Zoran Skoda hom11lec3

hom11connections,1,2,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17.

L3.1 Operacije na vektorskim svežnjevima

Velika klasa funktora se može kanonski proširiti s vektorskih prostora na vektorske svežnjeve. U ovom odjeljku ćemo radi jednostavnosti raditi s realnim vektorskim prostorima i svežnjevima.

Neka je $Vec$ kategorija konačno dimenzionalnih vektorskih prostora i linearnih preslikavanja. Označimo $Vec^{\times n} = Vec \times Vec\times \ldots Vec$ ($n$ times). Tada promatramo funktore oblika

$$T : Vec^{\times n}\times (Vec^{op})^{\times m}\to Vec$$

pri čemu je nekad zgodno i postaviti faktore u drugom redoslijedu.

Linearna preslikavanja $Hom(V,W)$ čine također konačno dimenzionalni vektorski prostor; svi konačno-dimenzionalno vektorski prostori su opremljeni jedinstvenom topologijom koja je inducirana normom (sama norma kao što znamo nije jedinstvena).

Kako je $T$ funktor, on je zadan i na morfizmima. Mi ćemo tražiti da za $f_1, \ldots, f_n,g_1,\ldots, g_m \in Mor(Vec)$ vrijednost $T(f_1,\ldots,f_n,g_1,\ldots,g_m)$ neprekidno zavisi od $f_1,\ldots,f_n,g_1,\ldots,g_m$. To se može preciznije reći na nekoliko načina (…). U starim knjigama iz diferencijalne topologije tada kažu da je $T$ neprekidan no to nije dobar termin jer je u koliziji sa nešto standardnijom i općenitijom terminologijom iz teorije kategorija.

Teorem. Neka je $T$ funktor s uvjetom “neprekidnosti” kao gore. Tada postoji jedinstveni funktor $\tilde{T}$ iste kovarijantnosti kao i $T$ na kategoriji (lokalno trivijalnih konačno-dimenzionalnih realnih) vektorskih svežnjeva nad fiksnim topološkim prostorom $X$, takav da za vektorske svežnjeve $V_1,\ldots,V_n,W_1,\ldots,W_m$ vrijedi

(i) vlakno u $x$, $(\tilde{T}(V_1,\ldots,V_n,W_1,\ldots,W_m))_x = T((V_1)_x, \ldots,(V_n)_x,(W_1)_x,\ldots,(W_m)_x)$

(ii) ako je $U\subset X$ otvoreni skup na kojem se istovremeno svi argumenti $V_1,\ldots,V_n,W_1,\ldots,W_m$ trivijaliziraju tada se na njemu trivijalizira i $\tilde{T}(V_1,\ldots,V_n,W_1,\ldots,W_m)|_U$. Preciznije, ako je za svaki $r = 1,\ldots,n$ $\phi_r: U\times \mathbf{R}^{s_r}\to V_r$ (i slično za $W$-ove, i njihove karte $\psi_r$, te s oznakom $(\phi_n)_x:v\mapsto \phi_n(x,v)$) vrijedi da je $\Phi:U\times \prod_r \mathbf{R}^{s_r}\to \coprod_{x\in U} (\tilde{T}(V_1,\ldots,V_n,W_1,\ldots,W_m))_x$ dano s $\Phi_x = T((\phi_1)_x,\ldots,(\phi_n)_x,(\psi_1)_x,\ldots,(\psi_n)_x)$.

Skica dokaza. $\Phi$ je bijekcija jer su argumenti od $T$ izomorfizmi, po funktorijalnosti. Da bi na totalnom prostoru preko tih bijekcija bila dobro prenešena/definirana topologija, razne karte trebaju biti međusobno kompatibilne, tj. funkcije prijelaza neprekidne. Njih je lako izračunati. Naime na $U\cap V$ mi moramo provjeriti da $\Phi'_x\circ\Phi^{-1}_x$ neprekidno zavise od $x$; po fuktorijalnosti to daje

$$T((\phi'_1)_x,\ldots,(\psi'_m)_x)^{-1})\circ T((\phi_1)_x,\ldots,(\psi_m)_x) = T((\phi'_1^{-1}\circ\phi_1)_x,\ldots,(\psi'_m^{-1}\circ\psi_m)_x),$$

a desna strana zavisi neprekidno o $x$ jer su $\phi'_1^{-1}\circ\phi_1$ itd. neprekidni i jer $T$ ima svojstvo neprekidnosti.

