Zoran Skoda hom11zadaci

1

Po teoremu na predavanju 3, (multi)funktori na vektorskim prostorima induciraju funktore na vektorskim svežnjevma ukoliko je izvjestan aksiom neprekidnosti zadovoljen. Tako prostor linearnih preslikavanja ?ini funktor $Hom:Vec^{op}\times Vec\to Vec$. Inducirani funktor na vektorskim svežnjevima nazvat ?emo HOM.

Za vektorske svežnjeve $V,W$ nad ?vrstim prostorom $X$, prerezi unutarnjeg HOMa na $X$ ?ine prostor svih preslikavanja vektorskih svežnjeva nad $X$ iz $V$ u $W$:

$$\Gamma(HOM(V,W)) = Hom(V,W).$$

Dokaži i objasni tu tvrdnju.

2

$k$-struja glatkog preslikavanja $f:M\to N$ u to?ki $p\in M$ je klasa ekvivalencije svih preslikavanja $g:M\to N$ takvih da je $f(p)=g(p)$ i takve da $f$ i $g$ imaju kontakt reda $k$ u to?ki $p$. Iz Taylorovog razvoja slijedi da $k$-struje svih preslikavanja u to?ki $p$ sa fiksiranim $q = f(p)$ ?ine vektorski prostor ${}_p J^k(M,N)_q$ a unija svih takvih za ?vrsti $k$ je prostor $k$-struja $J^k(M,N)$. Pokažite da $J^k(M,N)$ ima strukturu glatke mnogostrukosti i da su domena i kodomena glatka preslikavanja. S $J^\infty(M,N)$ ozna?avamo $\coprod_{k\geq 1} J^k(M,N)$.

3

Ako je $V$ kona?nodimenzionalan vektorski prostor, na skupu $F V$ baza u $V$ je dano lijevo $GL(V)$ djelovanje s $g(e_1,\ldots,e_n) = (g e_1,\ldots, g e_n)$ i desno djelovanje s $(e_1,\ldots,e_n) g = (g^{-1} e_1,\ldots, g^{-1} e_n)$. Oba djelovanja su slobodna i tranzitivna, tj. $F V$ je (lijevi ili desni) glavni $GL(V)$-svežanj nad to?kom (drugim rije?ima glavni homogeni prostor grupe $GL(V)$). Ta konstrukcija se lako proširuje na funktor s kategorije vektorskih svežnjeva nad ?vrstim topološkim prostorom $M$ u kategoriju glavnih svežnjeva nad $M$, i pri tome $F V$ s desnim djelovanjem $GL(V)$ nazivamo glavni svežanj repera vektorskog svežnja $V$ nad $M$. U slu?aju kad je $V\to M$ gladak, tada i $F V\to M$ ima prirodnu glatku strukturu. Ako je $T M\to M$ tangentni svežanj, tada pišemo $F M:= F T M$ i zovemo ga svežanj repera glavne mnogostrukosti $M$. Sli?no dualu za vektorske svežnjeve, možemo dualizirati i taj glavni svežanj. Definiramo $F^* V = F V\times_{GL(V)}GL(V)$ gdje na $GL(V)$ zadamo lijevo djelovanje same sebe kao množenja s desna s inverzom, tj. $g.h := h g^{-1}$, te desno djelovanje kao množenje s lijeva s inverzom. Kako ta dva djelovanja komutiraju, to desno množenje na tipi?nom vlaknu inducira djelovanje na klasama koje ?ine totalni prostor asociranog svežnja tako da je asocirani svežanj $F^* V = F V\times_{GL(V)}GL(V)$ desni glavni $GL(V)$-prostor koji je po definiciji totalni prostor svežnja korepera svežnja $V$ nad $M$. Pišemo $F^*M := F^* T M$ i kažemo da je $F^* M\to M$ glavni svežanj korepera nad glatkom mnogostrukosti $M$.

