Zoran Skoda
snop

Snopovi nad topološkim prostorima i etalni prostori

Snop (engl. sheaf) je predsnop (engl. presheaf) koji zadovoljava uvjete ljepljenja. Možemo promatrati dva slučaja: snopovi na topološkom prostoru i, općenitije, snopovi na Grothendieckovom sajtu. Snopovi na topološkim prostorima mogu se alternativno zadati kao tzv. etalni prostori.

Snopovi nad topološkim prostorima i etalni prostori

Neka je (B,τ)(B,\tau) topološki prostor. Označimo s Ouv (B,τ)=Ouv B\mathrm{Ouv}_{(B,\tau)} = \mathrm{Ouv}_B kategoriju kojoj su objekti otvoreni podskupovi u BB, a morfizmi ulaganja otvorenih podskupova i:UVi:U\hookrightarrow V.

Kažemo da je familija objekata 𝒰={U i} iI\mathcal{U} = \{U_i\}_{i\in I} pokrivač u Ouv B\mathrm{Ouv}_B pokrivač objekta UU ako iU i=U\cup_i U_i = U.

Predsnop PP nad topološkim prostorom BB, s vrijednostima u kategoriji 𝒞\mathcal{C} je predsnop iz male kategorije Ouv B\mathrm{Ouv}_B (tj. kontravarijantni funktor) u 𝒞\mathcal{C}. Prirodne transformacije su morfizmi predsnopova nad BB. Predsnopovi nad BB i njihove transformacije čine kategoriju PFas B\mathbf{PFas}_B.

Ako je P:Ouv B 0SetP:\mathrm{Ouv}_B^0\to \Set predsnop skupova i i:UVi: U\hookrightarrow V, tada ćemo morfizam P(i):P(V)P(U)P(i):P(V)\to P(U) u Set\Set označavati i s r UVr_{UV} i xx| Ux\mapsto x|_U i zvati restrikcija s VV na UU. Elementi skupa P(U)P(U) se nazivaju i prerezi predsnopa PP nad UU}.

Separirani predsnop skupova (ili, rjeđe korišten termin, monopredsnop) nad topološkim prostorom (B,τ)(B,\tau) je predsnop P:Ouv B 0SetP:\mathrm{Ouv}_B^0\to \Set takav da za svaki pokrivač 𝒰\mathcal{U} od UU, i svaka dva različita elementa xyx\neq y u P(U)P(U) postoji ii takav da je x| U iy| U ix|_{U_i}\neq y|_{U_i}.

Epipredsnop skupova je predsnop P:Ouv B 0SetP:\mathrm{Ouv}_B^0\to \Set takav da za svaki pokrivač 𝒰\mathcal{U} od UU, ukoliko je {x i} i\{x_i\}_i familija elemenata x iP(U i)x_i\in P(U_i) i vrijedi x i| U iU j=x j| U iU jx_i|_{U_i\cap U_j} = x_j|_{U_i\cap U_j}, tada postoji xx u P(U)P(U) takav da je x| U i=x ix|_{U_i} = x_i.

Definicija. Snop je separirani epipredsnop.

Ovu definiciju možemo izreći i ovako: snop je predsnop PP takav da je za svaki pokrivač 𝒰\mathcal{U} od UU dijagram

ujednačitelj paralelnog para dva očita prirodna morfizma sastavljenih od restrikcija ij(r U i,U ij)\prod_{i j} (r_{U_i,U_{i j}}) i ij(r U j,U ij)\prod_{i j} (r_{U_j, U_{i j}}). Ta definicija ima smisla za predsnopove s vrijednostima u bilo kojoj zatvorenoj kategoriji 𝒞\mathcal{C} umjesto Set\Set, npr. kategoriji grupa Grp\mathbf{Grp} ili kategoriji Abelovih grupa Ab\mathbf{Ab}.

Morfizam snopova α:FG\alpha : F\to G nad bazom BB je morfizam predsnopova nad BB iz snopa FF u snop GG, tj. prirodna transformacija kontravarijantnih funktora. Snopovi nad BB i njihovi morfizmi čine dakle punu potkategoriju Fas B\mathbf{Fas}_B kategorije PFas B\mathbf{PFas}_B predsnopova nad BB.

Inicijalni objekt u kategoriji skupova je prazan skup, a u kategoriji Ouv X\mathrm{Ouv}_X je također. Terminalni objekt u Set\Set je skup s jednim elementom (singleton), a u Ouv B\mathrm{Ouv}_B je BB. Dakle netrivijalni predsnop skupova ne može slati prazan skup u prazan skup, jer po kontravarijantnosti bi trebao postojati morfizam iz P(U)P(U) u P()P(\emptyset), no ne postoji preslikavanje iz P(U)P(U) u \emptyset ukoliko je P(U)P(U) neprazan.

Fibrirani produkti u kategoriji Ouv B\mathrm{Ouv}_B su naprosto presjeci skupova.