L3.2 Topološke mnogostrukosti

Topološka mnogostrukost dimenzije $n$ je topološki prostor $M$ sa svojstvom da svaka točka $p\in M$ ima otvorenu okolinu $U\ni p$ koja je homeomorfna $\mathbf{R}^n$. Takav homeomorfizam $\phi:U\to\mathbf{R}^n$ se zove karta oko $p$ i pišemo $p\in (U,\phi)$. Skup karti $(U_\alpha,\phi_\alpha)$ se zove atlas ako pokriva $M$, tj. $\cup_\alpha U_\alpha = M$.

Najčešće se na topološke mnogostrukosti dodaju još dva uvjeta, a to je da topološka mnogostrukost bude Hausdorffova i da zadovoljava drugi aksiom prebrojivosti. Ta dva dodatna svojstva impliciraju da je $X$ parakompaktan. Po Dieudonneovom teoremu svaki parakompaktan topološki prostor je normalan. Na satu je objašnjen primjer neHausdorffove topološke mnogostrukosti.

L3.3 Diferencijalne i glatke mnogostrukosti

U analizi govorimo o funkcijama $f:U\to V$ gdje je $U^{otv}\subset\mathbf{R}^n$ i $V^{otv}\subset\mathbf{R}^m$ koje su klase $C^k$, gdje je $k = 0$ (neprekidne) ili $k = 1,2,\ldots$ (diferencijabilne klase $C^k$, tj. imaju sve parcijalne derivacije do reda $k$ i one su neprekidne) ili $k = \infty$ (glatke) ili $k= \omega$ (analitičke).

Kažemo da je neki atlas $\{(U_\alpha,\phi_\alpha)\}_\alpha$ (u smislu topoloških mnogostrukosti) klase $C^k$ (ili $C^k$-atlas), ako su za svaki par karti $(U_\alpha,\phi_\alpha), (U_\beta,\phi_\beta)$ za koje $U_\alpha\cap U_\beta \neq \emptyset$ vrijedi da je “preslikavanje prijelaza” $\phi_\alpha\circ \phi_\beta^{-1}|_{\phi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)}$ difeomorfizam klase $C^k$ (i inverz mu je klase $C^k$; za takav par karti se inače kaže da su kompatiblne).

Dva atlasa klase $C^k$ su ekvivalentna ako je njihova unija $C^k$-atlas, ili ekvivalentno, da je svaka karta prvog atlasa $C^k$-kompatibilna svakoj karti drugog atlasa. Atlas je maksimalan $C^k$-atlas ako nije sadržan niti u jednom većem $C^k$-atlasu. Diferencijalna struktura klase $C^k$, $k\geq 1$, na topološkoj mnogostrukosti $M$ je izbor klase ekvivalencije $C^k$-atlasa ili, ekvivalentno, izbor maksimalnog $C^k$-atlasa na $M$. Ta diferencijalna struktura je određena bilo kojim $C^k$-atlasom na $M$: različiti atlasi definiraju istu $C^k$-strukturu ako su međusobno $C^k$-kompatibilni, ili ekvivalentno, ako su sadržani u istom maksimalnom atlasu. Diferencijabilna mnogostrukost klase $C^k$ gdje je $k =1,2,\dots,\infty,\omega$ je pa topološke mnogostrukosti i diferencijabilne strukture klase $C^k$. Diferencijabilna mnogostrukost klase $C^\infty$ često se naziva glatka mnogostrukost, a diferencijabilna mnogostrukost klase $C^\omega$ se obično naziva analitička mnogostrukost. Na analogan način se preko karti u $\mathbf{C}^n$ s holomorfnim (analitičkim) funkcijama prijelaza definiraju kompleksne mnogostrukosti koje su po definiciji analitičke, pa ne treba reći “diferencijabilne”.

Kako je otvorena kugla $\stackrel{\circ}\mathbf{B}^n\subset \mathbf{R}^n$ difeomorfna cijelom $\mathbf{R}^n$ to je svaki otvoreni podskup od $\mathbf{R}^n$ glatka mnogostrukost.

Ponekad pišemo $M^m$ da naglasimo da neka mnogostrukost $M$ ima dimenziju $m$. Neprekidno preslikavanje $f: M^m\to N^n$ diferencijabilnih mnogostrukosti je klase $C^k$ ako za svake dvije karte $(U,\phi)$ na $M^m$ i $(V,\psi)$ na $N^n$ s $U\cap f^{-1}(V)\neq\emptyset$, funkcija

$$\psi\circ f\circ\phi^{-1} : \phi(U\cap f^{-1}(V))\to \psi(V)$$

je klase $C^k$. Primjetite da je funkcija $\psi\circ f\circ\phi^{-1}$ funkcija među otvorenim podskupovima od $\mathbf{R}^n$ i od $\mathbf{R}^m$ respektivno.

