Zoran Skoda
hom11lec5

L5.1 Svežnjevi repera i korepera

U ovoj lekciji (srijeda, 30. studeni 2011.) obradili smo slijedeće teme: svežanj repera i svežanj korepera (dvije konstrukcije za potonji). S time vezani zadatak 3 je dodan na listu zadataka. Pogled na razne vektorske svežnjeve (recimo razni tenzorski svežnjevi) kao asocirane svežnjeve glavnom svežnju repera ili glavnom svežnju korepera; takve svežnjeve nazivamo svežnjevima geometrijskih veličina. Geometrijska veličina tipa QQ je po definiciji glatki prerez svežnja geometrijskih veličina F *M× GL nQF^* M\times_{GL_n} Q.

Ako je PMP\to M glavni GG-svežanj i f:F 1F 2f: F_1\to F_2 GG-ekvivarijatno preslikavanje lijevih GG-prostora to id×f:P×F 1P×F 2id\times f:P\times F_1\to P\times F_2 inducira dobro definirano preslikavanje f :P× GF 1P× GF 2f_\sharp: P\times_G F_1\to P\times_G F_2 asociranih svežnjeva nad MM. Dokaz je lagan i preporučujemo ga čitaocu.

L5.2 Vektorska polja i forme; tok vektorskog polja

Glatki prerezi tangentnog svežnja nazivaju se glatka vektorska polja, a glatki prerezi kotangentnog svežnja diferencijalne 1-forme. Operacija sparivanja vektora i 1-formi u točki inducira sparivanje prostora prereza tj. vektorskih polja i diferencijalnih formi s vrijednostima u C (M)C^\infty(M). Diferencijalne forme i vektorska polja (te općenitija tenzorska polja) određena su vrijednostima u točkama po definiciji prereza. Alternativno, glatka vektorska polja nad otvorenim skupom U otvMU^{otv}\subset M su u bijekciji s derivacijama algebre C (U)C^\infty(U) glatkih funkcija nad UU, tj. s R\mathbf{R}-linearnim preslikavanjima C (U)C (U)C^\infty(U)\to C^\infty(U) koja zadovoljavaju Leibnizovo pravilo. S pomoću korištenja pomoćnih funkcija (slično onih korištenih u particiji jedinice) na glatkoj parakompaktnoj Hausdorffovoj mnogostrukosti pokazuje se da Leibnizovo pravilo povlači da za svaku takvu derivaciju DD, vrijednost D pf:=(Df)(p)D_p f :=(D f)(p) zavisi samo o klici funkcije ff u pp tj. da se D p:C (U)RD_p:C^\infty(U)\to \mathbf{R} faktorizira kroz algebru klica p\mathcal{F}_p glatkih funkcija u pp, odnosno da se D pD_p kanonski identificira s vektorom u točki pp, kojeg ćemo također označavati s D pD_p.

Teorem. Neka je XX glatko vektorsko polje na mnogostrukosti MM. Tada pM\forall p\in M U otvp\exists U^{otv}\ni p, UMU\subset M, ϵ>0\exists \epsilon\gt 0 !ϕ t:UM\exists! \phi_t: U\to M tako da je

(i) (t,p)ϕ t(p)M(t,p)\mapsto \phi_t(p)\in M je glatko;

(ii) ako je |t|,|s|,|t+s|<ϵ|t|,|s|,|t+s|\lt \epsilon qUq\in U i ϕ t(q)U\phi_t(q)\in U tada

ϕ s+t(q)=(ϕ sϕ t)(q);\phi_{s+t}(q) = (\phi_s\circ\phi_t)(q);

(iii) glatka krivulja tϕ t(q)t\mapsto \phi_t(q) zadovoljava ϕ 0(q)=q\phi_0(q) = q i X qX_q je tangentan na tϕ t(q)t\mapsto \phi_t(q).

Dokaz se zasniva na teoremu o egzistenciji rješenja običnih diferencijalnih jednadžbi. Glatka krivulja oblika tϕ t(q)t\mapsto \phi_t(q) se naziva intergralnom krivuljom vektroskog polja XX, a ϕ\phi se naziva tok (engl. flow) vektorskog polja XX oko pp ili 1-parametarska lokalna grupa lokalnih difeomorfizama generirana s XX u okolini točke pp. Za maksimalnu domenu toka može se uzeti neka otvorena okolina skupa {O}×M\{O\}\times M u R×M\mathbf{R}\times M, međutim općenito ne mora postojati uniformni ϵ\epsilon tako da (ϵ,ϵ)×M(-\epsilon,\epsilon)\times M bude domena toka.

L5.3 Liejeva derivacija geometrijskih veličina

L5.4 Glatke raspodjele horizontalnih potprostora

Neka je MM glatka mnogostrukost dimenzije mm, π:EM\pi:E\to M lokalno trivijalni glatki svežanj s tipičnim slojem FF dimenzije nn. Kažemo da je vektor vT pEv\in T_p E vertikalan ako je tangentan na neku krivulju s:Iπ 1(π(p))Es:I\to \pi^{-1}(\pi(p))\hookrightarrow E, s(0)=ps(0)=p, koja je sva u vlaknu nad π(p)\pi(p). Dobro je definiran vertikalni podsvežanj T VETET^V E\subset T E nad EE čiji totalni prostor se sastoji od svih vertikalnih vektora.