Neka je 𝒞\mathcal{C} bilo koja kategorija, a BB objekt u 𝒞\mathcal{C}. Tada s 𝒞/B\mathcal{C}/B označavamo kategoriju kriški nad BB (engl. slice category). Objekti kategorije 𝒞/B\mathcal{C}/B su morfizmi oblika f:EBf : E\to B u 𝒞\mathcal{C}, a morfizmi α:fg\alpha : f\to g u 𝒞/B\mathcal{C}/B su komutativni trokuti oblika

u 𝒞\mathcal{C}.

Kategorija Bun B:=Top/B\mathbf{Bun}_B := \mathbf{Top}/B. Objekte u Bun B\mathbf{Bun}_B nazivamo (topološkim) prostorima nad (bazom) BB. Ponekad se kaže svežanj nad BB, ili raslojenje nad BB (engl. bundle); mi ćemo, medjutim rezervirati riječ svežanj za jedan specijalni ali važan slučaj: lokalno trivijalni raslojeni prostor (fibre bundle) s tipičnim slojem. Morfizme u Bun B\mathbf{Bun}_B zovemo (neprekidna) preslikavanja prostora nad BB.

Kategorija etalnih prostora je puna potkategorija Et BBun B\mathbf{Et}_B \subset\mathbf{Bun}_B čiji su objekti lokalni homeomorfizmi π:EB\pi:E\to B. To znači da za svaku točku eEe\in E postoji okolina U otveU^{otv}\ni e, takva da je π(U)\pi(U) otvoreni skup u B i restrikcija π|U:Uπ(U)\pi|U : U\to \pi(U) homeomorfizam.

Natkrivanje (engl. covering space) topološkog prostora BB je prostor π:EB\pi : E\to B nad BB takav da je π\pi surjekcija i za svaki bBb\in B postoji U otvbU^{otv}\ni b tako da postoji familija disjunktnih otvorenih podskupova U αEU_\alpha\subset E sa svojstvom π 1(U)= αU α\pi^{-1}(U)=\coprod_\alpha U_\alpha i π| U α:U αU\pi|_{U_\alpha}:U_\alpha\to U je homeomorfizam za svaki α\alpha. Ukoliko su EE i BB glatke mnogostrukosti tada je dobiveno natkriva nje glatko ukoliko možemo izabrati UU tako da je π| U α\pi|_{U_\alpha} difeomorfizam. Svako natkrivanje je primjer etalnog prostora, ali ne i obratno: kod etalnih prostora, okoline U αU_\alpha točaka p απ 1(b)p_\alpha\in\pi^{-1}(b) koje se homeomorfno preslikavaju na svoje slike imaju slike π(U α)\pi(U_\alpha) koje se medjusobno razlikuju (mogu biti i nehomeomorfne slike, no to nije bitno). Ako je π 1(b)\pi^{-1}(b) beskonačan skup tada je moguće da presjek απ(U α)\cap_\alpha \pi(U_\alpha) nije zatvoren. Natkrivanja prostora čine punu potkategoriju Cov BEt B\mathbf{Cov}_B\subset\mathbf{Et}_B. U praksi se često razmatra samo potkategorija povezanih natkrivanja povezanih prostora.

\nxpoint Neka je bb točka u BB i PP predsnop skupova nad BB. Neka je b\sim_b relacija ekvivalencija na uniji U otvbP(U)\cup_{U^{otv}\ni b} P(U), gdje P(U)(U,y) b(V,z)P(V)P(U)\ni(U,y)\sim_b (V,z)\in P(V) akko postoji W otvUVW^{otv}\ni U\cap V takva da bWb\in W i y|W=z|Wy|W=z|W. Klase ekivalencija zovemo klice prereza (ili sekcija) predsnopa PP u točki bb. Klasa ekvivalencije prereza xx u točki bb se označava s [x] b[x]_b. Skup svih klasa ekvivalencija u točki bb nazivamo vlat asociranog etalnog prostora E(P) bE(P)_b u točki bb.

\nxpoint (\zadatak 1.1) Dokaži da je skup klasa ekvivalencija E(P) bE(P)_b jednak kolimesu colim UbP(U)\colim_{U\ni b} P(U) dijagrama koji je restrikcija predsnopa PP na punu potkategoriju u Ouv B\mathrm{Ouv}_B čiji su objekti otvorene okoline od bb u BB.

\nxsubpoint Totalni skup asociranog etalnog prostora E(P)= bcolim UbP(U)E(P)= \coprod_b \colim_{U\ni b} P(U) predsnopa skupova PP je disjunktna unija svih vlati asociranog snopa.

\nxsubpoint \label{sub:tilda} Neka je PP predsnop i sP(U)s\in P(U). Označi sa s˜:UE(P)\tilde{s}:U\to E(P) funkciju danu sa s˜(b)=[s] b\tilde{s}(b) = [s]_b. Postoji najmanja topologija u kojoj su sve slike oblika Im(s˜)={[s] b|bU}Im(\tilde{s}) = \{[s]_b \,|\, b\in U\} za sve prereze sP(U)s\in P(U)) otvoreni skupovi (“slike svih asociranih prereza s˜\tilde{s} čine bazu topologije u E(P)E(P)”). Totalni prostor asociranog etalnog prostora E(P)E(P) je totalni skup asociranog etalnog prostora s tom topologijom. Projekcija asociranog etalnog prostora je preslikavanje π:E(P)B\pi:E(P)\to B dano s π([s] b)=b\pi([s]_b)=b.

