Zoran Skoda stat-21-test-drugi-dio

Drugi test – dva zadatka, jedan iz normalne razdiobe i jedan za $\chi^2$-test.

1. (primjer iz stat-041220) Mjerimo koliko je palo kiše u selu Imbriovcu svakog ljeta. Ako pretpostavimo da je razdioba količine kiše po godinama dana normalnom razdiobom sa srednjom vrijednošću 280 mm po kvadratnom metru, i standardnom devijacijom 60 mm, kolika je vjerovatnost

a) da će u zadanoj godini biti ispod 200 mm kiše ?

b) da ́ce dvije godine za redom svake biti ispod 200 mm kiše ?

c) da će u zadanoj godini biti iznad 300 mm kiše ?

d) da će u zadanoj godini biti izmedju 250 i 300 mm kiše ?

Pri tome koristi tablice za jediničnu normalnu razdiobu (veličina Z), prve dvije stranice od https://www2.irb.hr/korisnici/zskoda/PhiHikvadrattablice.pdf

Rješenje:

U oznakama za normalnu razdiobu, srednja vrijednost je $\mu = 280$ te je standardna devijacija $\sigma = 60$.

(varijabla $X$)

$x = 200$, $z = \frac{x-\mu}\sigma = \frac{200-280}{60} = -1.33$

a) $P(X\lt 200)=P(Z\lt -1.33)=\Phi(-1.33)=.0918 =9.18$%

b) P(A i B) = P(A) puta P(B) jer su nezavisni događaji

P(2 godine za redom < 200 mm) = $0.0918\cdot 0.0918=$ 0.0084 = 0.84%

c) $P(X \gt 300) = 1- P(X\leq 300)$

$= 1 - \Phi((300-280)/60) = 1 - \Phi(0.33) = 1-0.6293 = 0.3707 = 37.07\%$

d) $P(250\lt X\leq 300) = P(X\leq 300)-P(X\leq 250)$

$$= 0.6293 - P(Z\leq (250-280)/60) = 0.6293 - 0.3085 = 0.3208 = 32.08\%$$

1. Primjer s engleske wikipedije chi-square test, radili smo ga na satu stat-111120. Milijun stanovnika u gradu su zaposleni. Gledamo uzorak od 650 radnika u 4 četvrti (rajona) grada, A,B,C,D i promatramo razdiobu po 3 grupe zanimanja koje označimo W,B,N (white collar, blue collar, no collar). Uzorak daje slijedeće rezultate

$$\array{ & A & B & C & D & ukupno\\ W& 90& 60& 104& 95& 349\\ B& 30& 50& 51& 20& 151\\ N& 30& 40& 45& 35& 150\\ ukupno& 150& 150& 200& 150& 650 }$$

Neka je nul-hipoteza da je razdioba po zanimanjima nezavisna od kvarta. Nađi $\chi^2$, izračunaj broj dimenzija i usporedi s tablicom, https://www2.irb.hr/korisnici/zskoda/PhiHikvadrattablice.pdf treća stranica, možemo li odbaciti nul-hipotezu sa sigurnošću većom od 95% (to određuje $\alpha$).

Rješenje za račun $\chi^2$-testa

Tablica očekivanih vrijednosti je

$$\array{ 80.5& 80.5& 107.4& 80.5\\ 34.8& 34.8& 46.5& 34.8\\ 34.6& 34.6& 46.2& 34.6 }$$

Doprinosi za $\chi^2$ su

$$\array{ 1.12& 5.22& 0.11& 2.61\\ 0.66& 6.64& 0.44& 6.29\\ 0.61& 0.84& 0.03& 0.00 }$$

$\chi^2 = 24.6$

dimenzija = (3-1)(4-1) = 6

Tu dimenziju koristimo u tablici.

Usporedbu s tablicom u rješenju diskutirat ćemo još naknadno.

Više primjera s $\chi$-kvadrat testom vidi u seminarskom radu A.G. pdf.