Pokažite da je ta konstrukcija glavnog svežnja korepera $F^* M = F^* T M$ ekvivalentna slijede?oj. To?ka totalnog prostora $F^* M$ je klasa ekvivalencija trojki $(p,(U,\phi))$ gdje je $p\in M$ i $(U,\phi)$ glatka karta oko $p$, pri ?emu je po definiciji $(p,(U,\phi))\cong (p',(U',\phi'))$ ako $p = p'$ i za jakobijan preslikavanja prijelaza u to?ki $\phi'(p)$ vrijedi:

$$J_{\phi'(p)}(\phi\circ\phi'^{-1}) = I.$$

Lan?ano pravilo pokazuje da je time zadana relacija ekvivalencije na skupu trojki (provjeriti!). Djelovanje grupe $GL_n$ je na trojkama zadano s

$$A (p,(U,\phi)) := (p,(U,A^{-1}\circ\phi))$$

gdje je djelovanje matrice $A^{-1}\in GL_n$ na $\mathbf{R}^n$ standardno. Djelovanje na trojkama inducira dobro definirano djelovanje na skupu klasa ekvivalencije koji je opremljen i prirodno definiranom prjekcijom na $M$ induciranu pravilom $(p,(U,\phi))\mapsto p$ na predstavnicima. Rezultat je (desni, lokalni trivijalni) glavni $GL_n$-svežanj $F^* M$ nad $M$ koji ima kanonsku glatku strukturu. Kao zadatak treba definirati tu kanonsku glatku strukturu na $F^* M$ (preko karti i funkcija prijelaza) i pokazati da je ta konstrukcija glatko ekvivalentna konstrukciji $F^* M$ danoj više.

4

Neka su $s,t:M_1\to M_0$ submerzije me?u glatkim mnogostruktima. Dokažite da fibrirani produkt (pullback)

$$\array{ M_1\times_{M_0} M_1 &\stackrel{pr_2}\rightarrow& M_1\\ pr_1 \downarrow &&\downarrow s\\ M_1 &\stackrel{t}\rightarrow& M_0 }$$

u kategoriji topoloških prostora ima kanonsku strukturu glatke mnogostrukosti (ideja: konstruirajte pullback kao podskup kartezijevog produkta glatkih mnogostrukosti i koristite teorem o rangu). Taj rezultat se koristi npr. u zasnivanju teorije Liejevih grupoida.

5

Neka su $F_1\to M$, $F_2\to M$ dva glatka vektorska svežnja i $\Gamma F_1$ i $\Gamma F_2$ prostori glatkih prereza tih svežnjeva nad parakompaktnom glatkom mnogostrukoš?u $M$, koje možemo promatrati kao $C^\infty(M)$-module. Neka je $D:\Gamma F_1\to \Gamma F_2$ proizvoljno preslikavanje koje ima jako svojstvo da je $C^\infty(M)$-linearno (ne samo $\mathbf{R}$-linearno). Dokaži da postoji dobro definirano preslikavanje $D_0 : F_1\to F_2$ vektorskih svežnjeva nad $M$ takvo da za svaki prerez $s\in\Gamma F_1$ i za svaku to?ku $x\in M$ vrijedi $D(s)(x) = D_0(s(x))$. (Taj rezultat smo koristili u tretmanu zakrivljenosti; naime koneksije nemaju svojstvo $C^\infty(M)$-linearnosti, no pokazuje se ra?unom da forma zakrivljenosti ima to svojstvo, što omogu?ava definiranje tenzora zakrivljenosti.)

6

Neka je $(\Omega^\bullet (M),d)$ de Rhamov kompleks na glatkoj mnogostrukosti $M$. Kovarijantno diferenciranje na glatkom fibriranom svežnju $E\to M$ je $\mathbf{R}$-linearno preslikavanje $\nabla:\Gamma E\to \Gamma (T^*M\otimes E) \cong \Omega^1(M)\otimes \Gamma E$ na prostorima prereza, koje zadovoljava Leibnizovo pravilo $\nabla(f s)=df\otimes s + f\otimes \nabla(s)$ gdje je $s\in \Gamma E$ i $f\in C^\infty(M)$. Dokaži da postoji dobro definirano i pri tome jedinstveno $\mathbf{R}$-linearno preslikavanje $\tilde\nabla : \Gamma E\otimes \Omega^\bullet M \to \Gamma E\otimes \Omega^{\bullet+1}M$, takvo da $\tilde\nabla|_{\Gamma E} = \nabla$ i takvo da za sve $s\in \Gamma E$ i homogene forme $\omega\in\Omega^\bullet(M)$, vrijedi graduirano Leibnizovo pravilo

$$\tilde\nabla(\omega\otimes s) = d\omega\otimes s + (-1)^{deg \omega} \omega\otimes \tilde\nabla(s).$$