\nxsubpoint \label{sub:stildanepr} Propozicija. s˜:UE(P)\tilde{s}: U\to E(P) je neprekidno preslikavanje i πs˜=id U\pi\circ\tilde{s}=\id_U.

Dokaz. Jednakost je očita: bs˜[s] bπbb\stackrel{\tilde{s}}\mapsto [s]_b\stackrel\pi\mapsto b. Dakle treba pokazati neprekidnost.

Pretpostavimo suprotno, tj. postoji točka bb u kojoj s˜\tilde{s} nije neprekidno. To znači da postoji okolina W otvs˜(b)=[s] bW^{otv}\ni \tilde{s}(b)= [s]_b tako da za svaku okolinu V otvbV^{otv}\ni b, s˜(V)\tilde{s}(V) nije podskup od WW. Kako je WW otvoren i sadrži [s] b[s]_b to postoji element baze topologije oblika t˜(Z otv)W\tilde{t}(Z^{otv})\subset W gdje Z[s] bZ\ni [s]_b, tP(Z)t\in P(Z). To znači da [t] b=[s] b[t]_b = [s]_b, dakle postoji okolina ZZUZ'\subset Z\cap U tako da je t|Z=s|Zt|Z'= s|Z'. Ako stavimo V=ZV=Z' tada je VV otvorena i sadrži bb, te s˜(V)=t˜(V)t˜(Z)W\tilde{s}(V)=\tilde{t}(V)\subset \tilde{t}(Z)\subset W s kontradikcijom.

\nxsubpoint \label{sub:pijeetalno} Propozicija. Projekcija π:E(P)B\pi:E(P)\to B dana s π([s] b)=b\pi([s]_b)=b je neprekidno, i štoviše, etalno preslikavanje.

Dokaz. Ova projekcija je dobro definirana jer je E(P)E(P) po definiciji disjunktna unija vlati.

π\pi je etalan ako za svaku točku eE(P)e\in E(P) postoji okolina U otveU^{otv}\ni e tako da je π(U)\pi(U) otvoren u BB i π| U:Uπ(U)\pi|_U:U\to\pi(U) homeomorfizam. Po definiciji totalnog skupa, ee je klica [s] b[s]_b nekog prereza s:V otvE(P)s : V^{otv}\to E(P), a slika s˜(V)\tilde{s}(V) je otvorena okolina točke ee. Dakle πs˜(V)=V\pi\circ\tilde{s}(V) = V je otvoren skup, a π| s˜(V):s˜(V)V\pi|_{\tilde{s}(V)}:\tilde{s}(V)\to V bijekcija. Preslikavanja π\pi i π U\pi_U su oba neprekidna u točki pp ako za svaku okolinu bW otvVπ(U)b\in W^{otv}\subset V\cap \pi(U) postoji okolina pZ otvUp\in Z^{otv}\subset U, tako da π(Z)=π| U(Z)W\pi(Z)=\pi|_U(Z)\subset \subset W. No to je lako: stavimo naprosto Z:=s˜(W)Z:=\tilde{s}(W). Dakle π\pi i π| W\pi|_W su neprekidni. Kako je takodjer s˜\tilde{s} neprekidno prema \refpoint{sub:stildanepr} i πs˜=id V\pi\circ\tilde{s}= \id_V to je π| Z\pi|_Z homeomorfizam na sliku.

\nxpoint \label{s:localeq} Propozicija. (i) Ako sP(U)s\in P(U) tada je s˜\tilde{s} neprekidno i πs˜=id U\pi\circ\tilde{s}=\id_U.

(ii) Preslikavanje t:UE(P)t:U\to E(P) koje zadovoljava πt=id U\pi\circ t=\id_U je neprekidno samo ako oko svake točke bUb\in U postoji okolina bW otvUb\in W^{otv}\subset U takva da je t=s˜t=\tilde{s} za neki sP(W)s\in P(W).

(iii) Neka su t,sP(U)t,s\in P(U). Tada t˜=s˜\tilde{t}=\tilde{s} akko postoji pokrivač 𝒰={U i} i\mathcal{U}=\{U_i\}_i od UU tako da je t| U i=s| U it|_{U_i}=s|_{U_i} za sve ii.

Dokaz. (i) Po definiciji topologije u E(P)E(P), ako sP(U)s\in P(U) tada je s˜\tilde{s} neprekidno. Također (πs˜)(b)=π([s] b)=b(\pi\circ \tilde{s})(b) = \pi([s]_b) = b.

