Zoran Skoda vektorski prostor

Vektorski prostor nad poljem $K = (K,+,\cdot,1,0)$ (čije elemente zovemo skalari) je komutativna grupa $V = (V,+)$ (čije elemente zovemo vektori) za koju je zadano preslikavanje $\bullet : K\times V\to V$, $(k,v)\mapsto k\bullet v$ (koje zovemo množenje skalara s vektorom) tako da za sve $k,h\in K$ i $v,w\in V$ vrijedi

• $k\bullet (h\bullet v) = (k\cdot h)\bullet v$

• $(k + h)\bullet v = k\bullet v + h\bullet v$

• $k\bullet (v + w) = k\bullet v + k\bullet w$

• $1\bullet v = v$

Ako je $K$ polje realni brojeva $\mathbb{R}$ tada govorimo o realnom vektorskom prostoru, ako je $K$ polje kompleksnih brojva od kompleksnom vektorskom prostoru. Postoje i drugi primjeri ali ta dva su najznačajniji.

(Ponekad se promatra i nešto općenitija definicija lijevog vektorskog prostora u kojoj je $K$ tijelo, a ostatak definicije je identičan. Analogno, kod desnog vektorskog prostora se traži množenje vektora skalarom zdesna $\bullet : V\times K\to V$, s analognim aksiomima. Kod polja također možemo definirati desnu verziju ali nema suštinske razlike kod prvog svojstva $(v\bullet k)\bullet h = v\bullet (k\cdot h)$ jer je množenje u $K$ komutativno.)

Ako su $v_1,v_2,\ldots, v_k$ vektori, tada je svaka suma oblika $a_1 v_2 + a_2 v_2 +\ldots a_k v_k$ gdje su $a_1,\ldots,a_k$ skalari linearna kombinacija vektora $v_1,\ldots, v_k$. To ima smisla i za beskonačne skupove vektora, ali tada u linearnoj kombinaciji dozvoljavamo da je samo konačno mnogo $a$-ova različito od nule (tako da dobijemo konačnu sumu). Dakle, linearna kombinacija elemenata beskonačnog skupa je proizvoljna linearna kombinacija elemenata njegovog proizvoljnog konačnog podskupa.

Skup svih linearnih kombinacija vektora iz nekog skupa vektora $S\subset V$ je linearna ljuska tog skupa. Vektorski potprostor vektorskog prostora je bilo koji podskup $W\subset V$ koji je zatvoren na linearne kombinacije, tj. koji je linearna ljuska samog sebe. Npr. cijeli prostor $V$ je ljuska samog sebe. Ako je linearna ljuska nekog skupa $S$ vektorski potprostor $W$, tj. svaki se vektor u $W$ može dobiti kao linearna kombinacija od (konačno) elemenata iz $S$ tada kažemo da $S$ razapinje $W$ ili da je $S$ skup izvodnica za $W$.

Kažemo da je $S$ linearno nezavisan skup vektora ako se ni jedan od njih ne može dobiti kao linearna kombinacija drugih. Ekvivalentan zahtjev je da ako je neka linearna kombinacija konačno mnogo elemenata iz $S$ jednaka $0$ tada su svi koeficijenti $0$ (ne postoji linearna kombinacija tih vektora s koeficijentima različitim od $0$ čija vrijednost je jednaka $0$).

Baza vektorskog prostora je skup vektora koji je istovremeno linearno nezavisan i skup izvodnica. Ekvivalentan zahtjev je da se svaki vektor u prostoru da napisati kao lineana kombinacija vektora baze i to na jedinstveni način. Da se napisati jer je skup izvodnica, a jedinstvenost dolazi iz nezavisnosti (jer da postoje dva različita načina, dvije različite sume, tada bi njihova razlika bila suma kojoj bi bar jedan koeficijent bio različit od nule, a čija suma je nula, dakle vektori su zavisni, što je kontradikcija).

Svake dvije baze nekog vektorskog prostora su ekvipotentne tj. imaju isti broj elemenata koji zovemo dimenzija tog prostora. (To se zaključi tako da se jedan vektor jedne baze doda drugoj bazi i onda se dobije linearno zavisan skup, iz kojeg možemo izbaciti neki drugi vektor opa ćemo opet dobiti bazu. I tako zamjenjujemo element po element dok sve ne iscrpimo. Ako ostane još koji vektor onda dobijemo zavisnost, pa dok smo sve zamijenili trebali bi dobiti toćno drugu bazu. Ovo je naravno samo skica argumenta)

Ako je dimenzija vektorskog prostora konačna kažemo da je to konačno dimenzionalan vektorski prostor. Svaki vektorski prostor ima neku bazu pa dakle ima i dimenziju.

