Zoran Skoda
skup

Skup je primitivan pojam u matematici. Dakle mi ga ne definiramo, ali imamo neku interpretaciju i pravila služenja tim pojmom. Ta pravila mogu biti zadana aksiomatski (aksiomatska teorija skupova), ali ih obično implicitno izvodimo analizom interpretacije. Naime skup gledamo (interpretiramo) kao neku zamišljenu skupinu (kolekciju) objekata koje nazivamo elementi skupa. Ako je ee element skupa AA tada pišemo aAa\in A. Za negaciju iskaza aAa\in A pišemo aAa\notin A (aa nije element skupa AA). Skupovima možemo davati razna imena. Više imena mogu biti korištena za isti skup i imena ne utiču na svojstva i jednakost skupova. Jednakost skupova je binarna relacija među skupovima koju označavamo ==.

Po definiciji, dva su skupa jednaka ako imaju jednake elemente. Dakle, u gornjoj notaciji, A=BA = B ako i samo ako (a)(aAaB)(\forall a) (a\in A \Leftrightarrow a\in B).

Tako definirana jednakost skupova ima uobičajena svojstva jednakosti (vidi logika predikata), naime uvijek vrijedi A=AA = A i iz A=BA = B slijedi B=AB = A te

((A=B)(B=C))(A=C). ((A = B) \wedge (B = C)) \implies (A = C).

Često koristimo pokratu ABA\neq B (AA nije jednak BB) za iskaz ¬(A=B)\not (A = B). Drugim riječima \neq je relacija komplementarna relaciji ==.

Postoji jedinstveni skup, kojeg zovemo prazan skup i označavamo \emptyset, sa svojstvom (a)(a)(\forall a)(a\notin\emptyset). Riječima, za svaki objekt vrijedi da nije u tom skupu, dakle ništa nema svojstvo da je element tog skupa.

Ako su AA i BB skupovi, i svaki element iz AA je ujedno u BB, tada kažemo da je AA podskup od BB i pišemo ABA\subseteq B ili, ekvivalentno, da je BB nadskup od AA i pišemo BAB\supseteq A. Dakle,

ABBA(e)(eAeB) A\subseteq B \Leftrightarrow B\supseteq A \Leftrightarrow (\forall e)(e\in A\implies e\in B)

Ponekad se (posebno u naprednoj matematičkoj literaturi i inozemstvu) relacija biti podskup od označava s \subset. Očito je AAA\subseteq A. Kažemo da je AA pravi podskup od BB ako je AA podskup od BB i različit od BB.

Relacija “biti pravi podskup” se ponekad također označava s ABA\subset B. To može zbuniti s obzirom da nekad \subset označava podskup. Osim toga ta relacija se koristi mnogo rjeđe nego relacija biti podskup pa je zgodno imati jednostavniju notaciju za ono što se češće koristi. Tada je dobro naglasiti “pravi” podskup znakom nejednakosti ispod: Dakle,

(AB)((AB)(AB)) (A\underset\neq\subset B) \Leftrightarrow ((A\subseteq B) \wedge (A\neq B))

Drugim riječima, svi elementi od AA su elementi u BB i postoji barem jedan element od BB koji nije u AA.

Ako je PP svojstvo koje ima smisla za elemente u AA, tj. pojedini elementi skupa AA mogu ili imati ili ne imati to svojstvo, tada postoji skup svih elemenata aAa\in A za koje aa ima svojstvo PP, pišemo P(a)P(a) (čitaj: aa ima svojstvo PP). Taj skup je podskup od AA i označavamo ga oznakom

{aA|P(a)} \{ a\in A | P(a) \}

Svojstvo PP se tipično zapisuje kao istinitost neke logičke tvrdnje/suda čija jedina nevezana varijabla je aa.

Ako su a,b,c,,za,b,c,\ldots, z imena nekih objekata tada s {a,b,c,,z}\{a,b,c,\ldots,z\} označavamo skup SS čiji elementi su a,b,c,,za,b,c,\ldots, z i ni jedan drugi objekt. Ako dva imena označavaju jednaki objekt tada je činjenica da je jedan od njih u SS ekvivalentna činjenici da je drugi u SS pa ga dakle možemo i izostaviti iz spiska. Npr. {a,a,b}\{a,a,b\} i {a,b}\{a,b\} imaju iste elemente pa su dakle jednaki skupovi.