(ii) Neka je bUb\in U. Tada po definiciji topologije u E(P)E(P) postoje W otvUW^{otv}\subset U, bWb\in W i prerez sP(W)s\in P(W) takvi da je t(b)s˜(W)t(U)t(b)\in\tilde{s}(W)\subset t(U). Kako je πt=id U\pi\circ t = \id_U i πs˜=id W\pi\circ\tilde{s}=\id_W, to vrijedi s˜(w)=t(w)\tilde{s}(w)= t(w) za svaki wWw\in W.

(iii) Neka je bUb\in U. Tada [s] b=s˜[b]=t˜[b]=[t] b[s]_b= \tilde{s}[b] = \tilde{t}[b]=[t]_b, tj. postoji bW b otvUb\in W_b^{otv}\subset U takav da s| W b=t| W bs|_{W_b}= t|_{W_b}. Dakle {W b} b\{W_b\}_b je traženi pokrivač. Obratno, činjenica da je s| U i=t| U is|_{U_i}= t|_{U_i} implicira da [s] b=[t] b[s]_b = [t]_b za svaki bU ib\in U_i; kako je 𝒰\mathcal{U} pokrivač, isto slijedi za sve bUb\in U, pa, prema definiciji, s˜=t˜\tilde{s}=\tilde{t}.

\nxpoint Propozicija. Postoji kanonski funktor Γ:Bun BPFas B\Gamma: \mathbf{Bun}_B\to\mathbf{PFas}_B koji je na objektima (π E:EB)(\pi_E : E\to B) u Bun B\mathbf{Bun}_B zadan s Γ:(EπB)ΓE\Gamma : (E\stackrel\pi\to B)\mapsto \Gamma E gdje

(ΓE)(U)=Γ U(E)={s:UEneprekidno|sπ E=id U}(\Gamma E)(U) = \Gamma_U(E) = \{ s : U\to E neprekidno | \,s\circ\pi_E = \id_U\}
r VU ΓE=(ΓE)(VU):ss| V,VU,sΓ U(E).r^{\Gamma E}_{VU} = (\Gamma E)(V\hookrightarrow U) : s \mapsto s|_V, \,\,\,\,\,V\subset U,\,s\in \Gamma_U(E).

Ovdje je ΓE\Gamma E naravno skraćenica za Γ(EπB)\Gamma(E\stackrel\pi\to B) ili, ekvivalentno, Γπ E\Gamma\pi_E.

Kažemo da su elementi od Γ U(E)\Gamma_U(E) (neprekidni prerezi (sekcije) nad UU.

Dokaz. Treba zadati taj funktor i na morfizmima u Bun B\mathbf{Bun}_B i pokazati funktorijalnost. Neka je dakle f:EFf:E\to F neprekidno preslikavanje prostora nad bazom BB, tj. π E=π Ff\pi_E=\pi_F\circ f. Malo je nezgodno označavati vrijednost funktora Γ\Gamma na ff s Γf\Gamma f, ili preciznije Γ(f/B)\Gamma (f/B) jer se ne radi o sekcijama preslikavanja ff, nego induciranom morfizmu medju sekcijama Γ(EB)\Gamma(E\to B) i Γ(FB)\Gamma(F\to B). Transformacija Γ(f/B):Γπ EΓπ F\Gamma (f/B): \Gamma \pi_E\Rightarrow \Gamma \pi_F je dana u komponentama naprosto s Γ U(f/B)(s)=fs\Gamma_U(f/B)(s)=f\circ s, gdje je sΓ U(E)s\in\Gamma_U(E). Funktorijalnost je očita iz formule.

\nxpoint Propozicija. Predsnop prereza Γ(EB)\Gamma(E\to B) bilo kojeg prostora nad BB je snop.

Dokaz. Separiranost. Neka je 𝒰={U i} i\mathcal{U}=\{U_i\}_i pokrivač od UU i r,tΓ U(π E)r,t\in \Gamma_U(\pi_E) te r| U i=t| U ir|_{U_i} = t|_{U_i} za sve ii. Tada za svaki bU ib\in U_i r(b)=t(b)r(b)=t(b), a kako U iU_i pokrivaju UU, tada je r=tr=t kao preslikavanja skupova.

Svojstvo epipredsnopa. Neka je dalje v iP(U i)v_i\in P(U_i) familija prereza čije restrikcije se podudaraju na presjecima U iU jU_i\cap U_j. To znači da formula v(b)=[v i] bv(b) = [v_i]_b za bU ib\in U_i ne zavisi o predstavniku. Dakle v:bv(b)v:b\mapsto v(b) je dobro definirana sekcija i v|U i=v iv|U_i = v_i. Neprekidnost vv se provjerava lokalno, no kako je lokalno v|U i=v iv|U_i = v_i slijedi iz neprekidnosti v iv_i; analogno izlazi i svojstvo prereza πv=id B\pi\circ v = \id_B iz πv i=id U i\pi\circ v_i = \id_{U_i}.