Ako je $e = (e_1,\ldots, e_n)$ baza $n$-dimenzionalnog vektorskog prostora $V$, tada vektor $a_1 e_1 + a_2 e_2 + \ldots + a_n e_n$ pišemo i kao vektor stupac

$$\left(\array{a_1\\ a_2\\ \vdots \\ a_n}\right) = \left(\array{a_1\\ a_2\\ \vdots \\ a_n}\right)_e = \sum_{i = 1}^n a_k e_k = a_1 e_1 + a_2 e_2 + \ldots + a_n e_n$$

Skalare $a_1,\ldots,a_n$, a ponekad i vektore $a_1 e_1,\ldots, a_n e_n$, zovemo komponente vektora $a$. Upotrebljava se i izraz “rastav na komponente”. Indeks $e$ bi se trebao pisati, ali kako obično znamo s kojom bazom radimo za dani vektorski prostor, obično ga ne pišemo (osim kad se igramo s puno baza u istom prostoru).

Linearni operator je funkcija $f: V\to W$ iz vektorskog prostora $V$ u vektorski prostor $W$ koja je homogena (tj. $f(a v) = a f(v)$ za svaki vektor $v$ i svaki skalar $a$) i aditivna (tj. $f(v+v') = f(v)+f(v')$). Ta dva svojstva daju se napisati zajedno kao

$$f(a v + b v') = a f(v) + b f(v')$$

Linearni operator je očito homomorfizam Abelovih grupa vektora koji je uz to homogeno preslikavanje. Dakle, intuitivno, linearno preslikavanje je “homomorfizam vektorskih prostora”. Zato linearni operator koji je bijekcija, tj. ima inverz zovemo izomorfizam vektorskih prostora. Kako svaki vektor možemo napisati u bazi kao vektor-stupac, svaki $n$-dimenzionalni vektorski prostor nad poljem $K$ izomorfan je vektorskom prostoru $K^n$ kojem su elementi stupci od $n$-brojeva, zbrajanje je dano komponentu po komponentu, a množenje sa skalarom tako da svaku komponentu pomnožimo tim skalarom.

Svaki linearni operator se da napisati u terminima baze. Ako je u prostor $V$ zadana baza $e = (e_1,\ldots, e_n)$ od $n$ elemenata, a u prostoru $W$ baza $e' = (e_1',\ldots, e_m')$ od $m$ elemenata, tada je

$$f(b_1 e_1 + b_2 e_2 +\ldots b_n e_n) = b'_1 e'_1 + b'_2 e'_2 + \ldots + b'_m e'_m$$

gdje je $b'_1 = A_{11} b_1 + A_{12} b_2 +\ldots A_{1n} b_n$ i općenito $b'_j = A_{j1} b_1 + A_{j2} b_2 +\ldots A_{jn} b_n$, tj. za neku matricu $A = (A_{ij})$ s $n$ redaka i $m$ stupaca. Kažemo da ta matrica reprezentira linearni operator $f$ s obzirom na bazu $e$ od $V$ i $e'$ od $W$.

$$f\left(\array{b_1\\ b_2\\ \vdots \\ b_n}\right) = \left(\array{ A_{11} & A_{12} &\cdots & A_{1n}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A_{m1} & A_{m2}&\cdots &A_{m n} }\right) \left(\array{b_1\\ b_2\\ \vdots \\ b_n}\right)$$

gdje na desnoj strani množimo matrice. Kompozicija linearnih operatora se dalje nastavlja također kao množenje pripadnih matrica. Dakle ako su zadane baze $e, e', e''$ u prostorima $V,W,Z$ i linearni operatori $f:V\to W$ i $g:W\to Z$ tako da je $f$ opisan u bazama $e,e'$ matricom $A$, a $g$ u bazama $e',e''$ matricom $B$ tada je kompozicija $(g\circ f):V\to Z$ opisana matricom $B A$ u bazama $e,e''$. Matrica $B A$ je definirana jer je broj redaka u $A$ jednak broju elemenata baze u kodomeni od $f$, a to je baza $e'$ od $W$, a broj stubaca u $B$ je jednak broju elemenata baze u domeni od $g$, a to je baza $e'$ od $W$, dakle također jednak broju elemenata baze $e'$ u $W$. Dakle broj stupaca u $B$ je jednak broju redaka u $A$, što je potrebno da bi produkt $B A$ matrica bio definiran.

U nekim vektorskim prostorima, npr. vektorskom prostoru $K^n$ zadan je i skalarni umnožak, a u prostoru $\mathbb{R}^3$ i vektorski umnožak.

category: zadarmat4