7

(zamjene koordinata za forme koneksija, bit ?e dopisano)

8

Kažemo da je monoidalna kategorija $\tilde{V}=(V,\otimes,\mathbf{1})$ zatvorena ako je zadan objekt $\mathcal{Hom}(a,b)\in Ob V$ koji je unutarnji hom, tj. za svaka tri objekta $a,b,c\in V$ postoji bijekcija

$$Hom_V(a\otimes b,c) \cong Hom_V(a,\mathcal{Hom}(b,c))$$

prirodna u sva tri argumenta $a,b,c$. Drugim rije?ima $\mathcal{Hom}(b,-)$ je desni adjungirani funktor funktoru $-\otimes b$. Dokaži da tada postoji i izomorfizam

$$\mathcal{Hom}(a\otimes b,c) \cong \mathcal{Hom}(a,\mathcal{Hom}(b,c))$$

u $V$, prirodan u sva tri argumenta (Ideja: koristi Yonedinu lemu i ra?un s 4 objekta)

9

Neka su $c,d$ dva objekta u 2-kategoriji $\mathcal{A}$. Tada je 1-∞elija $L:c\to d$ lijevo adjungirana 1-∞eliji $R:d\to c$ u $\mathcal{A}$ ako postoje dvije 2-∞elije, jedinica $\eta : 1_c\Rightarrow R L$ i kojedinica $\epsilon: L R\Rightarrow 1_d$ koje zadovoljavaju 2 aksioma, tzv. trokutne identitete: kompozicije

$$L \stackrel{L\eta}\Rightarrow L R L \stackrel{\epsilon R}\Rightarrow L$$

$$R\stackrel{\eta R}\Rightarrow R L R \stackrel{R\epsilon}\Rightarrow R$$

su identitete $id_L$ i $id_R$, respektivno. Podaci $(L,R,\eta,\epsilon)$ su adjunkcija u $\mathcal{A}$. Dokaži da je $(L R : d\to d, \delta = L\eta R, \epsilon)$ komonada i da je $(R L:c\to c, \mu = R\epsilon L, \eta)$ monada u 2-kategoriji $\mathcal{A}$.

10

Neka je $(T:a\to a,\mu,\eta)$ monada u 2-kategoriji $\mathcal{A}$. Tada ona inducira augmentirani kosimplicijalni objekt u kategoriji $End(a)$ endo-1-∞elija iz $a$ u $a$. Augmentacija je $\eta:Id\to \mathbf{T}^\bullet$ gdje je $X = \mathbf{T}^\bullet$ kosimplicijalna 1-∞elija dana s $X_n = T\circ T\circ \ldots \circ T = T^{n+1}$ i $\partial^i = \partial^i_n = T^i \eta T^{n-i}:X_{n-1} = T^n \to T^{n+1} = X_n$, $\sigma^i_n = \sigma^i = T^i \mu T^{n-i} : X_{n+1} = T^{n+2}\to T^{n+1} = X^n$. Provjeri da su zadovoljeni kosimplicijalni identiteti. Sli?no svaka komonada inducira (augmentirani) simplicijalni objekt u $End(a)$.

11

(a, lakše) Dokaži direktno preko univerzalnog svojstva da je u svakoj kategoriji $\pi :F\to C$ nad kategorijom $C$ kompozicija jako kartezijevih morfizama jako kartezijev morfizam (definicije su u lekciji 15). (b, teže) Na?i primjer kategorije $C$ i kategorije $\pi:F\to C$ nad $C$ u kojoj postoji par slabo kartezijevih morfizama ?ija kompozicija nije slabo kartezijeva.

