Zoran Skoda
hom11lec1

Geometrija koneksija i integrabilnosti 2011, lekcija 1

Wed 26. 10. 2011. at 16 00 (exactly!) Math, room 002

Tema: glavni i asocirani svežnjevi nad topološkim prostorima

Predznanje za prvu lekciju: osnovni pojmovi o topološkim prostorima. Slijedeće lekcije: 2, 3.

Dodatna literatura za prvo predavanje

  • Dale Husemoller, Fibre bundles, McGraw-Hill 1966 (300 p.); Springer Graduate Texts in Math. 20, 2nd ed. 1975 (327 p.), 3rd. ed. 1994 (353 p.)
  • M M Postnikov, Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия (Lectures in geometry. Semester IV. Differential geometry.) Nauka, Moscow, 1988. 496 pp. MR90h:53002

L1.1 Djelovanja topoloških grupa

Def. Topološka grupa je grupa (G,)(G,\cdot) zajedno sa topologijom na GG, tako da su množenje G×GGG\times G\to G i inverzno preslikavanje gg 1g\mapsto g^{-1}, GGG\to G neprekidni.

Za element xx topološkog prostora XX, reći ćemo da je zatvorena točka, ako je jednočlani skup {x}\{x\} zatvoren podskup.

Fakt. Slijedeća svojstva topološke grupe GG su ekvivalentna:

(i) jednočlan skup 1 G{1_G} čiji je element jedinica grupe je zatvoren skup

(ii) svaki jednočlan podskup u GG je zatvoren

(iii) GG je Hausdorffov topološki prostor

(iv) GG je regularni topološki prostor (T 1T_1 i T 3T_3)

(v) GG je Tihonovljev topološki prostor

Ako je GG topološka grupa tada je lijevi (resp. desni) GG-prostor topološki prostor EE zajedno s lijevim (desnim) neprekidnim djelovanjem grupe GG na EE. U desnoj verziji djelovanje je neprekidna funkcija ν:E×GE\nu: E\times G\to E takva da ν(ν(e,g 1),g 2)=ν(e,g 1g 2)\nu(\nu(e,g_1),g_2) = \nu(e,g_1\cdot g_2) i ν(e,1 G)=e\nu(e,1_G) = e za sve eE,g 1,g 2Ge\in E, g_1,g_2\in G. U praksi ćemo djelovanje označavati naprosto spajanjem (konkatenacijom), tj. pisati ege g kao skraćenicu od ν(e,g)\nu(e,g). Desni GG-prostor je slobodan ako je djelovanje E×GEE\times G\to E slobodno, tj. ako je xg=xx g = x za neki xEx\in E i neki gGg\in G tada je g=1 Gg = 1_G.

Morfizam desnih GG-prostora EEE\to E', ili ekvivarijantno preslikavanje je bilo koje neprekidno preslikavanje f:EEf: E\to E' takvo da je f(eg)=f(e)gf(e g) = f(e) g za svaki eEe\in E i svaki gGg\in G. Desni GG-prostori i ekvivarijantna preslikavanja čine kategoriju koju ćemo označiti s TopGTop-G, lijevi GG-prostori i njihova ekvivarijantna preslikavanja (koja zadovoljavaju identitet tipa f(gy)=gf(y)f(g y) = g f(y)) na sličan način tvore kategoriju GTopG-Top.

Ako je x=ygx = y g za neke x,yEx,y\in E i neki gGg\in G, tada kažemo da su xx i yy u istoj orbiti. Drugim riječima orbita djelovanja P×GPP\times G\to P je bilo koji potprostor OPO\subset P oblika xG={xg|gG}x G = \{x g | g\in G \} gdje je xx fiksni element u EE. Svaki element u EE element je točno jedne orbite. Postoji projekcija s EE na skup svih orbita E/GE/G, xxGx\mapsto x G. Na E/GE/G postoji jedinstvena topologija takva da je projekcija can:EE/Gcan : E\to E/G, eeGe\mapsto e G tzv. epiomorfizam? topoloških prostora, tj. UU je otvoren skup onda i samo onda ako je totalna praslika π 1U\pi^{-1}U otvorena (epiomorfizam koji je ujedno i surjekcija nazivamo kvocijentno preslikavanje topoloških prostora),

