Zoran Skoda stat-230221

Kolegija zadarmatstat, Uvod u vjerojatnost i statistiku

Prva tema: kombinatorika – prebrojavanje

vjerojatnost – # povoljnih ishoda (outcome) podijeljen s # svih ishoda eksperimenta kad eksperiment ponavljamo s istim uvjetima jako puno puta

relativna frekvencija

vjerojatnost a posteriori = nakon mjerenja

Ocijeniti iz teorijskih razmišljanja – a priori

novčić s jedne i druge strane jednako vjerojatan pa su obe vjerojatnosti po 0.5

ishod = sve karakteristike koje se mjere u eksperimentu po dizajnu

elementarni događaj = potpuni opis ishoda koji se ne može dijeliti na podslučajeve

događaj = opis neke skupine mogućih ishoda, podskup skupa elementarnih događaja

skup svih događaja se sastoji od podskupova skupa elementarnih događaja

Jedno bacanje kocke ima ishode 1,2,3,4,5,6

2 ili 4 ili 6 = događaj “desi se paran broj”

statistika = struka ili znanost o podacima i obradi podataka

KOMBINATORIKA – prebrojavanje

Primjer. Riječ od tri slova u abecedi ACC, ŠFT. Koliko ima takvih troslovnih riječi ?

Gledamo faze (engl. stages) ili korake (engl. steps) građenja riječi

1) odaberi prvo slovo 30 mogućnosti

2) odaberi drugo slovo – zavisi li broj mogućnosti od prve faze – ovdje uvijek 30 mogućnosti, ZA SVAKU od 30 je opet 30 dakle 30 puta 30

3) za svaku od tih 900 mogućnosti imamo 30 = 27000

– princip uzastopnog prebrojavanja

Što ako se ni jedno slovo ne smije ponavljati

1) 30

2) za svaki 30, imam 29 mogućnosti preostalih slova za drugo slovo

3) imam 28 preostalih slova za birati na treće mjesto

rezultat: 30 puta 29 puta 28

Poredak slova u riječi je bitan!

Pitanja: mogu li se odlike faza ponavljati ?

ima li redoslijed važnosti ?

Problem. Na koliko načina možemo izabrati 3 čovjeka od 5 ljudi ?

Zanima nas tko je među izabranima, ne redoslijed

i svi su ljudi različiti

5 izaberi 3 to je 60:6 = 10

5 povrh 3 = 5 povrh 2

$$\binom{5}{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{120}{12} = 10$$

a b c d e –> c b a | e d

Princip uključivanja-isključivanja (inclusion-exclusion principle)

$$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$$

P probability

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

$$n(A \cup B \cup C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A \cap B) - n(A \cap C) - n(B\cap C) + n(A \cap B \cap C)$$

Kod statistike ćemo u kolegiju raditi dvije grupe analiza

1) statistika uzoraka (deskriptivna ili opisna) – opisuje karakteristike uzorka i ne pita se kakav je odnos prema široj populaciji iz koje je uzet uzorak

2) inferencijska statistika – što iz uzorka možemo procijeniti o cijeloj populaciji s procijenjenom statističkom sigurnošću – testiranje statističkih hipoteza

Urna ima 5 kuglica, 2 crne i 3 bijele

Vadimo nasumce po jednu kuglicu i ne vraćamo natrag, dok ne izvučemo barem jednu od svake vrste kuglica. Kolika je vjerojatnost da bijelu izvučemo prije crne ?

Nepovoljni slučajevi

cb 2/5 * 3/4 = 6/20 = 3/10

ccb 2/5 * 1/4 * 3/3 = 2/20 = 1/10

Povoljni slučajevi

bc 3/5 * 2/4 = 6/20 = 3/10

bbc 3/5 * 2/4 * 2/3 = 12/60 = 2/10

bbbc 3/5 * 2/4 * 1/3 * 2/2 = 6/60 = 1/10

ne/zavisni događaji

ukupno P(nešto se desi) = (3+1+3+2+1)/10 = 1

P(bijela prije crne) = 6/10 = 0.6 ili 60 posto