\nxsubpoint (Napomene i primjeri.) Slično, ukoliko je EBE\to B neprekidna projekcija u kategoriji topoloških prostora s nekom dodatnom strukturom ili svojstvom, tada možemo gledati umjesto Γ UE\Gamma_U E samo prereze koji respektiraju dodatnu strukturu ili svojstvo. Na primjer, ukoliko je EBE\to B glatko (analitičko) preslikavanje glatkih (analitičkih) tada je asociranje otvorenom skupu UU prostora glatkih (analitičkih) prereza Γ U smE\Gamma^{\mathrm{sm}}_U E (redom, Γ U ωE\Gamma^{\omega}_U E) snop. No, to ne vrijedi za svojstva koja nisu lokalne prirode. Npr. ukoliko promatramo potprostor ograničenih prereza Γ U bE\Gamma^{\mathrm{b}}_U E, tada imamo separirani predsnop, no općenito nemamo snop! Naime prerez može biti neograničena na nekoom otvorenom skupu UU, a da je ograničena na svakom elementu U iU_i nekog pokrivača {U i} i\{U_i\}_i od UU. Ukoliko je E=B×RE = B\times R gdje je RR neki topološki prostor (moguće s dodatnom strukturom) tada se prerezi mogu poistovjetiti s funkcijama BRB\to R. Na taj način uvodimo snopove neprekidnih funkcija, glatkih funkcija i analitičkih funkcija. Snopifikacija aΓ bω(E,C)a\Gamma^{\mathrm{b}\omega}(E,\mathbf{C}) separiranog predsnopa C E bω=Γ bω(E,C)C^{\mathrm{b}\omega}_E = \Gamma^{\mathrm{b}\omega}(E,\mathbf{C}) ograničenih analitičkih funkcija BCB\to \mathbf{C} izomorfna je snopu analitičkih funkcija C E ω=Γ ω(E,C)C^\omega_E = \Gamma^{\omega}(E,\mathbf{C}) (ograničenost se ne može razlikovati na klicama, pa nestaje prelaskom na prostor klica, dakle i prelaskom na asocirani snop).

\nxpoint Propozicija. Korespodencija P(E(P)B)P\mapsto \left(E(P)\to B\right) se može kanonski proširiti do funktora :PFas BBun B\mathcal{L}:\mathbf{PFas}_B\longrightarrow\mathbf{Bun}_B.

Dokaz. Neka je α:PQ\alpha:P\Rightarrow Q prirodna transformacija predsnopova. Definiramo (α):E(P)E(Q)\mathcal{L}(\alpha):E(P)\to E(Q) na klicama s (α)([s] b)=[α U(s))] b\mathcal{L}(\alpha)([s]_b)=[\alpha_U(s))]_b gdje je sP(U)s\in P(U) proizvoljni predstavnik klice [s] b[s]_b. Treba pokazati da ta definicija ne zavisi od izbora predstavnika. Neka je t bst\sim_b s, gdje je tP(V)t\in P(V). Dakle postoji W otvUVW^{otv}\subset U\cap V s bWb\in W takav da s|W=t|Ws|W = t|W. Iz prirodnosti transformacije α:PQ\alpha:P\Rightarrow Q (za morfizme WUW\hookrightarrow U i WVW\hookrightarrow V) slijedi da α U(s)|W=α W(s|W)=α W(t|W)=α V(t)|W\alpha_U(s)|W =\alpha_W(s|W)=\alpha_W(t|W)=\alpha_V(t)|W, dakle α U(s) bα V(t)\alpha_U(s)\sim_b\alpha_V(t) što smo i tražili.

Pokažimo da je (α)\mathcal{L}(\alpha) morfizam u Et BBun B\mathbf{Et}_B\subset\mathbf{Bun}_B, tj. neprekidno preslikavanje nad BB. Kako slike prereza čine bazu topologije, dovoljno je pokazati da je za svaki U otvU^{otv}, za svaki sQ(U)s\in Q(U), praslika

(α) 1(s˜(U))={(α) 1([s] b)|bU}\mathcal{L}(\alpha)^{-1}(\tilde{s}(U))= \{\mathcal{L}(\alpha)^{-1}([s]_b) | b\in U\}

otvoren skup u E(P)E(P). Pretpostavimo suprotno, tj. da postoji točka y(α) 1(s˜(U))E(P)y\in \mathcal{L}(\alpha)^{-1}(\tilde{s}(U))\subset E(P) s b=π(y)b=\pi(y) tako da yy nije u interioru tog skupa. Tada (α)(y)=[s] b\mathcal{L}(\alpha)(y) = [s]_b. To znači da postoji W otvbW^{otv}\ni b i rΓ U(E)r\in \Gamma_U(E) tako da je [r] b=y[r]_b = y i (α)([r] b)=[α W(r)] b=[s] b\mathcal{L}(\alpha)([r]_b) = [\alpha_W(r)]_b = [s]_b. Dakle prijelaskom na manju okolinu bZ otvWb\ni Z^{otv}\subset W možemo postići da je α Z(r| Z)=α W(r| W)| Z=s| W| Z=s| Z\alpha_Z(r|_Z)=\alpha_W(r|_W)|_Z = s|_W|_Z=s|_Z. To znači da je r(Z)(α) 1(s˜(U))r(Z)\subset \mathcal{L}(\alpha)^{-1}(\tilde{s}(U)). Kako je r(Z)r(Z) otvorena okolina od yy dobili smo kontradikciju.