L1.2 Translacijsko preslikavanje, svežnjevi i glavni GG-svežnjevi

Neka je PP neki GG-prostor. Tada definiramo prostor P× GPP\times_G P potprostor topološkog prostora P×PP\times P čiji elementi su svi parovi (p,p)P×P(p,p')\in P\times P takvi da postoji postoji gGg\in G tako da je pg=pp g = p'. Ako je PP slobodni GG-prostor, tada postoji funkcija τ:P× GPG\tau : P\times_G P \to G gdje je τ(p,p)\tau(p,p') jedinstveni element u GG takav da pτ(p,p)=pp\tau (p,p') = p'. Preslikavanje τ\tau ima svojstva τ(p,p)=1 G\tau(p,p) = 1_G i τ(p,p)τ(p,p)=τ(p,p)\tau(p,p')\tau(p',p'') = \tau(p,p'').

Ako je PP slobodan desni GG-prostor i funkcija τ\tau neprekidna tada kažemo da je PP glavni GG-prostor i da je τ\tau translacijsko preslikavanje ili preslikavanje dijeljenja.

Primjedba. U skladu s terminologijom dijeljenja, ponekad pišemo i τ(p,q)=:p 1q\tau(p,q) =: p^{-1} q. To se opravdava činjenicom da u toj notaciji vrijedi q=pgq = p g ako i samo ako p 1q=gp^{-1} q = g, što izgleda kao da smo zdesna podijelili s pp mada je potonji koncept samo parcijalno definiran.

Trojka (E,π,X)(E,\pi,X) gdje je E π X\array{E\\ \downarrow \pi \\ X} neprekidno preslikavanje zovemo svežanj (engl. bundle). Kažemo da je EE totalni prostor svežnja, XX baza svežnja, π\pi projekcija svežnja, i za svaki xXx\in X, kažemo da je potprostor π 1(x)=E x={eE|π(e)=x}E\pi^{-1}(x) = E_x = \{e\in E | \pi(e) = x\}\subset E vlakno (ili sloj) svežnja EE nad xx (ili “u točki xx”) Ta terminologija i običaj da pišemo preslikavanje od gore prema dolje u takvim kontekstima dolazi od Grothendiecka. U zapisu na webu ćemo zbog grafičkih uvjeta ipak većinom pisati vodoravno, za razliku od usmenih predavanja. Kažemo da je (E,π,X)(E,\pi,X) svežanj s tipičnim slojem ako su sva vlakna međusobno homeomorfna.

Ako je PP glavni GG-prostor, tada definiramo pripadajući svežanj s tipičnim slojem can:PP/Gcan : P\to P/G. Svako vlakno je homeomorfno s GG, naime neka je xP/Gx\in P/G, tada je ono oblika pGp G za barem jedan pp. Izaberimo jedan takav pp. Tada definiramo bijekciju ξ p:Gcan 1(x)\xi_p:G\to can^{-1}(x) s ξ p(g)=pg\xi_p(g) = p g. Iz te formule se, iz neprekinutosti djelovanja, vidi da je funkcija ξ p\xi_p neprekidno preslikavanje. Inverz od ξ p\xi_p je τ(p,):can 1(pG)G\tau(p,-) : can^{-1}(p G)\to G; iz formule slijedi neprekidnost tog inverza.

Def. Kažemo da je svežanj PπXP\stackrel\pi\longrightarrow X glavni GG-svežanj, gdje je GG topološka grupa, ako je PP (desni) glavni GG-prostor, te postoji homeomorfizam ψ:P/GX\psi: P/G\to X takav da je ψcan=π\psi\circ can = \pi gdje je can:PP/Gcan : P\to P/G prirodna projekcija glavnog GG-prostora na prostor orbita.

Primjedbe. (i) Neposredno se provjeri da je homeomorfizam ψ:P/GX\psi:P/G\to X je jedinstveno određen definicijom. (ii) Svaki glavni GG-svežanj je svežanj s tipičnim slojem i taj sloj je (izomorfan) GG.

