Zoran Skoda hom11lec5

L5.1 Svežnjevi repera i korepera

U ovoj lekciji (srijeda, 30. studeni 2011.) obradili smo slijedeće teme: svežanj repera i svežanj korepera (dvije konstrukcije za potonji). S time vezani zadatak 3 je dodan na listu zadataka. Pogled na razne vektorske svežnjeve (recimo razni tenzorski svežnjevi) kao asocirane svežnjeve glavnom svežnju repera ili glavnom svežnju korepera; takve svežnjeve nazivamo svežnjevima geometrijskih veličina. Geometrijska veličina tipa $Q$ je po definiciji glatki prerez svežnja geometrijskih veličina $F^* M\times_{GL_n} Q$.

Ako je $P\to M$ glavni $G$-svežanj i $f: F_1\to F_2$ $G$-ekvivarijatno preslikavanje lijevih $G$-prostora to $id\times f:P\times F_1\to P\times F_2$ inducira dobro definirano preslikavanje $f_\sharp: P\times_G F_1\to P\times_G F_2$ asociranih svežnjeva nad $M$. Dokaz je lagan i preporučujemo ga čitaocu.

L5.2 Vektorska polja i forme; tok vektorskog polja

Glatki prerezi tangentnog svežnja nazivaju se glatka vektorska polja, a glatki prerezi kotangentnog svežnja diferencijalne 1-forme. Operacija sparivanja vektora i 1-formi u točki inducira sparivanje prostora prereza tj. vektorskih polja i diferencijalnih formi s vrijednostima u $C^\infty(M)$. Diferencijalne forme i vektorska polja (te općenitija tenzorska polja) određena su vrijednostima u točkama po definiciji prereza. Alternativno, glatka vektorska polja nad otvorenim skupom $U^{otv}\subset M$ su u bijekciji s derivacijama algebre $C^\infty(U)$ glatkih funkcija nad $U$, tj. s $\mathbf{R}$-linearnim preslikavanjima $C^\infty(U)\to C^\infty(U)$ koja zadovoljavaju Leibnizovo pravilo. S pomoću korištenja pomoćnih funkcija (slično onih korištenih u particiji jedinice) na glatkoj parakompaktnoj Hausdorffovoj mnogostrukosti pokazuje se da Leibnizovo pravilo povlači da za svaku takvu derivaciju $D$, vrijednost $D_p f :=(D f)(p)$ zavisi samo o klici funkcije $f$ u $p$ tj. da se $D_p:C^\infty(U)\to \mathbf{R}$ faktorizira kroz algebru klica $\mathcal{F}_p$ glatkih funkcija u $p$, odnosno da se $D_p$ kanonski identificira s vektorom u točki $p$, kojeg ćemo također označavati s $D_p$.

Teorem. Neka je $X$ glatko vektorsko polje na mnogostrukosti $M$. Tada $\forall p\in M$ $\exists U^{otv}\ni p$, $U\subset M$, $\exists \epsilon\gt 0$ $\exists! \phi_t: U\to M$ tako da je

(i) $(t,p)\mapsto \phi_t(p)\in M$ je glatko;

(ii) ako je $|t|,|s|,|t+s|\lt \epsilon$ $q\in U$ i $\phi_t(q)\in U$ tada

$$\phi_{s+t}(q) = (\phi_s\circ\phi_t)(q);$$

(iii) glatka krivulja $t\mapsto \phi_t(q)$ zadovoljava $\phi_0(q) = q$ i $X_q$ je tangentan na $t\mapsto \phi_t(q)$.

Dokaz se zasniva na teoremu o egzistenciji rješenja običnih diferencijalnih jednadžbi. Glatka krivulja oblika $t\mapsto \phi_t(q)$ se naziva intergralnom krivuljom vektroskog polja $X$, a $\phi$ se naziva tok (engl. flow) vektorskog polja $X$ oko $p$ ili 1-parametarska lokalna grupa lokalnih difeomorfizama generirana s $X$ u okolini točke $p$. Za maksimalnu domenu toka može se uzeti neka otvorena okolina skupa $\{O\}\times M$ u $\mathbf{R}\times M$, međutim općenito ne mora postojati uniformni $\epsilon$ tako da $(-\epsilon,\epsilon)\times M$ bude domena toka.

L5.3 Liejeva derivacija geometrijskih veličina

…

L5.4 Glatke raspodjele horizontalnih potprostora

Neka je $M$ glatka mnogostrukost dimenzije $m$, $\pi:E\to M$ lokalno trivijalni glatki svežanj s tipičnim slojem $F$ dimenzije $n$. Kažemo da je vektor $v\in T_p E$ vertikalan ako je tangentan na neku krivulju $s:I\to \pi^{-1}(\pi(p))\hookrightarrow E$, $s(0)=p$, koja je sva u vlaknu nad $\pi(p)$. Dobro je definiran vertikalni podsvežanj $T^V E\subset T E$ nad $E$ čiji totalni prostor se sastoji od svih vertikalnih vektora.

