Zoran Skoda zaključivanje

Logika kao disciplina se bavi ispravnim (valjanim) zaključivanjem (Engl. valid reasoning). Formalna pravila valjanog zaključivanja čine neku konkretnu logiku kao sustav (logički sustav), npr. klasičnu logiku predikata. Deduktivni proces zaključivanja počinje od unaprijed danih pretpostavki (premisa, polaznih sudova koje smatramo točnim) i vodi na zaključak. Osnovni princip po kojem neki deduktivni sustav zaključivanja smatramo logičnim je slijedeći: Ako je premisa istinita i zaključivanje valjano tada je zaključak također istinit. Valjano zaključivanje koje počinje od istinitih premisa engleski se zove sound reasoning, vidi wikipedia:soundness.

Aristotel je razvio rani sustav formalnog deduktivnog zaključivanja koji nazivamo silogistika, a pojedina pravila zaključivanja u njemu su silogizmi. Deduktivno zaključivanje znači da se specijalizacijom opće činjenice (kod Aristotela to je tzv. glavna premisa, općenito to može biti cijeli niz prihvaćenih činjenica) zaključuje o posebnom slučaju. Najpoznatiji primjer je (s desne strane u jeziku predikata) ovaj

(glavna premisa) Svi su ljudi smrtni. $\forall x$, čovjek$(x)\implies smrtan(x)$

(sporedna premisa) Sokrat je čovjek. čovjek(Sokrat)

Dakle, (zaključak) Sokrat je smrtan. smrtan(Sokrat)

Očito smo umjesto čovjek(x) i smrtan(x) mogli uzeti bilo koja dva predikata s istim tipom argumenata. Ovdje je Sokrat primjer konstante.

Izdvojimo još neka najvažnija pravila zaključivanja.

Modus ponens

Ako su $P$ i $Q$ sudovi, i vrijedi $P$ i vrijedi $P\implies Q$ tada vrijedi i $Q$.

Kontrapozicija i modus tollens

Promatrajmo implikaciju $P\implies Q$. Njena kontrapozicija je implikacija $\neg Q\implies \neg P$. U klasičnoj logici ako vrijedi implikacija tada vrijedi njena kontrapozicija.

Modus tollens je tome blizak način zaključivanja. Ako vrijedi $P\implies Q$ i ako vrijedi $\neg Q$ tada vrijedi $\neg P$. Ponekad kažemo zaključivanje od suprotnog.

Ako vrijedi za svaki tada vrijedi za neki

Ako vrijedi $\forall x, P(x)$ tada zaključujemo $\exists x, P(x)$.

Ako vrijedi da nije za neki tada vrijedi da nije za svaki

Ako vrijedi $\neg (\exists x, P(x))$ tada vrijedi $\neg (\forall x, P(x))$.

Vidimo da je to kontrapozicija prethodnog pravila.

Pokazanje (demonstracija) postojanja

Ako je $c$ konstanta nekog tipa $Q$ i vrijedi $P(c)$ tada $c$ pokazuje da postoji neki $x$ za koji vrijedi $P(x)$ naime $x = c$ pa možemo ustvrditi $\exists_Q x, P(x)$. Ako sve varijable dolaze iz nekog univerzalnog skupa, tada možemo pripadnost nekom tipu gledati kao neki dodatni predikat $Q(x)$ pa ovaj isti način zaključivanja postaje:

$Q(c)$ Quito je slijepac.

$P(c)$ Quito nema novaca.

Zaključak: $(\exists x)(Q(x)\wedge P(x))$ (ili, u notaciji tipova, $\exists_Q x, P(x)$). Dakle, postoji slijepac koji nema novaca.

Tertium non datur (isključenje trećeg, the law of excluded middle)

Teorem logike sudova je da za svaki sud vrijedi $P\vee \neg P$. Do tog zaključka možemo npr. doći preko istinitostnih tablica.

Negacija negacije je afirmacija

Ako vrijedi $P$ tada vrijedi i $\neg\neg P$. U klasičnoj logici vrijedi i obrat: ako vrijedi $\neg \neg P$ tada vrijedi $P$.

Induktivno zaključivanje

Induktivno zaključivanje govori o poopćenju na osnovu neke množine posebnih slučajeva. Ta shema zaključivanja nema nužno istinit zaključak. Npr. ako vidimo da pet autobusa za redom ne stane pred nekom kućom mi očekujemo da i šesti ne stane. Takvo zaključivanje je korisno u životu no ono nije strogo u smislu logike. Logički je moguće da šesti autobus stane pred kućom.

Međutim, vjeruje se da je matematička indukcija (i neka njena poopćenja) logički stroga.

Terminologija nužnih i dovoljnih uvjeta

Ako iz nekog skupa premisa slijedi zaključak, kažemo da je taj skup premisa dovoljan za zaključak. Dakle, nije nam potrebno ništa više pretpostaviti (u danom logičkom sustavu).

Za neku premisu $P$ kažemo da je nužan uvjet za da tvrdnja $Q$ vrijedi ako je njena negacija proturječna s tom tvrdnjom, odnosno da $Q\wedge \neg P$ vodi na proturječje. Obično se kod takve tvrdnje podrazumijeva i neki kontekst dodatnih premisa.

category: zadarmat1