Zoran Skoda
hom11lec3

L3.1 Operacije na vektorskim svežnjevima

Velika klasa funktora se može kanonski proširiti s vektorskih prostora na vektorske svežnjeve. U ovom odjeljku ćemo radi jednostavnosti raditi s realnim vektorskim prostorima i svežnjevima.

Neka je VecVec kategorija konačno dimenzionalnih vektorskih prostora i linearnih preslikavanja. Označimo Vec ×n=Vec×Vec×VecVec^{\times n} = Vec \times Vec\times \ldots Vec (nn times). Tada promatramo funktore oblika

T:Vec ×n×(Vec op) ×mVec T : Vec^{\times n}\times (Vec^{op})^{\times m}\to Vec

pri čemu je nekad zgodno i postaviti faktore u drugom redoslijedu.

Linearna preslikavanja Hom(V,W)Hom(V,W) čine također konačno dimenzionalni vektorski prostor; svi konačno-dimenzionalno vektorski prostori su opremljeni jedinstvenom topologijom koja je inducirana normom (sama norma kao što znamo nije jedinstvena).

Kako je TT funktor, on je zadan i na morfizmima. Mi ćemo tražiti da za f 1,,f n,g 1,,g mMor(Vec)f_1, \ldots, f_n,g_1,\ldots, g_m \in Mor(Vec) vrijednost T(f 1,,f n,g 1,,g m)T(f_1,\ldots,f_n,g_1,\ldots,g_m) neprekidno zavisi od f 1,,f n,g 1,,g mf_1,\ldots,f_n,g_1,\ldots,g_m. To se može preciznije reći na nekoliko načina (…). U starim knjigama iz diferencijalne topologije tada kažu da je TT neprekidan no to nije dobar termin jer je u koliziji sa nešto standardnijom i općenitijom terminologijom iz teorije kategorija.

Teorem. Neka je TT funktor s uvjetom “neprekidnosti” kao gore. Tada postoji jedinstveni funktor T˜\tilde{T} iste kovarijantnosti kao i TT na kategoriji (lokalno trivijalnih konačno-dimenzionalnih realnih) vektorskih svežnjeva nad fiksnim topološkim prostorom XX, takav da za vektorske svežnjeve V 1,,V n,W 1,,W mV_1,\ldots,V_n,W_1,\ldots,W_m vrijedi

(i) vlakno u xx, (T˜(V 1,,V n,W 1,,W m)) x=T((V 1) x,,(V n) x,(W 1) x,,(W m) x)(\tilde{T}(V_1,\ldots,V_n,W_1,\ldots,W_m))_x = T((V_1)_x, \ldots,(V_n)_x,(W_1)_x,\ldots,(W_m)_x)

(ii) ako je UXU\subset X otvoreni skup na kojem se istovremeno svi argumenti V 1,,V n,W 1,,W mV_1,\ldots,V_n,W_1,\ldots,W_m trivijaliziraju tada se na njemu trivijalizira i T˜(V 1,,V n,W 1,,W m)| U\tilde{T}(V_1,\ldots,V_n,W_1,\ldots,W_m)|_U. Preciznije, ako je za svaki r=1,,nr = 1,\ldots,n ϕ r:U×R s rV r\phi_r: U\times \mathbf{R}^{s_r}\to V_r (i slično za WW-ove, i njihove karte ψ r\psi_r, te s oznakom (ϕ n) x:vϕ n(x,v)(\phi_n)_x:v\mapsto \phi_n(x,v)) vrijedi da je Φ:U× rR s r xU(T˜(V 1,,V n,W 1,,W m)) x\Phi:U\times \prod_r \mathbf{R}^{s_r}\to \coprod_{x\in U} (\tilde{T}(V_1,\ldots,V_n,W_1,\ldots,W_m))_x dano s Φ x=T((ϕ 1) x,,(ϕ n) x,(ψ 1) x,,(ψ n) x)\Phi_x = T((\phi_1)_x,\ldots,(\phi_n)_x,(\psi_1)_x,\ldots,(\psi_n)_x).