Često promatramo skupove u nekom kontekstu gdje su elementi svih promatranih skupova ujedno elementi nekog velikog skupa kojeg nazivamo univerzalni skup (za dani kontekst). Ako je univerzalni skup UU, tada aU\forall a \in U ima praktički isto značenje kao i a\forall a. Također tada {a|P(a)}={aU|P(a)}\{a | P(a)\} = \{ a\in U | P(a)\}.

Operacije na skupovima

Neka su A,BA, B skupovi, oba sadržana u nekom univerzalnom skupu UU. Tada definiramo nove skupove,

  • presjek ABA\cap B skupova AA i BB,
    AB:={x|xAxB}, A \cap B := \{ x | x\in A \wedge x\in B \},
  • uniju ABA\cup B skupova AA i BB,
    AB:={x|xAxB}, A \cup B := \{ x | x\in A \vee x\in B \},
  • skupovnu razliku A\BA\backslash B skupova (ili diferenciju skupova) AA i BB,
    A\B:={x|xAxB}, A \backslash B := \{ x | x\in A \wedge x\notin B \},
  • simetričnu razliku ABA\triangle B skupova AA i BB,
AB:={x|(xAxB)(xBxA)}=(A\B)(B\A), A \triangle B := \{ x | (x\in A \wedge x\notin B)\vee(x\in B \wedge x\notin A)\} = (A\backslash B) \cup (B\backslash A),
  • nadopunu ili komplement A cA^c skupa AA u univerzalnom skupu UU,
    A c=U\A={x|xA}. A^c = U \backslash A = \{ x| x\notin A\}.

Lako je zaključiti cijeli niz svojstava tih operacija, npr. za sve A,B,CUA,B,C\subseteq U vrijedi

  • A(BC)=(AB)CA\cap (B\cap C) = (A\cap B)\cap C (asocijativnost presjeka)

  • A(BC)=(AB)CA\cup (B\cup C) = (A\cup B)\cup C (asocijativnost unije)

  • AB=BAA\cup B = B\cup A (komutativnost unije)

  • AB=BAA \cap B = B\cap A (komutativnost presjeka)

  • A(BC)=(AB)(AC)A\cap (B\cup C) = (A \cap B)\cup (A\cap C) (distributivnost presjeka prema uniji)

  • (A c) c=A(A^c)^c = A (idempotentnost nadopune)

  • (AB) c=A cB c(A\cap B)^c = A^c\cup B^c (de Morganov zakon)

  • AB=(AB)\(AB)A \triangle B = (A\cup B)\backslash (A\cap B)

  • A=A\cap \emptyset = \emptyset

  • A=AA\cup \emptyset = A

  • c=U\emptyset^c = U

Ali, treba biti oprezan i nikako ne pogađati “slične” formule bez pažljivog zaključivanja. Lako je npr. konstruirati primjere skupova AA i BB kad je A\BB\AA\backslash B\neq B\backslash A (što je logično i kad se raspišu definicije). U onim slučajevima u kojima vrijednost izraza ne zavisi od položaja zagrada možemo izostaviti zagrade. Dakle, zbog A(BC)=(AB)CA\cap (B\cap C) = (A\cap B)\cap C možemo naprosto pisati ABCA\cap B\cap C bez zagrada. Međutim, izraz ABCA\cup B\cap C nema smisla, jer općenito A(BC)(AB)CA\cup (B\cap C)\neq (A\cup B)\cap C pa ne znamo na koji od ta dva izraza mislimo.

