekad također koristila za skup. Danas je upotrebljavamo uglavnom samo kada govorimo o nekom skupu skupova, dakle množini skupova. Množine skupova često indeksiramo nekim razlikovnim oznakama, npr. s $1$, $2$, $3$, pa pišemo $A_1, A_2, A_3$ za tri skupa u nekoj množini $A$. Indeksiranu množinu nazivamo još i familija skupova, a skupove $A_i$ nazivamo članovima familije $A$. Izraz $A_i$ zovemo općim članom familije. Za indeks $1$ imamo $A_1$, za indeks $2$ imamo $A_2$ itd. Dakle samo indeksiranje, odnosno familija skupova je naprosto funkcija $A$ iz nekog skupa indeksa $I$ u neku (još neindeksiranu) množinu skupova. U ovom slučaju $\{1,2,3\}\to \{A_1, A_2, A_3\}$. Zgodno je indeksirati množine skupova jer možemo o općem elementu množine govoriti kao o nekom $A_i$ gdje je $i$ element skupa indeksa. Npr. promatramo familiju skupova $\{A_1, A_2, A_3, A_4,\ldots\} = \{ A_n\}_{n\in\mathbb{N}}$, tada možemo reći npr. da neka tvrdnja vrijedi za sve $A_i$ gdje je $i$ paran broj, a ne vrijedi ako je $i$ neparan broj. Kako je $i\mapsto A_i$ funkcija iz skupa indeksa u množinu skupova, to možemo pisati indeks i kao argument funkcije, pa ponekad pišemo $A(i)$. Odabir među $A_i$ i $A(i)$ samo je pitanje jasnoće i sugestivnosti oznake.

Definiramo presjek ma kakve familije skupova

$$\bigcap_{i\in I} A_i = \{ a | (\forall i\in I) (a\in A_i)\}$$

i njenu uniju

$$\bigcup_{i\in I} A_i = \{ a | (\exists i\in I) (a\in A_i)\}.$$

Dakle, element je u presjeku familije skupova ako je element svakog člana familije. Element je u uniji familije ako je element barem jednog člana familije. Kažemo da familija ima $K$ elemenata ako je kardinalnost skupa indeksa $K$. Primijetimo da neki indeksi mogu indeksirati jednake skupove, recimo $A_1 = A_2$, no ipak ih brojimo kao dva člana familije. Ako je familija dvočlana to se svodi na ranije definicije presjeka i unije dva skupa. Ako je familija jednočlan skup, tada je njegova unija i presjek taj sam skup. Ako razmislimo o značenju kvantifikatora, presjek prazne familije skupova po gornjoj definiciji je univerzalni skup, a njena unija je prazan skup. No, unije i presjeke praznih familija nećemo razmatrati u kolegiju.

Par elemenata je skup koji ima točno dva različita elementa, npr. $\{3,4\}$. Uređeni par $(a,b)$ je neformalno par kojem znamo koji je prvi, a koji je drugi element i gdje dozvoljavamo i slučaj da su ta dva elementa isti. To možemo postići tako da promatramo ta dva elementa $a$ i $b$ kao familiju od dva elementa, tj. funkciju $\{1,2\}$ u neki skup $S$ iz kojeg biramo elemente para. Slično možemo govoriti o uređenim $n$-torkama elemenata iz $S$ kao familijama $\{1,2,\ldots,n\}\to S$. Kartezijev produkt skupova $A\times B$ je skup uređenih parova iz $A\cup B$ kojima je prvi element iz $A$, a drugi element iz $B$. Kuratowski definira uređeni par $(a,b)$ kao skup $\{\{a\},\{a,b\}\}$. Dakle daje informaciju skupa $\{a,b\}$ u kojem je posebno izdvojeno koji je prvi element $\{a\}$. Ako je prvi i drugi element isti onda je u tom pristupu $(a,a) = \{\{a\},\{a,a\}\} = \{\{a\},\{a\}\} = \{\{a\}\}$.

Disjunktni skupovi i disjunktne unije

Kažemo da su skupovi $A$ i $B$ disjunktni ako $A\cap B = \emptyset$. Drugim riječima dva su skupa disjunktna ako nemaju ni jedan zajednički element. Engleski izraz je disjoint sets (wikipedia). Ako razmatramo više od dva skupa $A_1, A_2, A_3, \ldots, A_n$ tada kažemo po konvenciji da su oni disjunktni (stari izraz poparno disjunktni; engl. pairwise disjoint ili mutually disjoint sets) ako su svaka dva međusobno disjunktna. To je jači uvjet nego tražiti da nema zajedničkog elementa od njih svih, odnosno da je $\cap_{i\in I} A_i = \emptyset$. Npr. presjek tri skupa $\{a,b\}$, $\{b,c\}$, $\{a,c\}$ je prazan, ali čak svaka dva od njih imaju neprazan presjek, dakle postoji par koji nisu disjunktni, pa cijela množina nije disjunktna.