Neka je $p\mapsto T^H_p E\subset T_p E$, $p\in E$, odabir potprostora čvrste dimenzije $n$ takav da je

$$T_p E = T_p^H E\oplus T_p^V E.$$

Po definiciji je dobro definiran idempotentni operator $H_p : T_p E \to T_p^H E$ koji svakom vektoru $X_p\in T_p E$ pridružuje njegovu horizontalnu komponentu koja je jedinstveni vektor $H_p(X_p)\in T_p^H$ takav da $X_p - H_p(X_p) \in T_p^V E$. Slijedeća svojstva odabira $p\mapsto T^H_p E$ su međusobno ekvivalentna

(i) Skupovno-teoretsko vektorsko polje $X$ je glatko akko je $p\mapsto H_p(X_p)$ glatko (ili ekvivalentno akko je polje $p\mapsto X_p - H_p(X_p)$ glatko, ili ekvivalentno ako su oba glatki).

(ii) Oko svake $p\in M$ postoji $U^{otv}\ni p$, $U\subset M$ i $n$ glatkih 1-formi $\theta^{(1)},\ldots,\theta^{(n)} : \pi^{-1}(U)\to T^* E$ na $\pi^{-1}(U)$ takvih da je za svaki $q\in U$, $T_q^H E$ njihov zajednički anihilator

$$T_q^H E = Ann(\theta^{(1)}_q,\ldots,\theta^{(n)}_q) = \{ v\in T_q E,\,\theta^{(i)}_q(v) = 0,\, \forall i \}.$$

(iii) Oko svake $p\in M$ postoji $U^{otv}\ni p$, $U\subset M$ i $m$ glatkih vektorskih polja $X^{(1)},\ldots,X^{(m)} : \pi^{-1}(U)\to T E$ na $\pi^{-1}(U)$ takvih da je za svaki $q\in U$, $T_q^H E$ njima razapet

$$T_q^H E = Span\{X^{(1)}_q,\ldots,X^{(m)}_q \}$$

Ako je jedno od tih ekvivalentnih uvjeta (dakle svi) zadovoljeno, kažemo da je odabir $\{p\mapsto H_p \}_{p\in E}$ glatka raspodjela (ili glatka razdioba, ili glatko polje) horizontalnih potprostora u $E$ nad $M$.

L5.5 Ehresmannove koneksije na glavnim svežnjevima

preko horizontalnih potprostora

Glatka raspodjela $p\mapsto T_p^H E$ horizontalnih potprostora glatkog glavnog $G$-svežnja $E\to M$ je Ehresmannova koneksija ako je ekvivarijantna u smislu

$$\forall g\in G,\,\,\forall p\in E,\,\,\,R_{g*} T_p^H E = T_{p g}^H E.$$

L5.6 Fundamentalna vektorska polja i fundamentalne forme

Neka je $G$ Liejeva grupa s Liejevom algebrom $\mathfrak{g}\cong T_e G$, $M$ $C^1$-diferencijalna mnogostrukost i

$$\nu : G\times M\to M$$

lijevo $C^1$-diferencijabilno djelovanje. Za svaku točku $m\in M$, označimo s $\nu_m:G\to M$ $C^1$-diferencijabilno preslikavanje $\nu_m:g\mapsto \nu(g,m)$. Ako je $A\in\mathfrak{g}$ tada $C^1$-vektorsko polje na $M$ dano s

$$(A^\sharp)_m = (T_{1_G}\nu_m)(A),\,\,\,\,m\in M,$$

zovemo fundamentalno vektorsko polje inducirano vektorom $A$. Ako je $s: I\to G$ krivulja oko $s(0)=1_G$ koja predstavlja $A$, tada je $(A^\sharp)_m$ predstavljen s $t\mapsto s(t)m$.

Analogno, određujemo fundamentalno vektorsko polje za desna $C^1$-djelovanja.

Sad uvodimo u nekom smislu i dvojstveni pojam. Neka je $E$ $C^1$-diferencijabilna $G$-mnogostrukost, tada je $C^1$-diferencijabilna 1-forma $\omega$ s vrijednostima u $\mathfrak{g}$,

$$\omega \in \Gamma (T^* E\otimes\mathfrak{g})$$

fundamentalna diferencijabilna 1-forma (kraće: fundamentalna forma) inducirana s $A$, ako, za sve točke $p\in E$, vrijedi $\omega_p(\chi_A) = A$.

Forme Ehresmannovih koneksija su primjeri fundamentalnih 1-formi, kako će biti detaljnije objašnjeno u lekciji 6.