Familije skupova

Množina je stara riječ koja se nekad također koristila za skup. Danas je upotrebljavamo uglavnom samo kada govorimo o nekom skupu skupova, dakle množini skupova. Množine skupova često indeksiramo nekim razlikovnim oznakama, npr. s 11, 22, 33, pa pišemo A 1,A 2,A 3A_1, A_2, A_3 za tri skupa u nekoj množini AA. Indeksiranu množinu nazivamo još i familija skupova, a skupove A iA_i nazivamo članovima familije AA. Izraz A iA_i zovemo općim članom familije. Za indeks 11 imamo A 1A_1, za indeks 22 imamo A 2A_2 itd. Dakle samo indeksiranje, odnosno familija skupova je naprosto funkcija AA iz nekog skupa indeksa II u neku (još neindeksiranu) množinu skupova. U ovom slučaju {1,2,3}{A 1,A 2,A 3}\{1,2,3\}\to \{A_1, A_2, A_3\}. Zgodno je indeksirati množine skupova jer možemo o općem elementu množine govoriti kao o nekom A iA_i gdje je ii element skupa indeksa. Npr. promatramo familiju skupova {A 1,A 2,A 3,A 4,}={A n} n\{A_1, A_2, A_3, A_4,\ldots\} = \{ A_n\}_{n\in\mathbb{N}}, tada možemo reći npr. da neka tvrdnja vrijedi za sve A iA_i gdje je ii paran broj, a ne vrijedi ako je ii neparan broj. Kako je iA ii\mapsto A_i funkcija iz skupa indeksa u množinu skupova, to možemo pisati indeks i kao argument funkcije, pa ponekad pišemo A(i)A(i). Odabir među A iA_i i A(i)A(i) samo je pitanje jasnoće i sugestivnosti oznake.

Definiramo presjek ma kakve familije skupova

iIA i={a|(iI)(aA i)} \bigcap_{i\in I} A_i = \{ a | (\forall i\in I) (a\in A_i)\}

i njenu uniju

iIA i={a|(iI)(aA i)}. \bigcup_{i\in I} A_i = \{ a | (\exists i\in I) (a\in A_i)\}.

Dakle, element je u presjeku familije skupova ako je element svakog člana familije. Element je u uniji familije ako je element barem jednog člana familije. Kažemo da familija ima KK elemenata ako je kardinalnost skupa indeksa KK. Primijetimo da neki indeksi mogu indeksirati jednake skupove, recimo A 1=A 2A_1 = A_2, no ipak ih brojimo kao dva člana familije. Ako je familija dvočlana to se svodi na ranije definicije presjeka i unije dva skupa. Ako je familija jednočlan skup, tada je njegova unija i presjek taj sam skup. Ako razmislimo o značenju kvantifikatora, presjek prazne familije skupova po gornjoj definiciji je univerzalni skup, a njena unija je prazan skup. No, unije i presjeke praznih familija nećemo razmatrati u kolegiju.

Par elemenata je skup koji ima točno dva različita elementa, npr. {3,4}\{3,4\}. Uređeni par (a,b)(a,b) je neformalno par kojem znamo koji je prvi, a koji je drugi element i gdje dozvoljavamo i slučaj da su ta dva elementa isti. To možemo postići tako da promatramo ta dva elementa aa i bb kao familiju od dva elementa, tj. funkciju {1,2}\{1,2\} u neki skup SS iz kojeg biramo elemente para. Slično možemo govoriti o uređenim nn-torkama elemenata iz SS kao familijama {1,2,,n}S\{1,2,\ldots,n\}\to S. Kartezijev produkt skupova A×BA\times B je skup uređenih parova iz ABA\cup B kojima je prvi element iz AA, a drugi element iz BB. Kuratowski definira uređeni par (a,b)(a,b) kao skup {{a},{a,b}}\{\{a\},\{a,b\}\}. Dakle daje informaciju skupa {a,b}\{a,b\} u kojem je posebno izdvojeno koji je prvi element {a}\{a\}. Ako je prvi i drugi element isti onda je u tom pristupu (a,a)={{a},{a,a}}={{a},{a}}={{a}}(a,a) = \{\{a\},\{a,a\}\} = \{\{a\},\{a\}\} = \{\{a\}\}.

Disjunktni skupovi i disjunktne unije

Kažemo da su skupovi AA i BB disjunktni ako AB=A\cap B = \emptyset. Drugim riječima dva su skupa disjunktna ako nemaju ni jedan zajednički element. Engleski izraz je disjoint sets (wikipedia). Ako razmatramo više od dva skupa A 1,A 2,A 3,,A nA_1, A_2, A_3, \ldots, A_n tada kažemo po konvenciji da su oni disjunktni (stari izraz poparno disjunktni; engl. pairwise disjoint ili mutually disjoint sets) ako su svaka dva međusobno disjunktna. To je jači uvjet nego tražiti da nema zajedničkog elementa od njih svih, odnosno da je iIA i=\cap_{i\in I} A_i = \emptyset. Npr. presjek tri skupa {a,b}\{a,b\}, {b,c}\{b,c\}, {a,c}\{a,c\} je prazan, ali čak svaka dva od njih imaju neprazan presjek, dakle postoji par koji nisu disjunktni, pa cijela množina nije disjunktna.