Neka je pT p HET pEp\mapsto T^H_p E\subset T_p E, pEp\in E, odabir potprostora čvrste dimenzije nn takav da je

T pE=T p HET p VE. T_p E = T_p^H E\oplus T_p^V E.

Po definiciji je dobro definiran idempotentni operator H p:T pET p HEH_p : T_p E \to T_p^H E koji svakom vektoru X pT pEX_p\in T_p E pridružuje njegovu horizontalnu komponentu koja je jedinstveni vektor H p(X p)T p HH_p(X_p)\in T_p^H takav da X pH p(X p)T p VEX_p - H_p(X_p) \in T_p^V E. Slijedeća svojstva odabira pT p HEp\mapsto T^H_p E su međusobno ekvivalentna

(i) Skupovno-teoretsko vektorsko polje XX je glatko akko je pH p(X p)p\mapsto H_p(X_p) glatko (ili ekvivalentno akko je polje pX pH p(X p)p\mapsto X_p - H_p(X_p) glatko, ili ekvivalentno ako su oba glatki).

(ii) Oko svake pMp\in M postoji U otvpU^{otv}\ni p, UMU\subset M i nn glatkih 1-formi θ (1),,θ (n):π 1(U)T *E\theta^{(1)},\ldots,\theta^{(n)} : \pi^{-1}(U)\to T^* E na π 1(U)\pi^{-1}(U) takvih da je za svaki qUq\in U, T q HET_q^H E njihov zajednički anihilator

T q HE=Ann(θ q (1),,θ q (n))={vT qE,θ q (i)(v)=0,i}. T_q^H E = Ann(\theta^{(1)}_q,\ldots,\theta^{(n)}_q) = \{ v\in T_q E,\,\theta^{(i)}_q(v) = 0,\, \forall i \}.

(iii) Oko svake pMp\in M postoji U otvpU^{otv}\ni p, UMU\subset M i mm glatkih vektorskih polja X (1),,X (m):π 1(U)TEX^{(1)},\ldots,X^{(m)} : \pi^{-1}(U)\to T E na π 1(U)\pi^{-1}(U) takvih da je za svaki qUq\in U, T q HET_q^H E njima razapet

T q HE=Span{X q (1),,X q (m)} T_q^H E = Span\{X^{(1)}_q,\ldots,X^{(m)}_q \}

Ako je jedno od tih ekvivalentnih uvjeta (dakle svi) zadovoljeno, kažemo da je odabir {pH p} pE\{p\mapsto H_p \}_{p\in E} glatka raspodjela (ili glatka razdioba, ili glatko polje) horizontalnih potprostora u EE nad MM.

L5.5 Ehresmannove koneksije na glavnim svežnjevima

preko horizontalnih potprostora

Glatka raspodjela pT p HEp\mapsto T_p^H E horizontalnih potprostora glatkog glavnog GG-svežnja EME\to M je Ehresmannova koneksija ako je ekvivarijantna u smislu

gG,pE,R g*T p HE=T pg HE.\forall g\in G,\,\,\forall p\in E,\,\,\,R_{g*} T_p^H E = T_{p g}^H E.

L5.6 Fundamentalna vektorska polja i fundamentalne forme

Neka je GG Liejeva grupa s Liejevom algebrom 𝔤T eG\mathfrak{g}\cong T_e G, MM C 1C^1-diferencijalna mnogostrukost i

ν:G×MM \nu : G\times M\to M

lijevo C 1C^1-diferencijabilno djelovanje. Za svaku točku mMm\in M, označimo s ν m:GM\nu_m:G\to M C 1C^1-diferencijabilno preslikavanje ν m:gν(g,m)\nu_m:g\mapsto \nu(g,m). Ako je A𝔤A\in\mathfrak{g} tada C 1C^1-vektorsko polje na MM dano s

(A ) m=(T 1 Gν m)(A),mM, (A^\sharp)_m = (T_{1_G}\nu_m)(A),\,\,\,\,m\in M,

zovemo fundamentalno vektorsko polje inducirano vektorom AA. Ako je s:IGs: I\to G krivulja oko s(0)=1 Gs(0)=1_G koja predstavlja AA, tada je (A ) m(A^\sharp)_m predstavljen s ts(t)mt\mapsto s(t)m.

Analogno, određujemo fundamentalno vektorsko polje za desna C 1C^1-djelovanja.

Sad uvodimo u nekom smislu i dvojstveni pojam. Neka je EE C 1C^1-diferencijabilna GG-mnogostrukost, tada je C 1C^1-diferencijabilna 1-forma ω\omega s vrijednostima u 𝔤\mathfrak{g},

ωΓ(T *E𝔤) \omega \in \Gamma (T^* E\otimes\mathfrak{g})

fundamentalna diferencijabilna 1-forma (kraće: fundamentalna forma) inducirana s AA, ako, za sve točke pEp\in E, vrijedi ω p(χ A)=A\omega_p(\chi_A) = A.

Forme Ehresmannovih koneksija su primjeri fundamentalnih 1-formi, kako će biti detaljnije objašnjeno u lekciji 6.

Last revised on December 6, 2011 at 19:37:54. See the history of this page for a list of all contributions to it.