Provjera funktorijalnosti \mathcal{L} je ostavljena čitatelju.

\nxsubpoint Kako je, prema \refpoint{sub:pijeetalno}, projekcija [x] bb[x]_b\mapsto b s E(P)BE(P)\to B etalni prostor, funktor \mathcal{L} se faktorira kao :PFas BEt BBun B\mathcal{L}:\mathbf{PFas}_B\to\mathbf{Et}_B\hookrightarrow\mathbf{Bun}_B.

\nxpoint \label{s:snopif} Neka je PP predsnop nad prostorom B=(B,τ)B = (B,\tau). Tada je snopifikacija predsnopa PP morfizam predsnopova α:Pa(P)\alpha : P\to a(P) gdje je a(P)a(P) asocirani snop tj. snop takav da za bilo koji drugi snop FF i morfizam predsnopova PFP\to F postoji jedinstvena dekompozicija Pαa(P)FP\stackrel\alpha\to a(P)\to F. Očito se to može izreći kao univerzalno svojstvo, pa je snopifikacija, ako postoji, jedinstvena do na izomorfizam snopova.

\nxpoint Teorem. Kompozicija a=Γ:PFas BFas Ba = \Gamma\circ\mathcal{L}:\mathbf{PFas}_B\to\mathbf{Fas}_B je funktor, takav da je morfizam predsnopova Pa(P)P\Rightarrow a(P), koji je po komponentama P(U)(aP)(U)P(U)\to (aP)(U) dan sa ss˜s\mapsto\tilde{s} snopifikacija (\refpoint{s:snopif}) predsnopa PP, tj. zadovoljava univerzalno svojstvo snopifikacije. Dakle snopifikacija bilo kojeg predsnopa PP s vrijednostima u kategoriji skupova postoji. Funktor aa nazivamo funktor snopifikacije ili asociranog snopa.

Dokaz. Neka je FF neki drugi snop i α:PF\alpha:P\Rightarrow F transformacija (morfizam predsnopova) s komponentama α U:sα U(s)\alpha_U:s\mapsto\alpha_U(s). Tražimo morfizam predsnopova β:aPF\beta : aP\Rightarrow F takav da α=βη P\alpha = \beta\circ \eta_P, drugim riječima takav da s˜α U(s)\tilde{s}\mapsto \alpha_U(s) za svaki sP(U)s\in P(U). Neka je t(aP)(U)t\in (aP)(U) proizvoljni element (‘prerez’). Tada postoji pokrivač 𝒰={U i} iI\mathcal{U} = \{U_i\}_{i\in I} od UU, i elementi r iP(U i)r_i\in P(U_i) takvi da t| U i=r˜ it|_{U_i} = \tilde{r}_i. Definiramo β U(t)\beta_U(t) s β U(t)|U i=α U(r i)\beta_U(t)|U_i =\alpha_U(r_i). Kako je FF snop, β U(t)\beta_U(t) je odredjen svojim restrikcijama an elemente pokrivača, ukoliko se podudaraju na presjecima, tj. ukoliko

α U i(r˜ i)| U iU j=α U j(r˜ j)| U iU j.\alpha_{U_i}(\tilde{r}_i)|_{U_i\cap U_j} = \alpha_{U_j}(\tilde{r}_j)|_{U_i\cap U_j}.

U tu svrhu primijeti da r˜ i| U iU j=t| U i| U iU j=t| U j| U iU j=r˜ j| U iU j\tilde{r}_i|_{U_i\cap U_j}=t|_{U_i}|_{U_i\cap U_j}=t|_{U_j}|_{U_i\cap U_j}=\tilde{r}_j|_{U_i\cap U_j}, dakle za svaku točku bU iU jb\in U_i\cap U_j (prema \refpoint{s:localeq} (iii)) postoji okolina Z otv=Z bU iU jZ^{otv}= Z_b\subset U_i\cap U_j takva da r i| Z=r j| Zr_i|_Z=r_j|_Z. Tada α Z(r i| Z)=α Z(r j| Z)\alpha_Z(r_i|_Z)=\alpha_Z(r_j|_Z), dakle, po prirodnosti transformacije α\alpha, α U i(r i)| Z=α Z(r i| Z)=α Z(r j| Z)=α U j(r j)| Z\alpha_{U_i}(r_i)|_Z=\alpha_Z(r_i|_Z)=\alpha_Z(r_j|_Z)=\alpha_{U_j}(r_j)|_Z, pa, kako je FF snop, i kako Z bZ_b za razne bU iU jb\in U_i\cap U_j čine pokrivač od U iU jU_i\cap U_j, to α U i(r i)| U iU j=α U j(r j)| U iU j\alpha_{U_i}(r_i)|_{U_i\cap U_j}=\alpha_{U_j}(r_j)|_{U_i\cap U_j}.