Vektorski svežanj je diferencijabilni vektorski svežanj klase $C^k$ ako su totalni prostor i bazni prostor diferencijabilne mnogostrukosti klase $C^k$, ako je projekcija klase $C^k$ i funkcije prijelaza klase $C^k$ kao preslikavanja s vrijednostima u $GL(n,\mathbf{R})$ s prirodnom glatkom strukturom.

L3.4 Tangentni svežanj

Za svaku $C^k$-mnogostrukost $M^n$ definiramo tangentni svežanj $T M^n\to M$ kojhi je klase $C^{k-1}$ ako je $k = 1,2,\ldots$ prirodni broj i $C^k$ ako je $k = \infty$ ili $k =\omega$.

Prvo definiramo tangentni vektor na jedan od tri standardna načina.

(1) geometrijska definicija: tangentni vektor u točki $p\in M$ je klasa $v$ parametriziranih $C^1$-krivulja $s: I\to M$, gdje je $I$ neki (recimo otvoreni) interval oko nule, s $s(0) = p$, međusobno tangencijalnih u točki $p$. Drugim riječima $s\sim s'$ ako je

$$\frac{d}{d t}(f\circ s)|_{t=0} = \frac{d}{d t}(f\circ s')|_{t=0}$$

za svaki $U^{otv}\ni p$ i za svaku $C^1$-funkciju $f:U\to \mathbf{R}$. Klasu ekvivalencije $C^1$-krivulje $s$ označavamo $\frac{d s}{dt}|_{t = 0}$.

(2) algebarska definicija: tangentni vektor u točki $p\in M$ je $\mathbf{R}$-linearna $\mathbf{R}$-znaćna derivacija $v:\mathcal{F}_p\to\mathbf{R}$ algebre $\mathcal{F}_p$ klica $C^1$-funkcija definiranih oko $p$. Drugim riječima $\mathcal{F}_p = \mathcal{F}'_p/\sim$ je skup $\mathcal{F}'_p$ parova $(U,f)$ gdje je $U^{otv}\ni p$ i $f: U\to\mathbf{R}$ funkcija klase $C^1$ modulo relacija ekvivalencije gdje su Elementi od $\mathcal{F}_p$ su “klice $C^1$-funkcija u $p$”. (Drugim riječima $\mathcal{F}_p$ je vlakno snopa $C^1$-funkcija na $M$ u točki $p$.) Geometrijski tangentni vektor djeluje kao derivacija ovako:

$$\frac{d s}{dt}|_{t = 0} (f) := \frac{d (f\circ s)}{dt}|_{t = 0}$$

(3) fizikalna definicija: tangencijalni vektor u točki $p$ je pravilo koje svakoj karti $(U,\phi)\ni p$ zadaje $n$-torku brojeva $v_{U,\phi} = (v_1,\ldots,v_n)$ tako da su $v_{U,\phi}$ i $w_{V,\psi}$ povezani kontravarijantno preko Jacobiana funkcije prijelaza među kartama.

Označimo s $x^i:\mathbf{R}\to \mathbf{R}^n$ krivulju $t\mapsto (0,0,\ldots,t,),\ldots,0)$ gdje je $t$ na $i$-tom mjestu. To je drugim riječima kooordinatna krivulja. Definiramo tangentni vektor $\frac{\partial}{\partial x^i}\in T_0\mathbf{R}^n$ u algebarskoj definiciji s $\frac{\partial}{\partial x^i}(f) = \frac{\partial f}{\partial x^i}|_0$. Tada za krivulju $x^i$ koju smo upravo definirali vrijedi $\frac{\partial}{\partial x^i} = \frac{d x^i}{d t}|_{t = 0}$ gdje je geometrijska definicija na lijevoj strani. Vektori $\frac{\partial}{\partial x^i}$ za $i =1,\ldots,n$ čine bazu prostora $T_0 \mathbf{R}^n$. Ako je neka karta oko $p\in M$ u zadanom atlasu, tada je možemo translatirati u ishodište, tj. postoji ekvivalentna karta $(U,\phi)$ takva da $\phi(p) = 0\in \mathbf{R}^n$. Promatrajmo takve karte. U toj konvenciji, u diferencijalnoj geometriji često za $\phi^{-1}\circ x^i$ pišemo neprecizno $x^i$ te za vektor $\frac{d (\phi^{-1}\circ x^i)}{d t}|_{t=0}$ pišemo neprecizno $\frac{\partial}{\partial x^i}$ pri čemu se karta $(U,\phi)$ podrazumijeva iz konteksta.

…

Tangencijalni prostor u točki $p$ je skup svih tangencijalnih vektora u točki $p$. Kako derivacije algebre čine vektorski prostor to taj skup ima prirodnu strukturu vektorskog prostora. Njegova dimenzija je jednaka dimenziji mnogostrukosti $M$. Na satu smo opisali kako karte daju izbor baze tog vektorskog prostora. (To će ovdje biti napisano kasnije).