Def. Neka su (E,π,X)(E,\pi,X) i (E,π,X)(E',\pi',X') dva svežnja. Morfizam iz π\pi u π\pi' je par (f,ϕ)(f,\phi) preslikavanja f:EEf: E\to E' i ϕ:XX\phi : X\to X' tako da ϕπ=πf\phi\circ\pi= \pi'\circ f. Za morfizam (f,ϕ)(f,\phi) kažemo da je nad ϕ\phi. Kompozicija se definira posebno za ϕ\phi-ove i posebno za ff-ove. Svežnjevi i njihovi morfizmi tako očito čine kategoriju. Ako je X=XX=X' tada za svaki morfizam nad id Xid_X kažemo da je morfizam nad XX. Morfizam iz (E,π,X)(E,\pi,X) u (E,π,X)(E',\pi',X) nad XX je dakle dan naprosto morfizmom f:EEf: E\to E' takvim da je πf=π\pi'\circ f =\pi. Kažemo neformalno da su morfizmi nad XX “komutativni trokuti”. To je specijalni slučaj kategorijske konstrukcije “kategorije kriški” nad XX. Svežnjevi i morfizmi nad fiksnom bazom XX čine dakle primjer kategorije kriški.

Propozicija. Neka je PP desni GG-prostor i π:PX\pi: P\to X neprekidno preslikavanje koje se faktorizira kroz kvocijent tj. π(pg)=π(p)\pi(p g) = \pi(p). Tada je π:PX\pi: P\to X glavni svežanj onda i samo onda ako preslikavanje topoloških prostora

Φ:P×GP× GP,(p,g)(p,pg) \Phi: P\times G\to P\times_G P, \,\,\,\,\,(p,g)\mapsto (p, p g)

homeomorfizam.

Dokaz. Kako je preslikavanje koje invertiramo (p,g)(p,pg)(p,g)\mapsto (p, p g) to je inverzno preslikavanje oblika Φ 1:(p,p)(p,f(p,p))\Phi^{-1} :(p, p')\mapsto (p, f(p,p')) za neki neprekinuti f:P× GPGf: P\times_G P\to G. Kako je kompozicija ΦΦ 1=id\Phi\circ\Phi^{-1} = id to pf(p,p)=pp f(p,p')= p', a iz jedinstvenosti inverza vidimo da je ff jedinstven. Dakle, djelovanje je slobodno, ff je translacijsko preslikavanje i ono je neprekinuto. U obratnom smjeru, ako je PP glavni GG-svežanj, tada konstruiramo inverz od Φ\Phi kao (p,p)(p,τ(p,p))(p,p')\mapsto (p,\tau(p,p'))

Teorem. Svaki morfizam f:PPf: P\to P' glavnih svežnjeva nad XX je izomorfizam.

Dokaz. (i) (ff je injekcija.) Sjetimo se najprije da preslikavanja nad XX čuvaju projekciju, tj. da πf=π\pi'\circ f = \pi. Neka je f(p 1)=f(p 2)f(p_1) = f(p_2). Tada je π(p 1)=π(f(p 1))=π(f(p 2))=π(p 2)\pi(p_1) = \pi'(f(p_1)) = \pi'(f(p_2)) = \pi(p_2). Kako je XP/GX\cong P/G to je π(p 1)=π(p 2)\pi(p_1) = \pi(p_2) ekvivalentno p 1G=p 2Gp_1 G = p_2 G, tj. postoji gGg\in G takvo da je p 2=p 1gp_2 = p_1 g. Po ekvivarijantnosti preslikavanja ff, tada f(p 2)=f(p 1g)=f(p 1)g=f(p 2)gf(p_2) = f(p_1 g) = f(p_1) g = f(p_2) g. Kako je djelovanje GG na PP' slobodno, to f(p 2)=f(p 2)gf(p_2)=f(p_2)g implicira g=1 Gg = 1_G i dakle p 2=p 11 G=p 1p_2 = p_1 1_G = p_1.

(ii) (ff je surjekcija.) Neka je pPp'\in P'. tada π(p)XP/G\pi'(p')\in X\cong P/G. Dakle postoji pPp\in P takav da je π(p)=π(p)\pi(p)=\pi'(p'). Slijedi da π(f(p))=π(p)=π(p)\pi'(f(p)) = \pi(p)= \pi'(p'), tj. f(p)G=pGf(p)G = p'G. To znači da postoji gGg\in G, takav da p=f(p)g=f(pg)p ' = f(p) g = f(p g). Dakle pp' je u slici preslikavanja ff.

