Zoran Skoda
funkcija

Funkcija ili preslikavanje iz skupa AA u skup BB je pravilo koje svakom elementu skupa AA pridružuje točno određeni element skupa BB. Kažemo da funkcija svakom elementu u AA pridružuje jedan i samo jedan element skupa BB (to znači jedan i ništa više, tj. točno jedan). Skup dom(f)=Adom(f) = A zove se domena ili područje definicije funkcije ff, a skup cod(f)=Bcod(f)=B kodomena ili područje vrijednosti funkcije ff. Kažemo također da je ff definirana na skupu AA i da prima vrijednosti u skupu BB. Pišemo f:ABf : A\to B (ili, grafički naglašenije, AfBA\overset{f}\longrightarrow B), a rezultat pridruživanja ff na elementu aa je f(a)f(a). Ako je f(a)f(a) zadano (recimo kao formula) onda pišemo f:af(a)f : a \mapsto f(a). Primijetite razliku simbola \to i \mapsto. Neki pojmovi vezani uz funkcije su slika funkcije, praslika, restrikcija funkcije.

U teoriji skupova sve se formalizira kao skup pa se i neformalan koncept “pravila” (koji je jasan na konačnim skupovima, a možda malo manje jasan na zamišljenim objektima kao što su beskonačni skupovi) formalizira preko funkcijske relacije.

(Binarna) relacija RR iz AA u BB je bilo koji podskup RA×BR\subseteq A\times B Kartezijevog produkta A×B={(a,b)|aA,bB}A\times B = \{(a,b) \,|\,a\in A, b\in B\}, odnosno skupa svih uređenih parova kojima je prvi element iz prvog skupa AA, a drugi element iz drugog skupa BB. Ako je neki (a,b)R(a,b)\in R pišemo aRba R b i kažemo da je aa u relaciji RR s bb. (Binarna) relacija na skupu AA je bilo koja relacija iz AA u AA. Slično tome, ako je nn prirodni broj, nn-arna relacija na skupu AA je bilo koji podskup Kartezijevog produkta A×A××AA\times A\times \ldots \times A (AA se pojavljuje nn-puta).

Npr. jedna binarna relacija na (neformalnom) skupu drveća sastoji se od parova u kojima je prvo drvo u paru manje od drugog drveta u paru. To je relacija “manje”. Prvo drvo je manje od drugog u običnom smislu ako je prvo drvo u relaciji “manje” s drugim drvetom i pišemo prvo drvo “manje” drugo drvo.

Funkcijska relacija ff iz AA u BB je binarna relacija fA×Bf\subseteq A\times B s dva svojstva

  • ako je aAa\in A tada postoji element bBb\in B takav da afba f b

  • ako je afba f b i afca f c tada je b=cb = c (drugim riječima, postoji najviše jedan element u BB koji je u relaciji ff s AA)

Ta dva svojstva zajedno daju da za svaki element aa u AA postoji točno jedan element bb u BB takav da je afba f b.

Uvjerimo se da je funkcija i funkcijska relacija suštinski jedno te isto. Ako je ff funkcijska relacija tada je f(a)=bf(a) = b u jeziku funkcija točno onda kad je afba f b u jeziku relacija. Ako je g:ABg:A\to B funkcija onda je pripadna funkcijska relacija

Γ f={(a,f(a))|aA}A×B. \Gamma_f = \{ (a,f(a)) | a\in A\}\subseteq A\times B.

Tu funkcijsku relaciju zovemo graf funkcije ff. Nekad je označavamo naprosto s ff. Alternativno možemo pisati i Γf={(a,b)A×B|b=f(a)}\Gamma f = \{ (a,b)\in A\times B \,|\, b = f(a)\} [to je o;ito ekvivalentno gornjoj definiciji.]

Za svaku binarnu relaciju RR iz AA u BB može se definirati inverzna relacija R 1R^{-1} iz BB u AA ovako: bR 1ab R^{-1} a onda i samo onda ako aRba R b. Ako je RR funkcijska relacija to ne znači da će inverzna relacija biti funkcijska: oba svojstva funkcijske relacije iz definicije mogu pasti. Nužan i dovoljan uvjet da inverz zadane funkcijske relacije bude funkcijska relacije je da je zadana funkcijska relacija bijekcija.