Poslije toga smo definirali topologiju i karte na $T M = \coprod_p T_p M$.

Neka je $f:M^m\to N^n$ $C^k$-preslikavanje, $k\geq 1$. Tada definiramo diferencijal $T f : T M^m\to T N^n$ od $f$ kao preslikavanje $C^{k-1}$-svežnjeva ($C^k$ ako je $k = \infty$ ili $k = \omega$) koje je u geometrijskoj slici dano po točkama formulom

$$(T f)(\frac{d s}{d t}|_{t = 0}) = \frac{d (s\circ f)}{d t}|_{t = 0}$$

za svaku parametriziranu $C^k$-krivulju $s:I\to M$.

Na satu smo ukratko objasnili kako zadati $T f$ u lokalnim koordinatama.

S tim definicijama $T$ postaje funkctor iz kategorije diferencijabilnih $C^k$-mnogostrukosti u kategoriju diferencijabilnih $C^{k-1}$ (odnosno $C^k$)-svežnjeva.

L3.5 Lokalna i tangencijalna svojstva diferencijabilnih mnogostrukosti

Neka je $f:M\to N$ $C^1$-preslikavanje. Točka $p$ je regularna točka od $f$ ako je $T_p f\colon T_p M \to T_q N$ epimorfizam. $q \in N$ je regularna vrijednost od $f$ ako je svaki $p \in f^{-1}(q)$ regularna točka od $f$. Točka $q\in N$ je kritična vrijednost ako nije regularna. $C^k$-preslikavanje $f:M\to N$ je $C^k$-imerzija (ili utopljenje) ako je $T_p f$ monomorfizam za svaku $p\in M$. Kažemo da je $M$ $C^k$-imerziran ili $C^k$-utopljen u $N$. $C^k$-preslikavanje je $C^k$-submerzija ako je $T_p f$ epimorfizam za svaku točku $p\in M$.

Kažemo da je podskup $W^k\subset M^n$ uložena podmnogostrukost (embeded submanifold) mnogostrukosti $M^n$ ako za svaku točku $w\in W$ postoji okolina $U\ni W$ u $M$ i karta $\phi:U\to\mathbf{R}^n$ takva da je $\phi(W\cap U)$ dan jednadžbama $x_{k+1} = x_{k+2} = \ldots = x_n = 0$. Svaka uložena podmnogostrukost je utopljena podmnogostrukost no obrat ne vrijedi (slika kontraprimjera je dana na satu). Kod utopljene mnogostrukosti $i: M\hookrightarrow N$ slika $i(M)$ kao potprostor od $N$ ne mora biti homeomorfna $M$. Vrijedi teorem: utopljena podmnogostrukost je uložena onda i samo onda ako je homeomorfna svojoj slici u induciranoj topologiji iz $N$. Kad kažemo samo podmnogostrukost mislimo na jači slučaj uložene mnogostrukosti.

Ako je $W \subset N$ podmnogostrukost, kažemo da je $f$ transversalno uzduž $W$ ako za svaku točku $x\in f^{-1}(W)$ vrijedi

$$T_{f(x)} N = T_{f(x)}W + (T_x f)(T_x X).$$

Na primjer, $f$ je transverzalno uzduž svake svoje regularne točke $p \in N$.

Napravili smo i iskaze par varijanti teorema o implicitnoj funkciji.

Rang diferencijabilnog preslikavanja $f:M\to N$ u točki $p\in M$ je po definiciji rang $rk T_p f$ diferencijala (kao linearnog preslikavanja) u toj točki.

Propozicija. Rang preslikavanja klase $C^1$ je odozdo poluneprekidna funkcija, tj. ako je $rk T_p f = r$ tada postoji okolina $U\ni p$ takva da je $rk T_q f\geq r$ $\forall q\in U$.

(Međutim, moguće je da postoji po volji bliska točka s većim rangom!)

Teorem o rangu. Neka je $\bar{f}:(M^m,p)\to (N^n,q)$ klica preslikavanja konstantnog ranga $r$ (tj. postoji okolina u kojoj je konstantnog ranga). Tada postoje karte $(U,\phi)$ oko $p$ i $(V,\psi)$ oko $q$ takve da je klica preslikavanja $\psi\circ f\circ\phi^{-1}:(\mathbf{R}^m,0)\to (\mathbf{R}^n,0)$ reprezentirana preslikavanjem $(x_1,\ldots,x_m)\mapsto (x_1,\ldots,x_r,0,\ldots,0)$.

Kako je taj teorem lokalne prirode, on slijedi iz specijalnog slučaja kad je $f$ preslikavanje euklidskih prostora.