Skica dokaza. Φ\Phi je bijekcija jer su argumenti od TT izomorfizmi, po funktorijalnosti. Da bi na totalnom prostoru preko tih bijekcija bila dobro prenešena/definirana topologija, razne karte trebaju biti međusobno kompatibilne, tj. funkcije prijelaza neprekidne. Njih je lako izračunati. Naime na UVU\cap V mi moramo provjeriti da Φ xΦ x 1\Phi'_x\circ\Phi^{-1}_x neprekidno zavise od xx; po fuktorijalnosti to daje

T((ϕ 1) x,,(ψ m) x) 1)T((ϕ 1) x,,(ψ m) x)=T((ϕ 1 1ϕ 1) x,,(ψ m 1ψ m) x),T((\phi'_1)_x,\ldots,(\psi'_m)_x)^{-1})\circ T((\phi_1)_x,\ldots,(\psi_m)_x) = T((\phi'_1^{-1}\circ\phi_1)_x,\ldots,(\psi'_m^{-1}\circ\psi_m)_x),

a desna strana zavisi neprekidno o xx jer su ϕ 1 1ϕ 1\phi'_1^{-1}\circ\phi_1 itd. neprekidni i jer TT ima svojstvo neprekidnosti.

L3.2 Topološke mnogostrukosti

Topološke mnogostrukost dimenzije nn je topološki prostor MM sa svojstvom da svaka točka pMp\in M ima otvorenu okolinu UpU\ni p koja je homeomorfna R n\mathbf{R}^n. Takav homeomorfizam ϕ:UR n\phi:U\to\mathbf{R}^n se zove karta oko pp i pišemo p(U,ϕ)p\in (U,\phi). Skup karti (U α,ϕ α)(U_\alpha,\phi_\alpha) se zove atlas ako pokriva MM, tj. αU α=M\cup_\alpha U_\alpha = M.

Najčešće se na topološke mnogostrukosti dodaju još dva uvjeta, a to je da topološka mnogostrukost bude Hausdorffova i da zadovljava drugi aksiom prebrojivosti. Ta dva dodatna svojstva impliciraju da je XX parakompaktan. Po Dieudonneovom teoremu svaki parakompaktan topološki prostor je normalan. Na satu je objašnjen primjer neHausdorffove topološke mnogostrukosti.

L3.3 Diferencijalne i glatke mnogostrukosti

U analizi govorimo o funkcijama f:UVf:U\to V gdje je U otvR nU^{otv}\subset\mathbf{R}^n i V otvR mV^{otv}\subset\mathbf{R}^m koje su klase C kC^k, gdje je k=0k = 0 (neprekidne) ili k=1,2,k = 1,2,\ldots (diferencijabilne klase C kC^k, tj. imaju sve parcijalne derivacije do reda kk i one su neprekidne) ili k=k = \infty (glatke) ili k=ωk= \omega (analitičke).

Kažemo da je neki atlas {(U α,ϕ α)} α\{(U_\alpha,\phi_\alpha)\}_\alpha (u smislu topoloških mnogostrukosti) klase C kC^k (ili C kC^k-atlas), ako su za svaki par karti (U α,ϕ α),(U β,ϕ β)(U_\alpha,\phi_\alpha), (U_\beta,\phi_\beta) za koje U αU βU_\alpha\cap U_\beta \neq \emptyset vrijedi da je “preslikavanje prijelaza” ϕ αϕ β 1| ϕ β(U αU β)\phi_\alpha\circ \phi_\beta^{-1}|_{\phi_\beta(U_\alpha\cap U_\beta)} difeomorfizam klase C kC^k (i inverz mu je klase C kC^k; za takav par karti se inače kaže da su kompatiblne).

