Zoran Skoda vjstat-zadaci-kombvjer2

Binomna razdioba

B1. Bacamo igraću kocku 5 puta. Kolika je vjerojatnost da će trojki i četvorki biti više nego svih ostalih rezultata zajedno ?

Rješenje. Vjerojatnost da u jednom bacanju dobijemo trojku ili četvorku je dvije mogućnosti od 6 jednakopravnih, dakle dvije šestine, p = 2/6 = 1/3, a vjerojatnost da dobijemo jednu od preostalih je q = 1-p = 4/6 = 2/3.

Ako bacamo 5 puta tada nas zanima ukupna vjerojatnost da trojka i četvorka budu ukupno 3, 4 ili 5 puta, jer je u ta tri slučaja više njih nego ostalih.

Ovdje očito imamo binomnu razdiobu, naime vjerojatnost da bude 3 puta, a 2 puta ne bude je 5 izaberi 3 onih mogućnosti u kojima dobijemo trojku ili četvorku puta vjerojatnost (1/3) na treću puta (2/3) na drugu.

$$P(3) = \binom{5}{3}\left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{3}\right)^2$$

$$P(4) = \binom{5}{4}\left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{3}\right)^2$$

$$P(5) = \binom{5}{5}\left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{3}\right)^2$$

Sada je

$$\binom{5}{3} = \frac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1} = 10$$

$$\binom{5}{4} = \binom{5}{5-4} = \binom{5}{1} = \frac{5}{1} = 5$$

$$\binom{5}{5} = \frac{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}{5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} = 1$$

Dakle

$$P(3) = 10\cdot \frac{2^2}{3^5} = \frac{40}{243}$$

$$P(4) = 5\cdot\frac{2^1}{3^5} = \frac{20}{243}$$

$$P(5) = 1\cdot\frac{1}{3^5} = \frac{1}{243}$$

$$P = P(3)+P(4)+P(5) = \frac{61}{243}\stackrel\cdot{=} 0.2510$$

Poissonova razdioba

P1. U periodu između 2 i 3 popodne Ulicom Gay-Lussaca u Parizu u prosjeku prođe 5 prolaznika, i ta frekvencija je približno jednolika. Kolika je vjerojatnost da od 2h44min do 2:46min prođe točno 8 prolaznika, ni jedan više, ni jedan manje.

r = 5 prolaznika/minuta ($\frac{5}{60}$ prolaznika/minuti jer ih prođe 5 u sat vremena?)

vrijeme t = 2 min

$\lambda = r\cdot t = 10$ prolaznika

je očekivani broj prolaznika u vremenu koje promatramo, dakle 2 minute.

Mi se pitamo vjerojatnost za $m = 8$ prolaznika u tom vremenu. Prema Poissonovoj razdiobi,

$$P(m) = \frac{\lambda^m \exp(-\lambda)}{m!} = \frac{\lambda^m e^{-\lambda}}{m!}$$

Dakle, kad uvrstimo,

$$\array{ P(m=8) &=& \frac{10^8\cdot e^{-10}}{8!} \\ &=& \frac{10^8\cdot e^{-10}}{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5 \cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1} \\ &=& 0.1126\,\,\,\,(\mathrm{dakle},\,\,\,11.26\,\,\mathrm{posto}) }$$

Zaista, $10^8/8! = 2480.15873016$ i $e^{-10} = exp(-10) = 2.7182818548^{-10} = 0.0000453999297625$.