Zoran Skoda hom09 zadaci

Exercises for homotopija u raznim kategorijama Winter 2009/2010.

1. Neka su $X,Y$ metrički prostori. Pokaži da niz funkcija $f_n$ u prostoru funkcija $Map(X,Y)$ s kompaktno-otvorenom topologijom konvergira funkciji $f$ onda i samo onda ako na svakom kompaktu $K\subset X$, $f_n|_K\stackrel{u}\to f|_K$ konvergira uniformno. Drugim riječima, za metričke prostore kompaktno-otvorena topologija poklapa se s topologijom uniformne konvergencije na kompaktima.

2. Nađi (u terminima standardnih prostora kao što su interval, kružnica, sfera, figura osam, plašt konusa, konus, torus itd.) ove prostore:

• konus $Cone(S^1)$
• reducirani konus (tj. konus u kategoriji prostora s istaknutom točkom) $Cone^\cdot(pt)$ gdje je $pt$ prostor koji se sastoji od jedne točke.
• $Cyl(f)$ ako je $f:S^1\to D^2$ ulaganje kružnice kao granice zatvorenog diska istog radijusa
• nađi netrivijalni primjer (linearno povezanog) prostora $X$ tako da je konus nad $X$ homeomorfan cilindru nad $X$ (trivijalni primjeri su prostor od samo jedne točke, i prazan skup)

1. (Obavezan zadatak) Neka je $X = \{a,b\}$ dvočlani skup s antidiskretnom topologijom i $A =\{a\}$ jednočlani podskup (koji očito nije otvoren). Dokaži iz definicije kofibracije da je ulaganje $A\hookrightarrow X$ kofibracija, tj. zadovoljava homotopy extension property za sve prostore $Z$.

2. (Netrivijalno) Dokaži: ako je ulaganje topoloških prostora $B\subset Y$ kofibracija i $Y$ Hausdorffov, tada je $B$ zatvoren potprostor u $Y$.

3. (i) (Lagano ali treba raspisati) Dokaži da je operacija $((X,x_0),(Y,y_0))\mapsto (X,x_0)\vee(Y,y_0)$ koprodukt (suma) na kategoriji topoloških prostora s istaknutom točkom.

   (ii) Nađi operaciju koja je koprodukt (suma) na kategoriji $Top^2_i$ čiji su objekti parovi $(X,A)$ topoloških prostora takvi da je $A\subset X$ i gdje su morfizmi $(X,A)\to (Y,B)$ neprekidna preslikavanja $f:X\to Y$ takva da je $A\subset B$.

4. Neka je $Top$ kategorija topoloških prostora i $Top_*$ kategorija topoloških prostora s istaknutom točkom. Fiksirajte unaprijed jedan prostor $\{pt\}$ s jednom točkom. Pridružite svakom prostoru $Y$ prostor $Y_+ =(Y\coprod \{pt\},pt)$ s istanutom točkom. Na taj način, svakom prostoru je pridružen prostor s jednom dodatnom točkom koja je istaknuta. Dokažite da se ta operacija da proširiti tako da bude zadano i pripadno pridruživanje na nivou morfizama, tj. koje proširuje $Y\mapsto Y_+$ do funktora. Pokažite također da je taj funktor ulaganje kategorija, tj. vjeran i pun.

5. Ako je $M$ modelna kategorija i $X$ objekt u $M$ tada pokažite da je kategorija kriški $M/X$ (tj. preslikavanja s kodomenom $X$, gdje su morfizmi komutativni trokuti) na prirodan način modelna kategorija (skica konstrukcije te modelne kategorije je i u Hirschhornu, no vi provjerite sve aksiome). Slično vrijedi i za kategoriju kokriški $X\backslash M$ i za “kombiniranu” kategoriju $X\backslash M/Y$.

6. Dokaži da je reducirana suspenzija $\Sigma X = S^1\wedge X$ bilo kojeg prostora $X=(X,x_0)$ s istaknutom točkom H-kogrupa (ideja je bila dana na satu preko crteža).

7. Grupoid je malena kategorija u kojoj je svaki morfizam invertibilan. Osnovni primjer je kategorija $\mathbb{B}G$ gdje je $G$ grupa: taj prostor ima jedan objekt $0$ i za svaki $g\in G$ jedan morfizam $g:0\to 0$, kompozicija morfizma je definirana kao produkt u grupi. Jedan od početnih teorema u teoriji grupa kaže da je $N\subset G$ normalna podgrupa onda i samo onda ako grupovna operacija na $G$ inducira operaciju na skupu $G/N$ lijevih klasa $gN$, $g\in G$, tj. ako klasa produkta ne zavisi od izbora predstavnika u klasama množitelja i množenika. Nađite prirodni uvjet normalnosti podgrupoida u proizvoljnom grupoidu koji će poopćiti pojam normalne podgrupe, tako da se teorem može poopćiti (tj. da se može definirati kvocijentni grupoid) i dokažite poopćenje.

8. Neka je $X\overset{f}\underset{g}\rightrightarrows Y$ paralelni par (tj. par morfizama $f$ i $g$ koji imaju istu domenu i istu kodomenu). Kažemo da morfizam $h:Y\to Z$ ujednačava (engl. equalizes) taj par, (ili kažemo da zajedno s tim parom čini vilicu), ako je $h\circ f=h\circ g$. Ta vilica je univerzalna ili kažemo da je $h:Y\to Z$ ujednačitelj paralelnog para $f,g:X\to Y$ ukoliko za svaki drugi $h':Y\to Z'$ koji ujednačuje paralelni par $f,g$ postoji $u:Z\to Z'$ tako da je $h'=u\circ h$. Dakle ima mnogo morfizama koje ujednačuju paralelni par, a samo neke su ujednačitelji (i svi takvi su međusobno izomorfni). Ujednačitelji su slični istiscima (pushout) paralelnog para, no tamo bi imali dvije projekcije, koje mogu biti različite, a kod vilice su jednake, tj. imamo samo jednu. Vaš je problem slijedeći: Dokažite da je svaki morfizam $h$ za kojeg postoji paralelni par takav da je $h$ njegov ujednačitelj zapravo epimorfizam (takve epimorfizme zovemo regularni). (Ukoliko vam je primjer zanimljiv razmislite da li možete naći primjer kategorije i epimorfizma u njoj koji nije regularan. To nije moguće u kategoriji skupova: u $Set$ je svaki epimorfizam regularan.)

9. Dokaži da $\mathbf{\Delta}[n]$ nije Kanov fibrant za $n\geq 2$.

10. Dokaži da je morfizam simplicijalnih skupova $f : X\to Y$ monomorfizam u kategoriji $sSet$ simplicijalnih skupova onda i samo onda ako je za svaki $n\gt 0$, $f_n : X_n\to Y_n$ injekcija skupova, tj. monomorfizam u $Set$.