Moramo pokazati da ta definicija ne zavisi od izbora pokrivača 𝒰\mathcal{U} te izbora r ir_i (sjetimo se da rr˜r\mapsto\tilde{r} nije nužno ni injekcija). Neka je dakle 𝒱={V j} jJ\mathcal{V}=\{V_j\}_{j\in J} drugi pokrivač i v jP(V j)v_j\in P(V_j) takvi da je v˜ j=t| V j\tilde{v}_j = t|_{V_j}. Tada za svaki bUb\in U postoje iIi\in I, jJj\in J i okolina W b otvbW_b^{otv}\in b, W bU iU jW_b\subset U_i\cap U_j tako da v j| W b=t W b=r i| W bv_j|_{W_b} = t_{W_b}=r_i|_{W_b}. Dakle α W b(v j| W b)=α W b(r i| W b)\alpha_{W_b}(v_j|_{W_b})=\alpha_{W_b}(r_i|_{W_b}) i, kako je FF snop, i to vrijedi za sve bU iV jb\in U_i\cap V_j, i prema prirodnosti α\alpha, α U j(v j)| U iV j=α U iU j(v j| U iV j)=α U iU j(r i| U iV j)=α U i(r i)| U iV j\alpha_{U_j}(v_j)|_{U_i\cap V_j}=\alpha_{U_i\cap U_j}(v_j|_{U_i\cap V_j})=\alpha_{U_i\cap U_j}(r_i|_{U_i\cap V_j})=\alpha_{U_i}(r_i)|_{U_i\cap V_j} kako je traženo.

Konačno treba pokazati da je β:Uβ U\beta:U\to\beta_U prirodna transformacija. Neka je dakle WUW\hookrightarrow U inkluzija otvorenih skupova u BB i taP(U)t\in a P(U). Neka je bWb\in W. Tada postoji Y otvWY^{otv}\subset W, YbY\ni b, r˜| Y=t| W| Y=t| Y\tilde{r}|_Y= t|_W |_Y =t|_Y. Tada po definiciji od β\beta,

β W(t| W)| Y=α Y(r Y)=β U(t)| Y=β U(t)| W| Y. \beta_W(t|_W)|_Y = \alpha_Y(r_Y) = \beta_U(t)|_Y=\beta_U(t)|_W |_Y.

Kako je bb proizvoljan, slijedi β W(t| W)=β U(t)| W\beta_W(t|_W)=\beta_U(t)|_W.

Analogni teorem vrijedi i za snopove s vrijednostima u nekim drugim, ali ne svim zatvorenim kategorijama. Postoji ovakvo profinjenje gornjeg teorema:

\nxsubpoint Theorem. Ulaganja kategorija

snopovisepariranipredsnopovipredsnopovi snopovi \hookrightarrow separirani predsnopovi \hookrightarrow predsnopovi

imaju lijeve adjunkte. Funktor snopifikacije aa je kompozicija ta dva lijeva adjunkta, a njegova restrikcija na kategoriju separiranih predsnopova je lijevi adjunkt ulaganja snopova u separirane predsnopove.

Ovaj teorem će biti dokazan kao korolar naših daljih razmatranja u ovoj i slijede'coj lekciji. No, prije toga 'cemo konstruirati lijevi adjunkt sep:PFas BsepPFas B\mathrm{sep}:\mathbf{PFas}_B\to\mathbf{sepPFas}_B ulaganja separiranih predsnopova u predsnopove. Za to definiramo relaciju ekvivalencije U\sim_U na P(U)P(U) gdje sts\sim t akko postoji pokrivač {U i} i\{U_i\}_i skupa ii takav da s| U i=t| U is|_{U_i}=t|_{U_i}. Tada stavimo (sepP)(U)=P(U)/ U(\mathrm{sep}P)(U)=P(U)/\sim_U, te za svako ulaganje VUV\hookrightarrow U i sP˜(U)s\in \tilde{P}(U) s| Vs|_V je klasa po V\sim_V bilo kojeg predstavnika klase ss po U\sim_U.

\nxsubpoint (\zadatak 1.2) Pokaži da je sepP\mathrm{sep}P dobro definirani separirani predsnop.

\nxpoint Propozicija. Korespodencija Pη PP\mapsto \eta_P, gdje je η P\eta_P morfizam predsnopova PP u njegov asocirani snop a(P)a(P), s komponentama (η P) U:(sP(U))(s˜Γ U(P))(\eta_P)_U:(s\in P(U))\to(\tilde{s}\in \Gamma_U \mathcal{L}(P)) (gdje je preslikavanje ss˜s\mapsto\tilde{s} opisano u \refpoint{sub:tilda}), je prirodna transformacija η:Id PFas Ba\eta : \Id_{\mathbf{PFas}_B}\Rightarrow a.

Dokaz. Neka je α:PQ\alpha:P\to Q morfizam predsnopova. Moramo pokazati da dijagram

komutira. Drugim riječima, ukoliko je sP(U)s\in P(U) tada α U(s)˜=Γ U((α))(s˜)\widetilde{\alpha_U(s)}=\Gamma_U(\mathcal{L}(\alpha))(\tilde{s}), što, ako definicije raspišemo u proizvoljnoj točki bUb\in U vodi na tautologiju [α U(s)] b=[α U(s b)] b[\alpha_U(s)]_b = [\alpha_U(s_b)]_b.