Ako su dva skupa AA i BB disjunktna onda kažemo za njihovu uniju ABA\cup B da je disjunktna unija i disjunktnost ponekad naglašavamo točkom nad znakom unije, dakle C=ABC = A\overset\cdot\cup B znači da je istovremeno C=ABC = A\cup B i da je AB=A\cap B = \emptyset. Slično možemo govoriti o disjunktnoj uniji iIS i\overset\cdot\cup_{i\in I} S_i,ma koje množine disjunktnih skupova {S i} iI\{S_i\}_{i\in I}. No, što ako skupovi nisu disjunktni? Ponekad moramo formirati “na silu” disjunktnu uniju tako da eventualne elemente u presjeku učinimo različitim u procesu, npr. tako da im dodamo neki dodatni simbol. Npr. kod unije dva skupa AA i BB možemo elementima prvog skupa dodati oznaku AA, a drugog skupa oznaku BB. Dakle neka je A={1,2,3}A = \{ 1, 2,3\} i B={1,2,c,d}B = \{ 1, 2, c, d\} tada možemo gledati uniju {1 A,2 A,3 A}{1 B,2 B,c B,d B}={1 A,2 A,1 B,2 B,3 B,c B,d B}\{ 1_A, 2_A, 3_A\} \cup \{ 1_B, 2_B, c_B, d_B\} = \{ 1_A, 2_A, 1_B, 2_B, 3_B, c_B, d_B\}. Naravno, pri tome 1 A1_A možemo formalizirati kao uređeni par (1,A)(1,A). Takvu disjunktnu uniju pišemo ABA \coprod B i ona se koristi kod definicije zbroja kardinalnih brojeva, u jednom od mogućih pristupa. Zaista, kard(A)=3kard(A) = 3, kard(B)=4kard(B) = 4, kard(AB)=3+42=5kard(A \cup B) = 3+4 - 2 = 5 (jer su dva elementa u presjeku) i kard(AB)=7=kard(A)+kard(B)kard(A\coprod B) = 7 = kard(A)+kard(B). Zbroj dva kardinalna broja je po standardnoj definiciji razred ekvivalencije unije predstavnika ta dva broja koji su međusobno disjunktni i ona ne zavisi od izbora predstavnika. No, mogli smo uzeti bilo koja dva predstavnika, makar oni nisu disjunktni i napraviti ovu umjetnu disjunktnu uniju s unošenjem razlikovnih oznaka. Cijela ta priča s razlikovnim oznakama prenosi se i na disjunktnu uniju iIA i\coprod_{i\in I} A_i ma koje množine skupova {A i} iI\{A_i\}_{i\in I} koji dakle ne moraju na početku biti disjunktni.

Particija skupa SS je prikaz skupa SS kao disjunktne unije iIS i\overset\cdot\cup_{i\in I} S_i, tj. unije neke množine već disjunktnih podskupova S iSS_i\subseteq S. Npr. {1,2,3,4,5,6}={1,2}{3,5}{4,6}\{1,2,3,4,5,6\} = \{1,2\}\cup\{3,5\}\cup\{4,6\}.

Russelov paradoks

Naivna teorija skupova u kojima dozvoljavamo da je skup element samog sebe (npr. skup svih skupova) dovodi do proturječja koje zovemo antinomije teorije skupova. Prva od njih je tzv. Russelov paraoks.

Ako postoji skup svih skupova tada možemo govoriti i o njegovom podskupu SS čiji elementi su svi skupovi koji nisu elementi samog sebe. SS je element u SS ili SS nije element u SS. Ako SSS\in S tada po definiciji skupa SS mora biti da SSS\notin S. Ako pak SSS\notin S tada po definiciji skupa SS mora biti da SSS\in S. To je paradoks kojeg je primijetio Bertrand Russel i time uništio dojam da je Cantorova teorija skupova, tadašnji “Cantorov raj” dobar sustav za matematiku što je rezultiralo suvremenom aksiomatskom teorijom skupova u kojoj nije nađeno proturječje.

Last revised on November 5, 2017 at 23:28:14. See the history of this page for a list of all contributions to it.