To je jedan od razloga zašto za funkcije (ili, ekvivalentno, za funkcijske relacije) uvodimo pojmove injekcije, surjekcije i bijekcije. Funkcija f:ABf:A\to B je injekcija ako iz aaa\neq a' slijedi f(a)f(a)f(a)\neq f(a'). Drugim riječima, injekcija je funkcija koja nikad dva različita elementa ne šalje u isti element. Slika po funkciji ff nekog podskupa XAX\subset A je skup f(X)={bB|xX,f(x)=b}f(X)= \{b\in B\,|\,\exists x\in X,\,f(x) = b\}, dakle skup svih elemenata koji su pridruženi barem jednom elementu iz XX. Ako je A=XA = X kažemo da je f(A)=Im(f)f(A) = Im(f) slika domene od ff ili kratko slika funkcije ff. Funkcija je surjekcija ili “preslikavanje na” ako je Im(f)=BIm(f) = B. Tada kažemo i da je funkcija f:ABf:A\to B funkcija s AA na BB, što je jača tvrdnja nego kad kažemo da je iz AA u BB (ovo potonje ne znači da je ff surjekcija). Funkcija je bijekcija ako je injekcija i surjekcija istovremeno. Inverzna relacija za danu funkciju je funkcijska relacija (dakle također funkcija) onda i samo onda ako je zadana funkcija bijekcija. Inverz bijekcije je bijekcija.

Vidi definicije u Struni: funkcija, injekcija, surjekcija, bijekcija.

Ako su f:ABf:A\to B i g:BCg:B\to C funkcije (primijetimo: domena od gg se podudara s kodomenom od ff), tada je definirana složena funkcija (sinonim: kompozicija funkcija) gf:ACg\circ f:A\to C funkcija s domenom AA i kodomenom CC i zadana pravilom

(gf)(a)=g(f(a))aA. (g\circ f)(a) = g(f(a)) \,\,\,\,\,\,\forall a\in A.

Slaganje (tj. operacija kompozicije) funkcija nije komutativno. Npr. u ovom slučaju, ako su A,B,CA,B,C različiti, gfg\circ f je definirano, a fgf\circ g nije ni definirano, a kamoli jednako gfg\circ f. Naime, gg prima vrijednosti u skupu CC, pa odande ne možemo nastaviti funkcijom ff, jer funkcija ff ima za domenu ACA\neq C.

Identiteta na skupu AA je funkcija id A:AAid_A:A\to A zadana “tautološkim” pravilom id A:aaid_A :a\mapsto a. Ako je f:ABf:A\to B funkcija, tada fid A=f=id Bff\circ id_A = f = id_B\circ f.

Ako je CDC\subseteq D tada formula

i C:cc, i_C : c\mapsto c,

definira preslikavanje i C:CDi_C:C\to D. Dakle svaki element u CC se preslikava u samog sebe, ali shvaćenog kao elementa u nadskupu DD. Tu funkciju zovemo inkluzija. Za inkluziju strelicu često pišemo na način koji podsjeća na relaciju biti podskup. Dakle, i C:CD,i C:cci_C: C\hookrightarrow D, i_C:c\mapsto c.

Ako je Sdom(f)S\subseteq dom(f) tada definiramo suženje funkcije f| S:Scod(f)f|_S:S\to cod(f), formulom f| S(s)=f(s)f|_S(s) = f(s) za sve sSs\in S, vidi suženje funkcije. Uoči da je inkluzija i C:CDi_C:C\hookrightarrow D naprosto suženje identite id D:DDid_D:D\to D na podskup CDC\subseteq D.

Ako je AA skup i PAP\subseteq A podskup od AA. Tada postoji funkcija χ P:A{0,1}\chi_P:A\to \{0,1\} zadana pravilom a0a\mapsto 0 ako je aPa\notin P i a1a\mapsto 1 ako je aPa\in P. Tu funkciju nazivamo karakteristična funkcija podskupa PAP\subseteq A. Svaka funkcija A{0,1}A\to \{0,1\} je karakteristična funkcija nekog i ujedno jedinstvenog podskupa PAP\subseteq A. Dakle, podskupovi od AA su u bijekciji s funkcijama iz AA u dvočlani skup {0,1}\{0,1\}. Vidi više o tome na stranici partitivni skup.

Last revised on November 5, 2017 at 22:44:20. See the history of this page for a list of all contributions to it.