Dva atlasa klase C kC^k su ekvivalentna ako je njihova unija C kC^k-atlas, ili ekvivalentno, da je svaka karta prvog atlasa C kC^k-kompatibilna svakoj karti drugog atlasa. Atlas je maksimalan C kC^k-atlas ako nije sadržan niti u jednom većem C kC^k-atlasu. Diferencijalna struktura klase C kC^k, k1k\geq 1, na topološkoj mnogostrukosti MM je izbor klase ekvivalencije C kC^k-atlasa ili, ekvivalentno, izbor maksimalnog C kC^k-atlasa na MM. Ta diferencijalna struktura je određena bilo kojim C kC^k-atlasom na MM: različiti atlasi definiraju istu C kC^k-strukturu ako su međusobno C kC^k-kompatibilni, ili ekvivalentno, ako su sadržani u istom maksimalnom atlasu. Diferencijabilna mnogostrukost klase C kC^k gdje je k=1,2,,,ωk =1,2,\dots,\infty,\omega je pa topološke mnogostrukosti i diferencijabilne strukture klase C kC^k. Diferencijabilna mnogostrukost klase C C^\infty često se naziva glatka mnogostrukost, a diferencijabilna mnogostrukost klase C ωC^\omega se obično naziva analitička mnogostrukost. Na analogan način se preko karti u C n\mathbf{C}^n s holomorfnim (analitičkim) funkcijama prijelaza definiraju kompleksne mnogostrukosti koje su po definiciji analitičke, pa ne treba reći “diferencijabilne”.

Kako je otvorena kugla B nR n\stackrel{\circ}\mathbf{B}^n\subset \mathbf{R}^n difeomorfna cijelom R n\mathbf{R}^n to je svaki otvoreni podskup od R n\mathbf{R}^n glatka mnogostrukost.

Ponekad pišemo M mM^m da naglasimo da neka mnogostrukost MM ima dimenziju mm. Neprekidno preslikavanje f:M mN nf: M^m\to N^n diferencijabilnih mnogostrukosti je klase C kC^k ako za svake dvije karte (U,ϕ)(U,\phi) na M mM^m i (V,ψ)(V,\psi) na N nN^n s Uf 1(V)U\cap f^{-1}(V)\neq\emptyset, funkcija

ψfϕ 1:ϕ(Uf 1(V))ψ(V) \psi\circ f\circ\phi^{-1} : \phi(U\cap f^{-1}(V))\to \psi(V)

je klase C kC^k. Primjetite da je funkcija ψfϕ 1\psi\circ f\circ\phi^{-1} funkcija među otvorenim podskupovima od R n\mathbf{R}^n i od R m\mathbf{R}^m respektivno.

Vektorski svežanj je diferencijabilni vektorski svežanj klase C kC^k ako su totalni prostor i bazni prostor diferencijabilne mnogostrukosti klase C kC^k, ako je projekcija klase C kC^k i funkcije prijelaza klase C kC^k kao preslikavanja s vrijednostima u GL(n,R)GL(n,\mathbf{R}) s prirodnom glatkom strukturom.

L3.4 Tangentni svežanj

Za svaku C kC^k-mnogostrukost M nM^n definiramo tangentni svežanj TM nMT M^n\to M kojhi je klase C k1C^{k-1} ako je k=1,2,k = 1,2,\ldots prirodni broj i C kC^k ako je k=k = \infty ili k=ωk =\omega.

Prvo definiramo tangentni vektor na jedan od tri standardna načina.

(1) geometrijska definicija: tangentni vektor u točki pMp\in M je klasa vv parametriziranih C 1C^1-krivulja s:IMs: I\to M, gdje je II neki (recimo otvoreni) interval oko nule, s s(0)=ps(0) = p, međusobno tangencijalnih u točki pp. Drugim riječima sss\sim s' ako je

ddt(fs)| t=0=ddt(fs)| t=0 \frac{d}{d t}(f\circ s)|_{t=0} = \frac{d}{d t}(f\circ s')|_{t=0}

za svaki U otvpU^{otv}\ni p i za svaku C 1C^1-funkciju f:URf:U\to \mathbf{R}. Klasu ekvivalencije C 1C^1-krivulje ss označavamo dsdt| t=0\frac{d s}{dt}|_{t = 0}.