12

Provjeri da je kompozicija morfizama u Grothendieckovoj konstrukciji asocijativna. Pri tome treba koristiti svojstva koherencije za $\alpha$ u notaciji lekcije 19.

13

U notaciji lekcije 19, paragraf koji se odnosi na kalanje, Pokažite za $f:a\to b$ da je $f^*:F_b\to F_a$ (kovarijatni) funktor i da je korespodencija $b\to F_b$, $f\mapsto f^*$ dio podataka za kanonski (iz kalanja) definiran pseudofunktor; posebnu pažnju posvetite podacima i dokazu koherencije za taj pseudofunktor.

14

Neka je $\pi:F\to B$ fibrirana kategorija s kalanjem $K$ i $b\mapsto F_b$, $f\mapsto f^*$ pseudofunktor dobiven od kalanja. Dokaži da ako za svaki $f^*$ postoji lijevi adjungirani funktor $f_!$, tada je $\pi:F\to B$ kofibrirana, i dakle bifibrirana kategorija. Definiraj usput što je kalanje za kofibrirane kategorije (definicija kofibrirane kategorije je u zapisu lekcije 15.

15

Neka je $\pi:P\to X$ glavni svežanj sa strukturnom (topološkom) grupom $G$. Za svako neprekidno preslikavanje $f:Z\to X$, povlak (pullback) $f^* P\to Z$ je tako?er glavni $G$-svežanj. Napose je to to?no kad je $f=\pi$. Dokaži da je u tom slu?aju povu?eni glavni svežanj trivijalan. Ukratko ako povu?emo glavni svežanj na njegov totalni prostor dobijemo trivijalni svežanj. (Zadatak je dosta jednostavan.)

16

Neka je $C$ kategorija s terminalnim objektom $1$. Neka je $U:Grp\to Set$ zaboravni funktor iz kategorije grupa u kategoriju skupova. Kažemo da je predsnop grupa $G:C^{op}\to Grp$ reprezentabilan, ako postoji objekt $X$ i prirodni izomorfizam $\alpha:U\circ G \cong h_X$, gdje je $h_X = Hom_C(-,X)$ obi?an reprezentabilni funktor. Pokažite da reprezentabilan predsnop grupa inducira strukturu grupnog objekta na $X$, tj. množenje $\mu:X\times X\to X$ i jedini?ni element $\eta: 1\to X$, i inverz $^{-1}:X\to X$ koji zadovoljavaju uobi?ajene aksiome, i obratno, da grupni objekt $(X,\mu,\eta,^{-1})$ inducira reprezentabilan predsnop grupa.

17

Kovarijantna derivacija na vektorskom svežnju $E\to M$ ranga $n$ uzduž glatkog vektorskog polja $X$ na $M$ se može u koordinatama $x^1,\ldots,x^m$ na $U\subset M$ u kojima je $X = \sum_i X^i \frac{\partial}{\partial x^i}$ za neke $X^i\in C^\infty(M)$ napisati

$$\nabla_X s = \left(\frac{\partial s^i}{\partial x^k}+\Gamma^i_{j k} s^j\right) X^k$$

gdje je $s = \sum s^i e_i$ i $\{e_i\}_{i = 1,\ldots,n}$ baza of $\Gamma_U E$. Pokaži direktnim ra?unom da je za dva vektorska polja $X, Y$,

$$(\nabla_X \nabla_Y - \nabla_Y \nabla_X -\nabla_{[X,Y]})(s) = R_{j,k l}^i s^j X^k Y^l e_i$$

gdje je tenzor zakrivljenosti $R$ definiran formulom

$$R^i_{j,k l} = \frac{\Gamma^i_{l j}}{\partial x^k} - \frac{\Gamma^i_{k j}}{\partial x^l} + \Gamma^i_{k p}\Gamma^p_{l j} - \Gamma^i_{l p}\Gamma^p_{k j}$$

18

Invarijantni polinom na prostoru matrica $M_n(K)$ gdje je $K = \mathbb{R},\mathbb{C}$ ili $\mathbb{H}$ je po definiciji polinomno preslikavanje $P: A\mapsto P(A)$, $M_n(K)\to K$ takvo da $P(A B)= P(B A)$ za svake dvije matrice $A,B\in M_n(K)$.