\nxpoint Teorem. Postoji adjunkcija Γ\mathcal{L}\dashv \Gamma, čija jedinica je η:Pη P\eta:P\mapsto\eta_P. Ta adjunkcija se restringira na adjungiranu ekvivalenciju

| Fas B:Fas BEt B:Γ| Et B \mathcal{L}|_{\mathbf{Fas}_B} : \mathbf{Fas}_B \cong \mathbf{Et}_B :\Gamma|_{\mathbf{Et}_B}

izmedju kategorije snopova i kategorije etalnih prostora nad BB.

Dokaz. Zadajmo komponentu kojedinice ϵ π E:ΓEE\epsilon_{\pi_E}: \mathcal{L}\Gamma E\to E sa ϵ π E:[s] bs(b)\epsilon_{\pi_E}:[s]_b\mapsto s(b). Naime svaka točka u EE je oblika [s] b[s]_b gdje je s:U otvEs:U^{otv}\to E prerez od π\pi, i U otvbU^{otv}\ni b. To je dobro definirano jer ukoliko je [s] b=[t] b[s]_b=[t]_b onda se ss i tt podudaraju u nekoj okolini točke bb, dakle a fortiori u samoj točki bb. Takodjer je očito da π Fϵ π E=π E\pi_F\circ\epsilon_{\pi_E}=\pi_E jer obe strane šalju [s] b[s]_b u bb.

Treba pokazati da su relacije (“trokuti”) adjunkcije zadovoljene. Neka je PP predsnop, izračunajmo kompoziciju \label{eq:adjtriP}

Neka je [s] bP[s]_b\in{\mathcal{L}}P, tada (η P)([s] b)=[s˜] b{\mathcal{L}}(\eta_P)([s]_b)=[\tilde{s}]_b; nadalje ϵ P([s˜] b)=s˜(b)=[s] b\epsilon_{{\mathcal{L}}P}([\tilde{s}]_b) = \tilde{s}(b)=[s]_b, dakle kompozicija~() je identiteta.

Neka je, s druge strane, E=(EπB)E = (E\stackrel\pi\longrightarrow B) prostor nad BB i neka je sΓ UEs\in\Gamma_U E. Tada

(η ΓE) U(s)=s˜Γ U(ΓE) (\eta_{\Gamma E})_U(s)=\tilde{s}\in \Gamma_U (\mathcal{L} \Gamma E)

i

Γ(ϵ E)(s˜)(b)=(ϵ Es˜)(b)=ϵ E(s˜(b))=ϵ E([s] b)=s(b).\Gamma(\epsilon_E)(\tilde{s})(b) = (\epsilon_E\circ\tilde{s})(b) = \epsilon_E(\tilde{s}(b))=\epsilon_E([s]_b)=s(b).

Dakle, kompozicija

je identiteta.

Ranije smo pokazali da restrikcija Γ\Gamma na potkategoriju snopova Fas B\mathbf{Fas}_B zaista prima vrijednosti u potkategoriji etalnih prostora Et B\mathbf{Et}_B, i obratno, restrikcija funktora \mathcal{L} na Et B\mathbf{Et}_B prima vrijednosti u Fas B\mathbf{Fas}_B. Treba pokazati da su dvije kompozicije restrikcija funktora izomorfne identiteti, pri čemu su izomorfizmi jedinica i kojedinica neke adjunkcije. Naravno, to 'ce biti restrikcija gore definirane adjunkcije.

Neka je dakle E=(EπB)E=(E\stackrel\pi\longrightarrow B) etalni prostor. Pokažimo da je komponenta ϵ E\epsilon_E izomorfizam.

\nxsubpoint (\zadatak 1.3) Komponenta u UU komponente u PP jedinice (η P) U:P(U)(aP)(U)(\eta_P)_U: P(U)\to (aP)(U) (dana s ss˜s\mapsto\tilde{s}) nije op'cenito ni injekcija ni surjekcija (nadji primjere!). Dokaži da je η P\eta_P injekcija onda i samo onda ako je predsnop PP monopredsnop i surjekcija onda i samo onda ako je PP epipredsnop.

\nxpoint Korolar. Kategorija snopova nad BB je reflektivna potkategorija kategorije predsnopova nad BB, tj. inkluzija je potpun i vjeran funktor koji ima lijevi adjunkt. Ekvivalentno, kojedinica adjunkcije ΓId Bun B\Gamma\circ\mathcal{L}\Rightarrow Id_{\mathbf{Bun}_B} je izomorfizam.

\nxpoint (\zadatak 1.4) Pokaži da je morfizam etalnih prostora j:EFj:E\to F nad BB monomorfizam u Et\mathbf{Et} akko je injektivan kao preslikavanje totalnih skupova nad BB i slika j(E)j(E) je otvoren podskup u FF.

Last revised on January 9, 2013 at 17:13:14. See the history of this page for a list of all contributions to it.