(iii) (f 1f^{-1} je ekvivarijantan.) Promatrajmo f 1(ph)f^{-1}(p' h) gdje je pPp'\in P' i hGh\in G. Po bijektivnosti p=f(p)p' = f(p) za jedinstveni pp. Dakle f 1(ph)=f 1(f(p)h)=f 1(f(ph))=ph=f 1(p)f^{-1}(p' h) = f^{-1}(f(p) h) = f^{-1} (f(p h)) = p h = f^{-1}(p).

(iv) (f 1f^{-1} je neprekidno preslikavanje, ili ekvivalentno, ff je otvoreno preslikavanje.) Ovdje izlažemo varijantu dokaza iz Husemollerove knjige.

Treba dokazati da za svaki otvoreni skup UPU\subset P njegova slika f(U)f(U) je otborena, tj. da za svaki qf(U)q\in f(U) postoji otvorena okolina WW, qW˜ otvf(U)q\in \tilde{W}^{otv}\subset f(U), takva da f 1(W˜)Uf^{-1}(\tilde{W})\subset U.

Po neprekinutosti djelovanja P×GPP\times G\to P, postoji otvorena okolina U 1 otv×N otvU×GU_1^{otv}\times N^{otv}\subset U\times G od (f 1(q),1 G)(f^{-1}(q),1_G) takva da p 1gUp_1 g \in U ako p 1U 1p_1\in U_1 i gNg\in N. Nadalje, po neprekinutosti τ\tau', postoji otvorena okolina WW od qq, takva da ako su w,wWw,w'\in W u istom vlaknu od PP', onda je τ(w,w)N\tau'(w,w')\in N. Neka je U˜ 1=U 1f 1(W)f 1(q)\tilde{U}_1 = U_1\cap f^{-1}(W)\ni f^{-1}(q). Kako je π\pi kvocijentno (dakle, napose i otvoreno) preslikavanje, to je π 1(π(U˜ 1))\pi'^{-1}(\pi(\tilde{U}_1)) otvoren skup i W˜=Wπ 1(π(U˜ 1))\tilde{W} = W\cap\pi'^{-1}(\pi(\tilde{U}_1)) otvorena okolina točke qq. Vrijedi π(W˜)π(U˜ 1)\pi'(\tilde{W})\subset \pi(\tilde{U}_1), tj. za svaki wWw'\in W, wGf(U˜ 1)w' G\cap f(\tilde{U}_1)\neq\emptyset. Dakle wW˜\forall w'\in \tilde{W} pU˜ 1\exists p\in\tilde{U}_1 tako da π(w)=π(p)\pi'(w') = \pi(p), iz čega slijedi gG\exists g\in G, tako da je f(p)g=wf(p) g = w'. Kako je f(p)f(U˜ 1)Wf(p)\in f(\tilde{U}_1)\subset W, i wWWw'\in W'\subset W to je g=τ(f(p),w)Ng = \tau(f(p),w')\in N i konačno pτ(f(p),w)Up \tau(f(p),w')\in U, tj. w=f(p)τ(f(p),w)f(U)w' = f(p)\tau(f(p),w')\in f(U). Q. E. D.

Primijetite da je korištena neprekinutost translacijskog preslikavanja τ\tau' od PP', a nije važno zahtijevati neprekinutost τ\tau za PP.

