Zoran Skoda uvjetna vjerojatnost

(Pogledajte i ovaj pdf)

Sjetimo se da je empirička vjerojatnost broj povoljnih ishoda (tj. onih koji odgovaraju specificiranom događaju) podijeljena s ukupnim brojem ishoda eksperimenta, kad je broj eksperimenata jako velik.

Ako nešto znamo o ishodu eksperimenta, to znači da smo se ograničili samo na neke ishode. Time se smanjuje i broj povoljnih ishoda (jer oni koji ne odgovaraju našem znanju nisu uključeni) i ukupni broj ishoda (iz istog razloga). Neka je $A$ neki događaj i znamo da se desio događaj $B$. Vjerojatnost da se desi $A$ ako znamo $B$ se označava s $P(A|B)$ i čita “vjerojatnost od $A$ ako $B$”. Idemo to izračunati. Sada je broj povoljnih ishoda broj svih ishoda kod kojih se dešava i $A$ i $B$ (ako promatramo događaje kao skupove, onda je događaj da se desilo i A i B, presjek skupova $A\cap B$), a mogući su samo ishodi iz $B$. Dakle, vjerojatno od $A$ ako znamo da je $B$ ispunjen je

$$P(A|B) = \frac{f_{A\cap B}}{f_{B}}= \frac{f_{A\cap B}/n}{f_{B}/n} = \frac{P(A\cap B)}{P(B)},$$

odnosno

$$P(A\cap B) = P(A|B) P(B)$$

(značenje formule: da bi se desilo i $A$ i $B$ mora se desiti $B$ (vjerojatnost $P(B)$) i ako je taj $B$ dakle ispunjen, mora se još desiti $A$, tj. $P(A|B)$).

Posljedica toga je tzv. Bayesova formula za uvjetnu vjerojatnost. Pretpostavimo da se događaj $A$ raspada na međusobno isključive slučajeve

$$A = A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n,$$

gdje su dogadjaji isključivi, tj. $A_1\cap A_2 = \emptyset$ itd. Sada,

$$A\cap B = (A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_n)\cap B = (A_1\cap B) \cup (A_2\cap B)\cup \ldots \cup (A_n\cap B),$$

i unija je ponovno disjunktna pa je

$$P(A\cap B) = P(A_1\cap B) + P(A_2\cap B) + \ldots + P(A_n\cap B),$$

dakle iz $P(A_i \cap B) = P(B|A_i)\cdot P(A_i)$ dobivamo tzv. formulu totalne vjerojatnosti

$$P(A\cap B) = P(B|A_1)\cdot P(A_1) + P(B|A_2)\cdot P(A_2) + \ldots + P(B|A_n)\cdot P(A_n)$$

Ako iz $B$ slijedi da se desio $A$ ($A\cup B$ ili $P(A\cap B) = P(B)$),

$$P(A_i | B) = P(A_i | (B\cap A)) = \frac{P(A_i\cap B\cap A)}{P(B\cap A)} = \frac{P(A_i\cap B)}{P(B)}$$

dakle dobivamo Bayesovu formulu

$$P(A_i | B) = \frac{P(B|A_i)\cdot P(A_i)}{P(B|A_1)\cdot P(A_1)+P(B|A_2)\cdot P(A_2)+\ldots+P(B|A_n)\cdot P(A_n)}$$

Primjer. U stadu su bijele i crne ovce. Vjerojatnost da bijela ovca ima mlade u nekoj godini je 0.4, a za crnu ovcu je 0.35. Bijelih ovaca ima 10 i crnih ovaca ima 8. Ukoliko smo nasumce izabrali ovcu i vidimo da ona ove godine ime mlade, kolika je vjerojatnost da je to bijela ovca ?

Rješenje. $P(ml|b) = 0.4$, $P(ml|c) = 0.35$, $P(b) = 10/18$, $P(c) = 8/18$. Prema Bayesovoj formuli,

$$P(b|ml) = \frac{P(ml\cap b)}{P(ml)} = \frac{P(ml|b)\cdot P(b)}{P(ml|b)\cdot P(b)+P(ml|c)\cdot P(c)} = \frac{0.4\cdot 10/18}{0.4\cdot 10/18 + 0.5\cdot 8/18},$$

dakle dobivamo

$$P(b|ml) = \frac{4/18}{4/18+5/18} = \frac{4/18}{9/18} = \frac{4}{9} = 0.4444\ldots = 44.44\%$$

Pogledajte i primjeri s Bayesovom formulom.