Sjetimo se (vidi stranicu vektor) da je u euklidskoj ravnini ili 3-dimenzionalnom euklidskom prostoru skalarni umnožak dvaju vektora broj koji dobijemo kao umnožak duljina tih dvaju vektora i kosinusa kuta između njih. Sjetimo se da izbor neke točke prostora kao ishodišta i triju međusobno okomitih vektora jedinične duljine iz ishodišta , zadaje pravokutni koordinatni sustav koji daje bijekciju između točki prostora i trojki brojeva, tj. bijekciju euklidskog prostora s vektorskim prostorom . Ako je točka prostora onda njoj pridružujemo trojku brojeva koje su komponente vektora od ishodišta do točke ; te komponente proglašavamo koordinatama točke s obzirom na koordinatni sustav dan podacima . Bijekcija točki i trojki koordinata se može simbolički zapisati . Ako je u prostoru zadan koordinatni sustav, onda možemo skalarni umnožak izraziti i preko komponenti vektora koje skalarno množimo. Formula preko komponenti se može poopćiti umjesto za za bilo koji konačni broj dimenzija, tj. za vektorski prostor .
Neka je polje (npr. realni brojevi ) i skup -torki elemenata iz koje pomatramo kao vektor stupce:
Tada je -dimenzionalni vektorski prostor čiju standardnu bazu čine vektori
pa je . Brojeve zovemo komponente vektora , a ponekad i same vektore “u smjeru koordinatnih osi” zovemo vektorske komponente vektora . U dimenziji vektore označavamo i s ili .
Ukoliko je skalarno množenje (skalarni produkt) je funkcija dana formulom
gdje su na desnoj strani obične aritmetičke operacije na realnim brojevima. Rezultat koji dobijemo skalarnim množenjem dvaju vektora zovemo njihovim skalarnim umnoškom. Kako je množenje skalara komutativno iz definicijske formule slijedi za svaka dva vektora .
Kvadratni korijen skalarnog umnoška vektora sa samim sobom je njegova duljina (zaista, kosinus kuta je u tom slučaju kosinus od pa je skalarni umnožak jer je , pa je dakle .
U slučaju 3d prostora , a u slučaju 2d prostora . Pozitivni korijen broja je duljina (ili norma) vektora . Radi razlikovanja od oznake apsolutne vrijednosti broja, neki autori pišu za duljinu vektora umjesto . U 3 dimenzije formulu za duljinu vektora možemo pisati i .
U dimenziji definiramo i vektorski umnožak vektora kao jedinstveni vektor čija duljina je jednaka površini paralelograma razapetog s ta dva vektora, čiji smjer je okomit na oba zadana vektora, a smisao (orijentacija) je dan pravilom desne ruke (vidi na wikipediji. Ako je u prostoru zadan pravokutni koordinatni sustav, onda možemo izraziti vektorski umnožak i preko komponenti. Vektorski umnožak vektora je dakle vektor čije su komponente dane formulom
Primijetite ciklični poredak za pozitivni dio komponente. Iz te formule slijedi
Za one koji razumiju jezik determinanti (zasad u Matematici 3), napomenimo da gornju formulu za vektorski umnožak možemo napisati i u terminima determinante (i to na više načina, ovdje dana dva načina):
Kut između vektora u je kut između i radijana čiji je kosinus određen formulom
Lako se vidi da je u dimenziji kut između vektora i vektora pravi kut (tj. kosinus kuta je ), a također je i kut između i pravi. Ukoliko vektori i nisu jedan višekratnik drugog tada oni razapinju ravninu, i činjenica da je okomit na oba vektora povlači da je okomit na ravninu njima određenu (pravac je okomit na ravninu ako je okomit na sve pravce u toj ravnini, a to je onda i samo onda ako je okomit na dva neparalelna pravca u ravnini).
Tada je duljina vektora jednaka
a ta veličina je ujedno površina paralelograma čije dvije orijentirane stranice su predstavnici vektora s početnom točkom u jednom vrhu paralelograma.
U geometrijskom pristupu vektori su klase međusobno ekvivalentnih usmjerenih dužina. Dvije usmjerene dužine i su ekvivalentne ako se dužine i međusobno raspolavljaju, tj. je paralelogram. Duljina vektora čiji je predstavnik usmjerena dužina je geometijski udaljenost od točke do točke . Kako je u prostoru geometrijski dana mjera kuta, to se formule za skalarni i vektorski produkt podudaraju s formulama gore. Vektorski produkt dva vektora je jedinstveni vektor koji je okomit na dva zadana vektora, čija je duljina dana gornjom formulom sa sinusima, a njegova je orijentacija, ukoliko nije nul-vektor određena “pravilom desne ruke”.
U 3-dimenzionalnom prostoru možemo kombinirati vektorski i skalarni umnožak vektora u mješoviti umnožak 3 vektora. Ako su vektori tada prvo pomnožimo vektorski i onda dobiveni vektor pomnožimo vektorom skalarno; dobiveni rezultat množenja triju vektora je skalar (koji može biti negativan, pa i ). Isti rezultat dobijemo ako pomnožimo najprije i vektorski, a onda dobiveni rezultat s skalarno:
Oni koji razumiju determinante mogu jednakost lijevog i desnog izraza shvatiti kao dva načina izračuna determinante matrice – razvojem po trećem i razvojem po prvom stupcu. Pri tome primijetite da je minus predznak koji dolazi sa srednjim članom u oba razvoja gore uključen na način da su u pripadnoj razlici zamijenjeni pribrojnici u zagradi.
Apsolutna vrijednost mješovitog produkta jednaka je volumenu paralelepipeda kojemu s orijentirani bridovi koji polaze iz jednog vrha. To je isto kao i šesterostruki volumen tetraedra (trostrane piramide) čiji vrhovi su vrhovi te tri usmjerene dužine. Također je taj volumen jednak dvostrukom volumenu prizme kojoj je baza trokut razapet s dva od ta tri vektora, a treći vektor je zadani brid. Sve to vrijedi naravno ukoliko taj mješoviti produkt nije nula. Ukoliko je nula, to znači da su vektori zavisni, tj. njihovi predstavnici se mogu izabrati kao komplanarni.
Ako je ravnina koju određuju vektori i i kut između vektora i ravnine (tj. kut između i projekcije vektora na ravninu ) tada je
Predznak je na desnoj strani određen pravilom desne ruke (ili, ekvivalentno, desnog dlana, ili desnog vijka).
Primijetimo da je kut između ravnine i vektora komplementu kuta između normale na ravninu i vektora , a normala je proporcionalna vektoru .
Video docenta Kosora o mješovitom umnošku vektora: yt.
Last revised on March 2, 2023 at 10:34:58. See the history of this page for a list of all contributions to it.