L1.3 Povlačenje svežnjeva i glavnih GG-svežnjeva

Neka je (E,π,X)(E,\pi,X) proizvoljni svežanj i ϕ:YX\phi : Y\to X preslikavanje. Povlak (pullback) od π\pi uzduž ϕ\phi je svežanj ϕ *(E)ϕ *(ψ)Y\phi^*(E)\stackrel{\phi^*(\psi)}\to Y konstruiran kako slijedi. Topološki potprostor ϕ *EY×E\phi^*E \subset Y\times E (alternativna, nešto manje precizna notacija za ϕ *E\phi^*E je Y× XEY\times_X E) sastoji se od parova (y,e)(y,e) takvih da je ϕ(y)=π(e)\phi(y) = \pi(e); projekcija ϕ *(π):ϕ *EY\phi^*(\pi):\phi^* E\to Y je restrikcija od E×YYE\times Y\to Y; slično se definira i projekcija π *(ϕ):ϕ *EE\pi^*(\phi):\phi^*E\to E kao restrikcija od E×YEE\times Y\to E. Povlak zadovoljava univerzalno svojstvo, naime za svaki topološki prostor ZZ s (neprekidnim) projekcijama q E:ZEq_E: Z\to E i q Y:ZYq_Y: Z\to Y postoji jedinstveno preslikavanje χ:Zϕ *E\chi: Z\to \phi^*E takvo da q E=π *(ϕ)χq_E = \pi^*(\phi)\circ\chi i q Y=ϕ *(π)χq_Y = \phi^*(\pi)\circ\chi. Za svežanj ϕ *(π):ϕ *EY\phi^*(\pi):\phi^* E\to Y kažemo da je povučeni ili inducirani svežanj od π:EY\pi: E\to Y uzduž ϕ\phi. Lako je vidjeti da je vlakno nad yy kanonski izomorfno vlaknom nad ϕ(x)\phi(x). Kao posljedica toga, ako je (E,π,X)(E,\pi,X) svežanj s tipičnim slojem, inducirani svežanj je također svežanj s tipičnim slojem. Ako je (E,π,X)(E,\pi,X) glavni GG-svežanj, tada inducirani svežanj ϕ *E\phi^* E također postaje glavni GG-svežanj na kanonski način. Ako je f:(E 1,π 1,X)(E 2,π 2,X)f: (E_1,\pi_1,X)\to (E_2,\pi_2,X) morfizam svežnjeva (resp. glavnih GG-svežnjeva) nad XX, tada se konstruira (po univerzalnom svojstvu) i inducirani morfizam ϕ *(f):ϕ *E 1ϕ *E 2\phi^*(f) : \phi^* E_1\to \phi^* E_2 svežnjeva (resp. glavnih GG-svežnjeva) nad YY, i ϕ *\phi^* postaje funktor.

Propozicija. Neka su zadana preslikavanja ZψYϕXZ\stackrel\psi\longrightarrow Y\stackrel\phi\longrightarrow X i EE svežanj nad XX. Tada je ψ *(ϕ *E)\psi^*(\phi^* E) izomorfno s (ϕψ) *E(\phi\circ \psi)^* E kao svežanj nad ZZ. Nadalje, ako je id X:XXid_X: X\to X identično preslikavanje, tada je (id X) *EE(id_X)^* E \cong E.

Primjedba. To razmišljanje se može dalje utočniti rekavši da je operacija povlaka ϕϕ *\phi \mapsto \phi^* (induciranja svežnjeva) pseudofunktor iz kategorije topoloških prostora (koji imaju ulogu baze) u 2-kategoriju kategorija. Naravno kao objekti u slici pojavljuju se same kategorije svežnjeva nad fiksnim bazama. U drugom formalizmu, operacija induciranog (povučenog svežnja) može se formalizirati preko raslojenih (fibriranih) kategorija.

Propozicija. Ako je PπXP\stackrel\pi\longrightarrow X glavni svežanj, tada i i inducirani svežanj Y× XPYY\times_X P\to Y ima strukturu glavnog GG-svežnja na kanonski način; naime djelovanje na Y× XPY\times_X P inducirano je djelovanjem GG s desna na Y×PY\times P.

Skica dokaza. Da bi djelovanje bilo definirano na potprostoru Y× XPY\times_X P, taj potprostor sa svakim elementom iz Y×PY\times P kojeg sadrži mora sadržavati i cijelu njegovu orbitu. No ako je (y,p)Y× XP(y,p)\in Y\times_X P tada je i (y,pg)Y× XP(y,p g) \in Y\times_X P jer ϕ(y)=π(p)\phi(y) = \pi(p) implicira ϕ(y)=π(pg)\phi(y) = \pi(p g) jer je π(pg)=π(p)\pi(p g) = \pi(p) jer se po definiciji glavnog svežnja projekcija EXE\to X se faktorizira kroz prostor orbita EE/GXE\to E/G\to X. Čitatelju je ostavljeno da pokaže da je dobiveno djelovanje slobodno i da je inducirano translacijsko preslikavanje neprekidno.

