Zoran Skoda
geometrijske konstrukcije

Obično se promatraju geometrijske konstrukcije ravnalom (s jednim upotrebljivim bridom) i šestarom; podrazumijeva se da u šestar možemo uzeti udaljenost izmedju dvije zadane točke i da možemo odrediti sjecište dva pravca i pravca i kružnice sa crteža. O njima postoji dosta teorema u matematici, kad se neki problem može riješiti konstrukcijom tog tipa. Npr. dijeljenje općeg zadanog kuta na tri dijela nije rješiv problem na taj način (problem trodiobe/trisekcije kuta).

Iz knjige Pavković, Veljan, Elementarna matematika I, str. 111: “Pojasnimo sada što znači riječ konstruirati. Pri geometrijskim konstrukcijama služimo se samo s dva pomagala, a to su jednobridno ravnala s kojim možemo nacrtati pravac koji prolazi kroz dvije zadane točke i šestarom s kojim možemo oko svake točke opisati krunicu zadanog polumjera. Pri tome smatramo da znamo konstruirati presjek dvaju pravaca, presjek pravca i kružnice i presjek dviju kružnica.”

U sklopu zadarskog kolegija Matematika 2, slijedeće osnovne konstrukcije su dio obaveznog gradiva:

  • konstrukcija kružnice sa zadanim središtem i jednom točkom na kružnici
  • 4 osnovne konstrukcije trokuta (obrađeno na predavanjima i u knjizi Pavković-Veljan, str. 111-112)
  • konstrukcija kuta od 60 60^\circ (konstrukcija jednakostraničnog trokuta po prvoj osnovnoj konstrukciji trokuta (zadane 3 stranice) s po volji odabranom jednom stranicom daje kut pri svakom vrhu od 60 60^\circ).
  • simetrala dužine i polovište dužine
  • konstrukcija paralele na zadani pravac pp kroz zadanu točku AA van pravca – to se svodi na konstrukciju paralelograma kojem je jedna stranica na pravcu pp, a jedan od vrhova AA (jedan od načina je ovaj: oznažimo po volji dvije različite točke BCB\neq C na pravcu pp, uzmemo d(A,B)d(A,B) u šestar i nacrtamo kružnicu tog polumjera oko CC, uzmemo d(B,C)d(B,C) u šestar i nacrtamo kružnicu tog polumjera oko AA; te dvije kružnice imaju dva sjecišta – jedno od ta dva sjecišta je četvrta točka DD (naime ono za koje su DD i BB s različitih strana pravca BCB C), takva da je ABCDA B C D paralelogram; tada je ADA D traženi paralelni pravac kroz AA)
  • konstrukcija središta kružnice ako su zadane tri točke na kružnici (ako su one krajevi dužina, tada se simetrale tih dužina sijeku u središtu kružnice)
  • konstrukcija simetrale kuta (pa time i raspolavljanja kuta na 2 jednaka kuta): zabodemo šestar u vrh kuta i njime nacrtamo neki luk l 0l_0; presjek luka s krakovima kuta su dvije točke AA i BB. U šestar uzmemo ma koju duljinu veću od pola udaljenosti od AA do BB zabodemo u točku AA nacrtamo luk l Al_A, i u točku BB i nacrtamo luk l Bl_B istog polumjera. Pravac koji prolazi vrhom kuta i kroz oba sjecišta lukova l Al_A i l Bl_B je simetrala početnog kuta; zato obično crtamo simetralu kao pravac kroz vanjsko sjecište i kroz vrh početnog kuta (unutarnje sjecište je bliže vrhu trok uta pa je pravac obično nepreciznije nacrtan, a može se desiti i da se unutarnje sjecište poklopi s vrhom). Simetrala početnog kuta je očito ujedno simetrala dužine AB¯\overline{A B}.
  • ako je zadana kružnica s označenim središtem i točka u vanjštini pripadnog kruga, konstrukcija tangente na kružnicu koja prolazi zadanom točkom (kao rječenja, dobiju se dvije tangente). Spojnica dirališta tih dviju tangenti je polara zadane točke s obzirom na kružnicu
  • konstrukcija racionalnog višekratnika zadane duljine (neka je zadana dužina AB¯\overline{A B} i pozitivni racionalni broj m/nm/n, m,nm,n\in\mathbb{N}, ako je m>nm\gt n produljimo AB¯\overline{A B} dalje kao polupravac pp s vrhom AA, nacrtamo i neki drugi polupravac AqA q s istim vrhom tako da je qApq A p šiljasti kut; na kraku AqA q označimo neku pomoćnu točku C 1C_1 i nanesemo OC¯ 1\overline{O C}_1 k=max{m,n}k = max\{m,n\} puta, tj. označimo šestarom redom po uređaju na polupravcu AqA q točke A=C 0A = C_0, C 1,,C nC_1,\ldots,C_n tako da su duljine d(A,C 1)=d(C 1,C 2)==d(C k1,C k)d(A,C_1) = d(C_1,C_2) = \ldots = d(C_{k-1},C_k) jednake. Tada povučemo pravac C nBC_n B i njemu paralelan pravac kroz C mC_m, njegovo sjecište DD s polupravcem AqA q je točka takva da je d(A,D)=mnd(A,B)d(A,D) = \frac{m}{n} d(A,B) jer su trokuti DAC mD A C_m i BAC nB A C_n slični)
category: zadarmat2

Last revised on October 4, 2018 at 12:01:39. See the history of this page for a list of all contributions to it.