• (i) Dokaži da je taj uvjet ekvivalentan uvjetu $P(C^{-1}A C) = P(A)$ za sve $A\in M_n(K)$ i sve invertibilne matrice $C\in GL(n,K)$.

• (ii) Dokaži tako?er da ako je $P$ invarijantan tada $P(A^T) = P(A)$ za sve $A\in M_n(K)$.

• (iii) Dokaži da je homogena komponenta $P_k$ homogenosti $k$ polinoma $P = \sum_{k=1}^r P_k$ stupnja $r$ koji je invarijantan tako?er invarijantna.

• (iv) Do na predznak, koeficijenti karakteristi?nog polinoma matrice $A$ su elementarne simetri?ne funkcije (polinomi) $e_k(X_1,\ldots,X_n) = \sum_{1\leq j_1\lt\ldots\lt j_k\leq n} (X_1)^{j_1}\cdots (X_n)^{j_n}$. U linearnoj algebri ?esto se koristi oznaka $\sigma_k$ za $e_k$. Do na predznak $(-1)^k$, koeficijenti karakteristi?nog polinoma matrice $A\in M_n(K)$, tj. $det(A-\lambda Id)$ su elementarne simetri?ne funkcije od svojstvenih vrijednosti matrice $A$, tj. $(-1)^k\sigma_k(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$. Dokaži da je svaki invarijanti polinom na $M_n(K)$ polinom od elementarnih simetri?nih funkcija od svojstvenih vrijednosti, tj. polinom u izrazima $\sigma_k(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$ za nekoliko raznih $k$.

19

(Ovo je vezano uz lekciju 25). Neka je $\mathfrak{g}$ kona?no-dimenzionalna Liejeva algebra nad poljem $k$ karakteristike $0$ i $\mathfrak{g}^*$ njen dualni vektorski prostor, te $\wedge^\bullet \mathfrak{g}^* = k\oplus \mathfrak{g}^* \oplus \mathfrak{g}^*\wedge\mathfrak{g}^* \oplus\ldots$ vanjska algebra nad dualom koja se promatra kao graduirana algebra u kojem su generatori u $\mathfrak{g}$ po definiciji stupnja $1$ u graduaciji. Transponirano preslikavanje od Liejeve zagrade $[,]:\mathfrak{g}\wedge\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}$ je po definiciji restrikcija $d|_{\mathfrak{g}^*}:\mathfrak{g}^*\to\mathfrak{g}^*\wedge\mathfrak{g}^*$ jedinstvene graduirane derivacije $d:\wedge^\bullet\mathfrak{g}^*\to \wedge^\bullet\mathfrak{g}^*$ na vanjskoj algebri $\wedge^\bullet\mathfrak{g}^*$.

• (i) Dokaži da je ta definicija dobra (jedinstvenost i egzistencija $d$).

• (ii) Dokaži da je $d\circ d = 0$ ekvivalentno Jacobijevom identitetu za zagradu $[,]$. Time smo dobili dakle (graduirano)komutativnu diferencijalnu algebru $CE(\mathfrak{g})$ koja se naziva Chevalley-Eilenbergova algebra i ?iji je underlying kompleks Chevalley-Eilenbergov kolan?ani kompleks (s trivijalnim koeficijentima).

• (iii) Dokaži da preslikavanju Liejevih algebri $\mathfrak{g}\to\mathfrak{h}$ odgovara morfizam dg-algebri $CE(\mathfrak{h})\to CE(\mathfrak{g})$ (odnosno da je morfizam kolan?anih komplekasa tj. komutira s diferencijalom, te da je kompatibilan s množenjem $\wedge$). Dokaži i da je to pridruživanje funktorijalno.

20

Dokaži da se za univerzalni svežanj $E(G\times H)\to B(G\times H)$ kartezijevog produkta topoloških grupa $G\times H$ može uzeti $(E G\times E H)\to (B G\times B H)$.