Zoran Skoda cilindar preslikavanja

Neka je $X\stackrel{f}\to Y$ preslikavanje. Tada možemo $X$ identificirati s zatvorenim potprostorom $X\times \{0\}\subset X\times I$, te $f$ identificarati s preslikavanjem $f': X\times\{1\}\to Y$, $(x,1)\mapsto f(x)$. Prostor $X\times I \cup_{f'} Y$ naziva se cilindar preslikavanja $Y$ (engl. mapping cylinder) $\mathrm{Cyl}(f)$. Cilindar preslikavanja $\id_X:X\to X$ homeomorfan je s $X\times I$, kojeg nazivamo i cilindar prostora $X$. Nekad su konvencije takve da je $f':X\times\{0\}\to Y$, u tom slučaju se cilindar u kojem je identifikacija kao prije za $t=1$ zove okrenuti ili inverzni cilindar.

Univerzalno svojstvo istiska za cilindar kaže da za svaki prostor $Z$ i preslikavavanja $g_1: X\times I\to Z$, $g_2:Y\to Z$ takve da $g_1(x,1)=g_2(f(x))$ za sve $x\in X$, postoji jedinstveno preslikavanje $k:Cyl(f)\to Z$, takvo da je kompozicija $X\times I\rightarrow Cyl(f)\stackrel{k}\to Z$ jednaka $g_1$ a kompozicija $Y\to Cyl(f)\stackrel{k}\to Z$ jednaka $g_2$.

Propozicija. Prirodno ulaganje $j:Y\to \mathrm{Cyl}(f)$ je homotopska ekvivalencija.

To prirodno ulaganje kompozicija je ulaganja $Y\hookrightarrow X\times I\coprod Y$ i kvocijentnog preslikavanja $X\times I\coprod Y\to X\times I \cup_f Y$.

Dokaz. $j$ je homotopska ekvivalencija jer možemo direktno konstruirati homotopski inverz. Homotopski inverz je dan s $\tilde{f}:[x,t]\mapsto f(x)$, gdje je $[x,t]$ klasa elementa $(x,t)\in X\times I$. Očito je svaki element u $\mathrm{Cyl}(f)$ takvog oblika te $\tilde{f}\circ j = \id_Y$. S druge strane $(j\circ\tilde{f})[x,t] = [f(x)]$. Homotopija $H:\mathrm{Cyl}(f)\times I\to Y$ dana je s

$$H([x,t],\tau) = [x,t+\tau(1-t)].$$

Lako se vidi da je $H(-,0) = \id_{\mathrm{Cyl}(f)}$, $H(-,1)=[f(-)]$.

Theorem. Neprekidno preslikavanje $i:A\to X$ jje kofibracija akko postoji retrakcija $r:X\times I\to Cyl(f)$ za kanonsko preslikavanje $X\times I \to Cyl(f)$.

Theorem. Neprekidno preslikavanje $f:X\to Y$ je homotopska ekvivalencija akko je $X = X\times\{1\}$ deformacijska retrakcija cilindra $Cyl(f)$ preslikavanja $f$.

Theorem. Ako je $f:X\to Y$ neprekidno preslikavanje, kompozicija

$$X\stackrel{\sigma_0}\to X\times I\stackrel{(\sigma_1)_* (f)}\to Cyl(f)$$

je kofibracija. Nadalje, preslikavanje $r:Cyl(f)\to Y$ određeno s $r([x,t])= f(x)$ (za sve $x\in X$ and $t\in I$) i $r([y])=y$ (for $y\in Y$) je dobro definirana homotopska ekvivalencija

Kompozicija $r\circ (\sigma_1)_* (f)\circ \sigma_0 = f$, dakle to daje razlaganje preslikavanja $f$ u kofibraciju i homotopsku ekvivalenciju.

Vidi također englesku verziju mapping cylinder (tamo je međutim konvencija da je $(x,0)\sim f(x)$).