Zoran Skoda zadarmat2 zadaci1

Ako kod broja zadatka piše A ili B, tada A znači da je ta varijanta zadatka za studente s prezimenom koje počinje na slova A-K, a B za studente sa slovima L-Ž. Prikažite postupak.

1 Pokaži, koristeći samo definicije i aksiome planimetrije, da svaki pravac koji prolazi kroz središte $S$ kružnice polumjera $r$ siječe tu kružnicu u točno dvije točke.

2A Promatrajte trokut sa stranicama duljina $3,4,5$. Pokažite da je pravokutan, Povucite visinu na hipotenuzu. Ona dijeli trokut na dva manja trokuta. Koji je omjer površina manjeg od ta dva trokuta u odnosu na površinu većeg od ta dva trokuta ?

2B Isto ali stranice su $5,12,13$.

3 Ako je trokut $A B C$ s tupim kutem kod stranice $B$ pokažite da su dvije visine (koja?) van trokuta.

4A Konstruirajte trokut kojem su dane dvije stranice, recimo $a$ i $b$ i visina $v_c$ na treću stranicu. Koji je uvjet na veličine $a,b,v_c$ da bi to bilo moguće ?

4B Konstruirajte trokut kojem su dani visina $v_c$, stranica $a$ i kut $\gamma$. Koji su uvjeti na veličine $v_c$, $a$, $\gamma$ da bi ta konstrukcija bila moguća ?

5A Dokažite, i pri tome obradite sve slučajeve, da ako dva kuta imaju međusobno paralelne krakove tada su oni kongruentni ili suplementarni. Gledamo samo kuteve manje od ispruženog kuta.

5B Dokažite, i pri tome obradite sve slučajeve, da ako dva kuta imaju međusobno okomite krakove tada su oni komplementarni. Gledamo samo kuteve manje od ispruženog kuta.

6A Skicirajte primjer nekonveksnog 7-kuta. Koliko dijagonala ima 7-kut. Koliko od tih dijagonala u vašem slučaju nisu unutar 7-kuta ? Koliki je zbroj kuteva u 7-kutu ?

6B Isto za nekonveksni 8-kut.

7 Objasni kako se zbrajaju kutevi (gdje je jedan kut dan predstavnikom klase ekvivalencije međusobno kongruentnih parova polupravaca s jednim vrhom, a drugi predstavnikom nekog para polupravaca s nekim drugim vrhom).

8 Kažemo da izometrija ravnine mijenja orijentaciju ako se da predstaviti kao kompozicija neparnog broja osnih simetrija. Koje od slijedećih izometrija mijenjaju orijentaciju: rotacija, translacija, osna simetrija, centralna simetrija ? Da li kompozicija osne simetrije, rotacije i centralne simetrije u tom redoslijedu mijenja orijentaciju ?

9A Izračunaj površinu trokuta sa stranicama $5,6,8$ (potreban kalkulator)

9B Izračunaj polumjer upisane kružnice za trokut sa stranicama $3,5,6$.

10A Koristeći Pitagorin poučak izračunaj visinu istostraničnog trokuta kojem su sve tri stranice jednake $a = 15$. Primijeti da istostraničan trokut nije pravokutan.

10B Koristeći Pitagorin poučak izračunaj omjer dviju različitih visina (veće i manje) istokračnog trokuta kojem su krakovi jednaki $a$, a osnovica $b$.