Zoran Skoda predsnop

Predsnop $F$ nad kategorijom (ili “na kategoriji”) $C$ je samo drugi naziv za kontravarijantni funktor iz $C$ u neku kategoriju, koja je obično kategorija skupova $Set$. Dakle predsnop skupova nad $C$ je funktor $F:C^{op}\to Set$, predsnop abelovih grupa je funktor tipa $F: C^{op}\to Ab$ itd. Kako je morfizam funktora prirodna transformacija, to se ta definicija prenosi i na predsnopove. Dakle predsnopovi skupova (obično kažemo samo predsnopovi) na kategoriji $C$ čine kategoriju $\hat{C}$. Kako je $Hom(-,-):C^{op}\times C\to Set$ funktor (tj. $Hom$ je bifunktor kontravarijantan u prvoj i kovarijantan u drugoj varijabli) to je korespodencija $c\mapsto h_c = Hom(-,c)$ objektni dio funktora $h:C\to \hat{C}$ koji se zove Yonedino ulaganje i koje je, prema Yonedinoj lemi, vjeran i potpun funktor.

Motivacija za terminologiju “predsnop” i obrazac za njenu upotrebu dolazi iz slijedeće situacije. Neka je $X=(X,\tau)$ topološki prostor. Tada s $Ouv_X = Ouv(X,\tau)$ (od francuskog ouvrir = otvoren) označimo kategoriju čiji su objekti otvoreni skupovi u $X$, a morfizmi su inkluzije otvorenih skupova $i_{U,V}: U\hookrightarrow V$. Snopovi skupova na topološkom prostoru $X$ se mogu prikazivati na dva načina: kao tzv. etalni prostori nad $X$, tj. etalna preslikavanja $\mathcal{F}\to X$ ili kao predsnopovi iz kategorije $Ouv_X$ u skupove, tj. funktori tipa $F: Ouv_X^{op}\to Set$, koji uz to zadovoljavaju dva dodatna uvjeta lijepljenja. Kontravarijantni funktor na $Ouv_X$ će se naravno sastojati od preslikavanja na objektima $F:U\mapsto F(U)$ i preslikavanja na morfizmima $i_{U,V}\mapsto (F(i_{U,V}) = r_{U,V}: F(V)\to F(U))$ koji se zove restrikcija s $V$ na $U$.

Vidi također: diplomski kohomologija snopova, $n$Lab:presheaf, sheaf