L1.4 Trivijalni i lokalno trivijalni glavni GG-svežnjevi

Def. Kažemo da je glavni GG-svežanj PπXP\stackrel\pi\longrightarrow X trivijalan ako je izomorfan nad XX glavnom svežnju t *1t^* 1 koje je dobiveno povlačenjem jedinstvenog glavnog svežnja 1=(G{})1 = (G\to \{\star\}) nad jednoelementnim prostorom (pri ;emu je povlak uzduž jedinstvenog preslikavanja t:X{}t:X\to\{\star\}). Ekvivalentno, π\pi je trivijalan ako je izomorfan glavnom svežnju oblika projekcije s produktnog svežnja X×GXX\times G\to X. Glavni GG-svežanj je lokalno trivijalan ako postoji pokrivač? baze XX takav da za svaki UU iz pokrivača, restrikcija π 1UU\pi^{-1}U\to U je trivijalan glavni GG-svežanj.

Opservacija. (Npr. uz pomoć identiteta ψ *ϕ *E(ϕψ) *E\psi^*\phi^* E \cong (\phi\circ\psi)^* E) možemo primijetiti da je svaki svežanj izomorfan lokalno trivijalnom svežnju lokalno trivijalan.

Zadatak. Pokaži da je glavni GG-svežanj PXP\to X lokalno trivijalan akko postoji pokrivač {U α} α\{U_\alpha\}_\alpha takav da je povučeni svežanj ϕ *P αU α\phi^* P\to \coprod_\alpha U_\alpha uzduž prirodnog preslikavanja αU αX\coprod_\alpha U_\alpha\to X (induciranog familijom ulaganja U αXU_\alpha\hookrightarrow X) trivijalni glavni GG-svežanj.

Def. Neka je CC bilo koja kategorija i π:EX\pi:E\to X morfizam u CC. Kažemo da je morfizam σ:XE\sigma: X\to E prerez od π\pi ako je kompozicija πσ=id X\pi\circ\sigma = id_X.

Propozicija. Glavni GG-svežanj PπXP\stackrel{\pi}\longrightarrow X je trivijalan akko postoji prerez σ:XP\sigma:X\to P od π\pi u kategoriji topoloških prostora i neprekidnih preslikavanja.

(Jako je bitno da radimo s glavnim svežnjem; kod drugih tipova svežnjeva, recimo vektorskih svežnjeva, postojanje jednog prereza obično nije dovoljno za trivijalnost.)

Skica dokaza. Definiramo ξ σ:PX×G\xi_\sigma : P\to X\times G formulom p(π(p),τ(σ(π(p)),p))p\mapsto (\pi(p),\tau(\sigma(\pi(p)),p)) i inverz s (x,g)σ(x)g(x,g)\mapsto \sigma(x)g. Lako se vidi iz formula da su ta dva preslikavanja neprekidna. Ostaje lagana provjera da su oba preslikavanja ekvivarijantna i da su međusobno inverzna.

L1.5 Asocirani svežnjevi s vlaknom FF

Konstrukcija asociranih svežnjeva. Neka je EE desni, a FF lijevi GG-prostor. Tada definiramo E× GFE\times_G F kao kvocijent prostora E×FE\times F po modulu relacije (eg,f)=(e,gf)(e g, f) = (e, g f), za sve eEe\in E, fFf\in F, gGg\in G. Ako je PπXP\stackrel\pi\longrightarrow X tada je prirodna projekcija P× GFXP\times_G F\to X, [p,f]π(p)[p,f]\mapsto \pi(p) svežanj s tipičnim vlaknom koje je homeomorfno s FF. Kažemo da je P× GFXP\times_G F\to X asociran glavnom GG-svežnju PπXP\stackrel\pi\longrightarrow X s tipičnim slojem FF. Npr. ako je F=R nF = \mathbf{R}^n i G=GL(n)G = GL(n) s prirodnim lijevim djelovanjem na FF, tada je asocirani svežanj zapravo vektorski svežanj u smislu druge definicije koja će biti uvedena na jednom od kasnijih predavanja.

Teorem. Prerezi asociranog svežnja s vlaknom P× GFXP\times_G F\to X u bijekciji su s neprekidnim preslikavanjima f:PFf: P\to F takvim da je

f(pg)=g 1f(p),pP,gG. f(p g) = g^{-1} f(p), \,\,\,\,\,\,\forall p\in P, \forall g\in G.

