Zoran Skoda geometrijske konstrukcije

Obično se promatraju geometrijske konstrukcije ravnalom (s jednim upotrebljivim bridom) i šestarom; podrazumijeva se da u šestar možemo uzeti udaljenost izmedju dvije zadane točke i da možemo odrediti sjecište dva pravca i pravca i kružnice sa crteža. O njima postoji dosta teorema u matematici, kad se neki problem može riješiti konstrukcijom tog tipa. Npr. dijeljenje općeg zadanog kuta na tri dijela nije rješiv problem na taj način (problem trodiobe/trisekcije kuta).

Iz knjige Pavković, Veljan, Elementarna matematika I, str. 111: “Pojasnimo sada što znači riječ konstruirati. Pri geometrijskim konstrukcijama služimo se samo s dva pomagala, a to su jednobridno ravnala s kojim možemo nacrtati pravac koji prolazi kroz dvije zadane točke i šestarom s kojim možemo oko svake točke opisati krunicu zadanog polumjera. Pri tome smatramo da znamo konstruirati presjek dvaju pravaca, presjek pravca i kružnice i presjek dviju kružnica.”

U sklopu zadarskog kolegija Matematika 2, slijedeće osnovne konstrukcije su dio obaveznog gradiva:

• konstrukcija kružnice sa zadanim središtem i jednom točkom na kružnici
• 4 osnovne konstrukcije trokuta (obrađeno na predavanjima i u knjizi Pavković-Veljan, str. 111-112)
• konstrukcija kuta od $60^\circ$ (konstrukcija jednakostraničnog trokuta po prvoj osnovnoj konstrukciji trokuta (zadane 3 stranice) s po volji odabranom jednom stranicom daje kut pri svakom vrhu od $60^\circ$).
• simetrala dužine i polovište dužine (vidi lekciju mat2-250221).
• konstrukcija paralele na zadani pravac $p$ kroz zadanu točku $A$ van pravca – to se svodi na konstrukciju paralelograma kojem je jedna stranica na pravcu $p$, a jedan od vrhova $A$ (jedan od načina je ovaj: oznažimo po volji dvije različite točke $B\neq C$ na pravcu $p$, uzmemo $d(A,B)$ u šestar i nacrtamo kružnicu tog polumjera oko $C$, uzmemo $d(B,C)$ u šestar i nacrtamo kružnicu tog polumjera oko $A$; te dvije kružnice imaju dva sjecišta – jedno od ta dva sjecišta je četvrta točka $D$ (naime ono za koje su $D$ i $B$ s različitih strana pravca $B C$), takva da je $A B C D$ paralelogram; tada je $A D$ traženi paralelni pravac kroz $A$)
• konstrukcija središta kružnice ako su zadane tri točke na kružnici (ako su one krajevi dužina, tada se simetrale tih dužina sijeku u središtu kružnice)
• konstrukcija simetrale kuta (pa time i raspolavljanja kuta na 2 jednaka kuta): zabodemo šestar u vrh kuta i njime nacrtamo neki luk $l_0$; presjek luka s krakovima kuta su dvije točke $A$ i $B$. U šestar uzmemo ma koju duljinu veću od pola udaljenosti od $A$ do $B$ zabodemo u točku $A$ nacrtamo luk $l_A$, i u točku $B$ i nacrtamo luk $l_B$ istog polumjera. Pravac koji prolazi vrhom kuta i kroz oba sjecišta lukova $l_A$ i $l_B$ je simetrala početnog kuta; zato obično crtamo simetralu kao pravac kroz vanjsko sjecište i kroz vrh početnog kuta (unutarnje sjecište je bliže vrhu trok uta pa je pravac obično nepreciznije nacrtan, a može se desiti i da se unutarnje sjecište poklopi s vrhom). Simetrala početnog kuta je očito ujedno simetrala dužine $\overline{A B}$.
• ako je zadana kružnica s označenim središtem i točka u vanjštini pripadnog kruga, konstrukcija tangente na kružnicu koja prolazi zadanom točkom (kao rječenja, dobiju se dvije tangente). Spojnica dirališta tih dviju tangenti je polara zadane točke s obzirom na kružnicu
• konstrukcija racionalnog višekratnika zadane duljine (neka je zadana dužina $\overline{A B}$ i pozitivni racionalni broj $m/n$, $m,n\in\mathbb{N}$, ako je $m\gt n$ produljimo $\overline{A B}$ dalje kao polupravac $p$ s vrhom $A$, nacrtamo i neki drugi polupravac $A q$ s istim vrhom tako da je $q A p$ šiljasti kut; na kraku $A q$ označimo neku pomoćnu točku $C_1$ i nanesemo $\overline{O C}_1$ $k = max\{m,n\}$ puta, tj. označimo šestarom redom po uređaju na polupravcu $A q$ točke $A = C_0$, $C_1,\ldots,C_n$ tako da su duljine $d(A,C_1) = d(C_1,C_2) = \ldots = d(C_{k-1},C_k)$ jednake. Tada povučemo pravac $C_n B$ i njemu paralelan pravac kroz $C_m$, njegovo sjecište $D$ s polupravcem $A q$ je točka takva da je $d(A,D) = \frac{m}{n} d(A,B)$ jer su trokuti $D A C_m$ i $B A C_n$ slični)

category: zadarmat2