(2) algebarska definicija: tangentni vektor u točki pMp\in M je R\mathbf{R}-linearna R\mathbf{R}-znaćna derivacija v: pRv:\mathcal{F}_p\to\mathbf{R} algebre p\mathcal{F}_p klica C 1C^1-funkcija definiranih oko pp. Drugim riječima p= p/\mathcal{F}_p = \mathcal{F}'_p/\sim je skup p\mathcal{F}'_p parova (U,f)(U,f) gdje je U otvpU^{otv}\ni p i f:URf: U\to\mathbf{R} funkcija klase C 1C^1 modulo relacija ekvivalencije gdje su Elementi od p\mathcal{F}_p su “klice C 1C^1-funkcija u pp”. (Drugim riječima p\mathcal{F}_p je vlakno snopa C 1C^1-funkcija na MM u točki pp.) Geometrijski tangentni vektor djeluje kao derivacija ovako:

dsdt| t=0(f):=d(fs)dt| t=0 \frac{d s}{dt}|_{t = 0} (f) := \frac{d (f\circ s)}{dt}|_{t = 0}

(3) fizikalna definicija: tangencijalni vektor u točki pp je pravilo koje svakoj karti (U,ϕ)p(U,\phi)\ni p zadaje nn-torku brojeva v U,ϕ=(v 1,,v n)v_{U,\phi} = (v_1,\ldots,v_n) tako da su v U,ϕv_{U,\phi} i w V,ψw_{V,\psi} povezani kontravarijantno preko Jacobiana funkcije prijelaza među kartama.

Označimo s x i:RR nx^i:\mathbf{R}\to \mathbf{R}^n krivulju t(0,0,,t,),,0)t\mapsto (0,0,\ldots,t,),\ldots,0) gdje je tt na ii-tom mjestu. To je drugim riječima kooordinatna krivulja. Definiramo tangentni vektor x iT 0R n\frac{\partial}{\partial x^i}\in T_0\mathbf{R}^n u algebarskoj definiciji s x i(f)=fx i| 0\frac{\partial}{\partial x^i}(f) = \frac{\partial f}{\partial x^i}|_0. Tada za krivulju x ix^i koju smo upravo definirali vrijedi x i=dx idt| t=0\frac{\partial}{\partial x^i} = \frac{d x^i}{d t}|_{t = 0} gdje je geometrijska definicija na lijevoj strani. Vektori x i\frac{\partial}{\partial x^i} za i=1,,ni =1,\ldots,n čine bazu prostora T 0R nT_0 \mathbf{R}^n. Ako je neka karta oko pMp\in M u zadanom atlasu, tada je možemo translatirati u ishodište, tj. postoji ekvivalentna karta (U,ϕ)(U,\phi) takva da ϕ(p)=0R n\phi(p) = 0\in \mathbf{R}^n. Promatrajmo takve karte. U toj konvenciji, u diferencijalnoj geometriji često za ϕ 1x i\phi^{-1}\circ x^i pišemo neprecizno x ix^i te za vektor d(ϕ 1x i)dt| t=0\frac{d (\phi^{-1}\circ x^i)}{d t}|_{t=0} pišemo neprecizno x i\frac{\partial}{\partial x^i} pri čemu se karta (U,ϕ)(U,\phi) podrazumijeva iz konteksta.

Tangencijalni prostor u točki pp je skup svih tangencijalnih vektora u točki pp. Kako derivacije algebre čine vektorski prostor to taj skup ima prirodnu strukturu vektorskog prostora. Njegova dimenzija je jednaka dimenziji mnogostrukosti MM. Na satu smo opisali kako karte daju izbor baze tog vektorskog prostora. (To će ovdje biti napisano kasnije).

Poslije toga smo definirali topologiju i karte na TM= pT pMT M = \coprod_p T_p M.

Neka je f:M mN nf:M^m\to N^n C kC^k-preslikavanje, k1k\geq 1. Tada definiramo diferencijal Tf:TM mTN nT f : T M^m\to T N^n od ff kao preslikavanje C k1C^{k-1}-svežnjeva (C kC^k ako je k=k = \infty ili k=ωk = \omega) koje je u geometrijskoj slici dano po točkama formulom

(Tf)(dsdt| t=0)=d(sf)dt| t=0 (T f)(\frac{d s}{d t}|_{t = 0}) = \frac{d (s\circ f)}{d t}|_{t = 0}

za svaku parametriziranu C kC^k-krivulju s:IMs:I\to M.

Na satu smo ukratko objasnili kako zadati TfT f u lokalnim koordinatama.