Nije teško napisati formule za tu bijekciju i provjeriti da je bijekcija. Teže je dokazati da preslikavanje f sf_s inducirano na taj način od nekod prereza ss je u stvari neprekidno. Vidi Husemollerovu knjigu ili slijedeće predavanje.

L1.6 Kociklusni opis lokalno trivijalnih glavnih GG-svežnjeva

Neka je PπXP\stackrel{\pi}\longrightarrow X glavni GG-svežanj koji je lokalno trivijalan, odnosno koji je trivijalan na pokrivaču 𝒰={U α} α\mathcal{U} = \{U_\alpha\}_\alpha. Kako je trivijalnost π 1U αU α\pi^{-1}U_\alpha \to U_\alpha ekvivalentna postojanju prereza σ:U απ 1U α\sigma : U_\alpha\to \pi^{-1}U_\alpha projekcije π| π 1U α\pi|_{\pi^{-1}U_\alpha} (pri čemu izbor prereza nije jedinstven), izaberimo neku takvu porodicu prereza (po jedan prerez za svaki α\alpha) {σ α:U αG} α\{\sigma_\alpha: U_\alpha\to G\}_\alpha. Definirajmo neprekidna preslikavanja

f αβ:U αU βG f_{\alpha\beta} : U_\alpha\cap U_\beta\to G

formulom

f αβ(x)=τ(σ α(x),σ β(x)). f_{\alpha\beta}(x) = \tau(\sigma_\alpha(x),\sigma_\beta(x)).

Tada vrijede “1-kociklusni uvjeti”:

  • f αβf βγ=f αγf_{\alpha\beta} f_{\beta\gamma} = f_{\alpha\gamma} restringirano na U αU βU γU_\alpha\cap U_\beta\cap U_\gamma
  • f αα=1f_{\alpha\alpha} = 1 na U αU_\alpha.

Porodicu podataka f={f αβ:U αU βG} α,β\mathbf{f}=\{f_{\alpha\beta}: U_\alpha\cap U_\beta\to G \}_{\alpha,\beta} zvati ćemo 1-kociklusom na pokrivaču 𝒰\mathcal{U} s vrijednostima u GG ukoliko zadovoljava 1-kociklusne uvjete.

Neka je 1-kociklus f\mathbf{f} na nekom pokrivaču 𝒰\mathcal{U} topološkog prostora XX zadan. Tada on definira glavni GG-svežanj P(f)P(\mathbf{f}) na slijedeći način. Najprije konstruiramo trivijalni GG-svežanj

αU α×G αU α\array{ \coprod_\alpha U_\alpha\times G\\ \downarrow \\ \coprod_\alpha U_\alpha }

a nakon toga identificiramo neke točke i u totalnom prostoru i u baznom prostoru. Točku xU αx\in U_\alpha u disjunktnoj uniji αU α\coprod_\alpha U_\alpha označavamo kao (x) α(x)_\alpha (to je samo drugi način pisanja za (x,α)(x,\alpha)), a točku (x,g)U α×G(x,g)\in U_\alpha\times G s (x,g) α(x,g)_\alpha (tj. (x,g,α)(x,g,\alpha)). Tada u bazi identificiramo (x) α(y) β(x)_\alpha\sim (y)_\beta akko x=yx=y (u XX). Tada dobijemo ( αU α)/= αAU α=X\left(\coprod_\alpha U_\alpha\right)/\sim = \cup_{\alpha\in A} U_\alpha = X. U totalnom prostoru, identificiramo

(x,g) α(y,h) βx=yig=f αβ(x)h (x,g)_\alpha \sim (y,h)_\beta \Leftrightarrow x = y\,\,\,i\,\,g = f_{\alpha\beta}(x) h

This is motivated by the situation in principal bundle with sections chosen, where σ α(x)g=σ β(x)h\sigma_{\alpha}(x) g = \sigma_{\beta}(x) h what means g=τ(σ α(x),σ β(x))h=f αβ(x)hg = \tau(\sigma_\alpha(x),\sigma_\beta(x))h= f_{\alpha\beta}(x) h.

Last revised on November 22, 2017 at 07:39:06. See the history of this page for a list of all contributions to it.