Zoran Skoda
hom09 zadaci

Exercises for homotopija u raznim kategorijama Winter 2009/2010.

  1. Neka su X,YX,Y metrički prostori. Pokaži da niz funkcija f nf_n u prostoru funkcija Map(X,Y)Map(X,Y) s kompaktno-otvorenom topologijom konvergira funkciji ff onda i samo onda ako na svakom kompaktu KXK\subset X, f n| Kuf| Kf_n|_K\stackrel{u}\to f|_K konvergira uniformno. Drugim riječima, za metričke prostore kompaktno-otvorena topologija poklapa se s topologijom uniformne konvergencije na kompaktima.

  2. Nađi (u terminima standardnih prostora kao što su interval, kružnica, sfera, figura osam, plašt konusa, konus, torus itd.) ove prostore:

  • konus Cone(S 1)Cone(S^1)
  • reducirani konus (tj. konus u kategoriji prostora s istaknutom točkom) Cone (pt)Cone^\cdot(pt) gdje je ptpt prostor koji se sastoji od jedne točke.
  • Cyl(f)Cyl(f) ako je f:S 1D 2f:S^1\to D^2 ulaganje kružnice kao granice zatvorenog diska istog radijusa
  • nađi netrivijalni primjer (linearno povezanog) prostora XX tako da je konus nad XX homeomorfan cilindru nad XX (trivijalni primjeri su prostor od samo jedne točke, i prazan skup)
  1. (Obavezan zadatak) Neka je X={a,b}X = \{a,b\} dvočlani skup s antidiskretnom topologijom i A={a}A =\{a\} jednočlani podskup (koji očito nije otvoren). Dokaži iz definicije kofibracije da je ulaganje AXA\hookrightarrow X kofibracija, tj. zadovoljava homotopy extension property za sve prostore ZZ.

  2. (Netrivijalno) Dokaži: ako je ulaganje topoloških prostora BYB\subset Y kofibracija i YY Hausdorffov, tada je BB zatvoren potprostor u YY.

  3. (i) (Lagano ali treba raspisati) Dokaži da je operacija ((X,x 0),(Y,y 0))(X,x 0)(Y,y 0)((X,x_0),(Y,y_0))\mapsto (X,x_0)\vee(Y,y_0) koprodukt (suma) na kategoriji topoloških prostora s istaknutom točkom.

    (ii) Nađi operaciju koja je koprodukt (suma) na kategoriji Top i 2Top^2_i čiji su objekti parovi (X,A)(X,A) topoloških prostora takvi da je AXA\subset X i gdje su morfizmi (X,A)(Y,B)(X,A)\to (Y,B) neprekidna preslikavanja f:XYf:X\to Y takva da je ABA\subset B.

  4. Neka je TopTop kategorija topoloških prostora i Top *Top_* kategorija topoloških prostora s istaknutom točkom. Fiksirajte unaprijed jedan prostor {pt}\{pt\} s jednom točkom. Pridružite svakom prostoru YY prostor Y +=(Y{pt},pt)Y_+ =(Y\coprod \{pt\},pt) s istanutom točkom. Na taj način, svakom prostoru je pridružen prostor s jednom dodatnom točkom koja je istaknuta. Dokažite da se ta operacija da proširiti tako da bude zadano i pripadno pridruživanje na nivou morfizama, tj. koje proširuje YY +Y\mapsto Y_+ do funktora. Pokažite također da je taj funktor ulaganje kategorija, tj. vjeran i pun.

  5. Ako je MM modelna kategorija i XX objekt u MM tada pokažite da je kategorija kriški M/XM/X (tj. preslikavanja s kodomenom XX, gdje su morfizmi komutativni trokuti) na prirodan način modelna kategorija (skica konstrukcije te modelne kategorije je i u Hirschhornu, no vi provjerite sve aksiome). Slično vrijedi i za kategoriju kokriški X\MX\backslash M i za “kombiniranu” kategoriju X\M/YX\backslash M/Y.

  6. Dokaži da je reducirana suspenzija ΣX=S 1X\Sigma X = S^1\wedge X bilo kojeg prostora X=(X,x 0)X=(X,x_0) s istaknutom točkom H-kogrupa (ideja je bila dana na satu preko crteža).

  7. Grupoid je malena kategorija u kojoj je svaki morfizam invertibilan. Osnovni primjer je kategorija 𝔹G\mathbb{B}G gdje je GG grupa: taj prostor ima jedan objekt 00 i za svaki gGg\in G jedan morfizam g:00g:0\to 0, kompozicija morfizma je definirana kao produkt u grupi. Jedan od početnih teorema u teoriji grupa kaže da je NGN\subset G normalna podgrupa onda i samo onda ako grupovna operacija na GG inducira operaciju na skupu G/NG/N lijevih klasa gNgN, gGg\in G, tj. ako klasa produkta ne zavisi od izbora predstavnika u klasama množitelja i množenika. Nađite prirodni uvjet normalnosti podgrupoida u proizvoljnom grupoidu koji će poopćiti pojam normalne podgrupe, tako da se teorem može poopćiti (tj. da se može definirati kvocijentni grupoid) i dokažite poopćenje.

  8. Neka je XgfYX\overset{f}\underset{g}\rightrightarrows Y paralelni par (tj. par morfizama ff i gg koji imaju istu domenu i istu kodomenu). Kažemo da morfizam h:YZh:Y\to Z ujednačava (engl. equalizes) taj par, (ili kažemo da zajedno s tim parom čini vilicu), ako je hf=hgh\circ f=h\circ g. Ta vilica je univerzalna ili kažemo da je h:YZh:Y\to Z ujednačitelj paralelnog para f,g:XYf,g:X\to Y ukoliko za svaki drugi h:YZh':Y\to Z' koji ujednačuje paralelni par f,gf,g postoji u:ZZu:Z\to Z' tako da je h=uhh'=u\circ h. Dakle ima mnogo morfizama koje ujednačuju paralelni par, a samo neke su ujednačitelji (i svi takvi su međusobno izomorfni). Ujednačitelji su slični istiscima (pushout) paralelnog para, no tamo bi imali dvije projekcije, koje mogu biti različite, a kod vilice su jednake, tj. imamo samo jednu. Vaš je problem slijedeći: Dokažite da je svaki morfizam hh za kojeg postoji paralelni par takav da je hh njegov ujednačitelj zapravo epimorfizam (takve epimorfizme zovemo regularni). (Ukoliko vam je primjer zanimljiv razmislite da li možete naći primjer kategorije i epimorfizma u njoj koji nije regularan. To nije moguće u kategoriji skupova: u SetSet je svaki epimorfizam regularan.)

  9. Dokaži da Δ[n]\mathbf{\Delta}[n] nije Kanov fibrant za n2n\geq 2.

  10. Dokaži da je morfizam simplicijalnih skupova f:XYf : X\to Y monomorfizam u kategoriji sSetsSet simplicijalnih skupova onda i samo onda ako je za svaki n>0n\gt 0, f n:X nY nf_n : X_n\to Y_n injekcija skupova, tj. monomorfizam u SetSet.

Last revised on May 8, 2011 at 18:28:50. See the history of this page for a list of all contributions to it.