S tim definicijama TT postaje funkctor iz kategorije diferencijabilnih C kC^k-mnogostrukosti u kategoriju diferencijabilnih C k1C^{k-1} (odnosno C kC^k)-svežnjeva.

L3.5 Lokalna i tangencijalna svojstva diferencijabilnih mnogostrukosti

Neka je f:MNf:M\to N C 1C^1-preslikavanje. Točka pp je regularna točka od ff ako je T pf:T pMT qNT_p f\colon T_p M \to T_q N epimorfizam. qNq \in N je regularna vrijednost od ff ako je svaki pf 1(q)p \in f^{-1}(q) regularna točka od ff. Točka qNq\in N je kritična vrijednost ako nije regularna. C kC^k-preslikavanje f:MNf:M\to N je C kC^k-imerzija (ili utopljenje) ako je T pfT_p f monomorfizam za svaku pMp\in M. Kažemo da je MM C kC^k-imerziran ili C kC^k-utopljen u NN. C kC^k-preslikavanje je C kC^k-submerzija ako je T pfT_p f epimorfizam za svaku točku pMp\in M.

Kažemo da je podskup W kM nW^k\subset M^n uložena podmnogostrukost (embeded submanifold) mnogostrukosti M nM^n ako za svaku točku wWw\in W postoji okolina UWU\ni W u MM i karta ϕ:UR n\phi:U\to\mathbf{R}^n takva da je ϕ(WU)\phi(W\cap U) dan jednadžbama x k+1=x k+2==x n=0x_{k+1} = x_{k+2} = \ldots = x_n = 0. Svaka uložena podmnogostrukost je utopljena podmnogostrukost no obrat ne vrijedi (slika kontraprimjera je dana na satu). Kod utopljene mnogostrukosti i:MNi: M\hookrightarrow N slika i(M)i(M) kao potprostor od NN ne mora biti homeomorfna MM. Vrijedi teorem: utopljena podmnogostrukost je uložena onda i samo onda ako je homeomorfna svojoj slici u induciranoj topologiji iz NN. Kad kažemo samo podmnogostrukost mislimo na jači slučaj uložene mnogostrukosti.

Ako je WNW \subset N podmnogostrukost, kažemo da je ff transversalno uzduž WW ako za svaku točku xf 1(W)x\in f^{-1}(W) vrijedi

T f(x)N=T f(x)W+(T xf)(T xX). T_{f(x)} N = T_{f(x)}W + (T_x f)(T_x X).

Na primjer, ff je transverzalno uzduž svake svoje regularne točke pNp \in N.

Napravili smo i iskaze par varijanti teorema o implicitnoj funkciji.

Rang diferencijabilnog preslikavanja f:MNf:M\to N u točki pMp\in M je po definiciji rang rkT pfrk T_p f diferencijala (kao linearnog preslikavanja) u toj točki.

Propozicija. Rang preslikavanja klase C 1C^1 je odozdo poluneprekidna funkcija, tj. ako je rkT pf=rrk T_p f = r tada postoji okolina UpU\ni p takva da je rkT qfrrk T_q f\geq r qU\forall q\in U.

(Međutim, moguće je da postoji po volji bliska točka s većim rangom!)

Teorem o rangu. Neka je f¯:(M m,p)(N n,q)\bar{f}:(M^m,p)\to (N^n,q) klica preslikavanja konstantnog ranga rr (tj. postoji okolina u kojoj je konstantnog ranga). Tada postoje karte (U,ϕ)(U,\phi) oko pp i (V,ψ)(V,\psi) oko qq takve da je klica preslikavanja ψfϕ 1:(R m,0)(R n,0)\psi\circ f\circ\phi^{-1}:(\mathbf{R}^m,0)\to (\mathbf{R}^n,0) reprezentirana preslikavanjem (x 1,,x m)(x 1,,x r,0,,0)(x_1,\ldots,x_m)\mapsto (x_1,\ldots,x_r,0,\ldots,0).

Kako je taj teorem lokalne prirode, on slijedi iz specijalnog slučaja kad je ff preslikavanje euklidskih prostora.

Last revised on November 23, 2011 at 06:43:23. See the history of this page for a list of all contributions to it.