Ako su dva skupa $A$ i $B$ disjunktna onda kažemo za njihovu uniju $A\cup B$ da je disjunktna unija i disjunktnost ponekad naglašavamo točkom nad znakom unije, dakle $C = A\overset\cdot\cup B$ znači da je istovremeno $C = A\cup B$ i da je $A\cap B = \emptyset$. Slično možemo govoriti o disjunktnoj uniji $\overset\cdot\cup_{i\in I} S_i$,ma koje množine disjunktnih skupova $\{S_i\}_{i\in I}$. No, što ako skupovi nisu disjunktni? Ponekad moramo formirati “na silu” disjunktnu uniju tako da eventualne elemente u presjeku učinimo različitim u procesu, npr. tako da im dodamo neki dodatni simbol. Npr. kod unije dva skupa $A$ i $B$ možemo elementima prvog skupa dodati oznaku $A$, a drugog skupa oznaku $B$. Dakle neka je $A = \{ 1, 2,3\}$ i $B = \{ 1, 2, c, d\}$ tada možemo gledati uniju $\{ 1_A, 2_A, 3_A\} \cup \{ 1_B, 2_B, c_B, d_B\} = \{ 1_A, 2_A, 1_B, 2_B, 3_B, c_B, d_B\}$. Naravno, pri tome $1_A$ možemo formalizirati kao uređeni par $(1,A)$. Takvu disjunktnu uniju pišemo $A \coprod B$ i ona se koristi kod definicije zbroja kardinalnih brojeva, u jednom od mogućih pristupa. Zaista, $kard(A) = 3$, $kard(B) = 4$, $kard(A \cup B) = 3+4 - 2 = 5$ (jer su dva elementa u presjeku) i $kard(A\coprod B) = 7 = kard(A)+kard(B)$. Zbroj dva kardinalna broja je po standardnoj definiciji razred ekvivalencije unije predstavnika ta dva broja koji su međusobno disjunktni i ona ne zavisi od izbora predstavnika. No, mogli smo uzeti bilo koja dva predstavnika, makar oni nisu disjunktni i napraviti ovu umjetnu disjunktnu uniju s unošenjem razlikovnih oznaka. Cijela ta priča s razlikovnim oznakama prenosi se i na disjunktnu uniju $\coprod_{i\in I} A_i$ ma koje množine skupova $\{A_i\}_{i\in I}$ koji dakle ne moraju na početku biti disjunktni.

Particija skupa $S$ je prikaz skupa $S$ kao disjunktne unije $\overset\cdot\cup_{i\in I} S_i$, tj. unije neke množine već disjunktnih podskupova $S_i\subseteq S$. Npr. $\{1,2,3,4,5,6\} = \{1,2\}\cup\{3,5\}\cup\{4,6\}$.

Russelov paradoks

Naivna teorija skupova u kojima dozvoljavamo da je skup element samog sebe (npr. skup svih skupova) dovodi do proturječja koje zovemo antinomije teorije skupova. Prva od njih je tzv. Russelov paradoks.

Ako postoji skup svih skupova tada možemo govoriti i o njegovom podskupu $S$ čiji elementi su svi skupovi koji nisu elementi samog sebe. $S$ je element u $S$ ili $S$ nije element u $S$. Ako $S\in S$ tada po definiciji skupa $S$ mora biti da $S\notin S$. Ako pak $S\notin S$ tada po definiciji skupa $S$ mora biti da $S\in S$. To je paradoks kojeg je primijetio Bertrand Russel i time uništio dojam da je Cantorova teorija skupova, tadašnji “Cantorov raj” dobar sustav za matematiku što je rezultiralo s nekoliko varijanti suvremene aksiomatske teorije skupova u kojima nije nađeno proturječje.

Zermelo-Frenkelova aksiomatika teorije skupova

Vidi članak u online izdanju hrvatske enciklopedije aksiomatska teorija skupova.

category: zadarmat1, zadarmat2, zadarmat3, zadarmat4