Zoran Skoda
hom11zadaci

1

Po teoremu na predavanju 3, (multi)funktori na vektorskim prostorima induciraju funktore na vektorskim svežnjevma ukoliko je izvjestan aksiom neprekidnosti zadovoljen. Tako prostor linearnih preslikavanja ?ini funktor Hom:Vec op×VecVecHom:Vec^{op}\times Vec\to Vec. Inducirani funktor na vektorskim svežnjevima nazvat ?emo HOM.

Za vektorske svežnjeve V,WV,W nad ?vrstim prostorom XX, prerezi unutarnjeg HOMa na XX ?ine prostor svih preslikavanja vektorskih svežnjeva nad XX iz VV u WW:

Γ(HOM(V,W))=Hom(V,W).\Gamma(HOM(V,W)) = Hom(V,W).

Dokaži i objasni tu tvrdnju.

2

kk-struja glatkog preslikavanja f:MNf:M\to N u to?ki pMp\in M je klasa ekvivalencije svih preslikavanja g:MNg:M\to N takvih da je f(p)=g(p)f(p)=g(p) i takve da ff i gg imaju kontakt reda kk u to?ki pp. Iz Taylorovog razvoja slijedi da kk-struje svih preslikavanja u to?ki pp sa fiksiranim q=f(p)q = f(p) ?ine vektorski prostor pJ k(M,N) q{}_p J^k(M,N)_q a unija svih takvih za ?vrsti kk je prostor kk-struja J k(M,N)J^k(M,N). Pokažite da J k(M,N)J^k(M,N) ima strukturu glatke mnogostrukosti i da su domena i kodomena glatka preslikavanja. S J (M,N)J^\infty(M,N) ozna?avamo k1J k(M,N)\coprod_{k\geq 1} J^k(M,N).

3

Ako je VV kona?nodimenzionalan vektorski prostor, na skupu FVF V baza u VV je dano lijevo GL(V)GL(V) djelovanje s g(e 1,,e n)=(ge 1,,ge n)g(e_1,\ldots,e_n) = (g e_1,\ldots, g e_n) i desno djelovanje s (e 1,,e n)g=(g 1e 1,,g 1e n)(e_1,\ldots,e_n) g = (g^{-1} e_1,\ldots, g^{-1} e_n). Oba djelovanja su slobodna i tranzitivna, tj. FVF V je (lijevi ili desni) glavni GL(V)GL(V)-svežanj nad to?kom (drugim rije?ima glavni homogeni prostor grupe GL(V)GL(V)). Ta konstrukcija se lako proširuje na funktor s kategorije vektorskih svežnjeva nad ?vrstim topološkim prostorom MM u kategoriju glavnih svežnjeva nad MM, i pri tome FVF V s desnim djelovanjem GL(V)GL(V) nazivamo glavni svežanj repera vektorskog svežnja VV nad MM. U slu?aju kad je VMV\to M gladak, tada i FVMF V\to M ima prirodnu glatku strukturu. Ako je TMMT M\to M tangentni svežanj, tada pišemo FM:=FTMF M:= F T M i zovemo ga svežanj repera glavne mnogostrukosti MM. Sli?no dualu za vektorske svežnjeve, možemo dualizirati i taj glavni svežanj. Definiramo F *V=FV× GL(V)GL(V)F^* V = F V\times_{GL(V)}GL(V) gdje na GL(V)GL(V) zadamo lijevo djelovanje same sebe kao množenja s desna s inverzom, tj. g.h:=hg 1g.h := h g^{-1}, te desno djelovanje kao množenje s lijeva s inverzom. Kako ta dva djelovanja komutiraju, to desno množenje na tipi?nom vlaknu inducira djelovanje na klasama koje ?ine totalni prostor asociranog svežnja tako da je asocirani svežanj F *V=FV× GL(V)GL(V)F^* V = F V\times_{GL(V)}GL(V) desni glavni GL(V)GL(V)-prostor koji je po definiciji totalni prostor svežnja korepera svežnja VV nad MM. Pišemo F *M:=F *TMF^*M := F^* T M i kažemo da je F *MMF^* M\to M glavni svežanj korepera nad glatkom mnogostrukosti MM.

Pokažite da je ta konstrukcija glavnog svežnja korepera F *M=F *TMF^* M = F^* T M ekvivalentna slijede?oj. To?ka totalnog prostora F *MF^* M je klasa ekvivalencija trojki (p,(U,ϕ))(p,(U,\phi)) gdje je pMp\in M i (U,ϕ)(U,\phi) glatka karta oko pp, pri ?emu je po definiciji (p,(U,ϕ))(p,(U,ϕ))(p,(U,\phi))\cong (p',(U',\phi')) ako p=pp = p' i za jakobijan preslikavanja prijelaza u to?ki ϕ(p)\phi'(p) vrijedi:

J ϕ(p)(ϕϕ 1)=I. J_{\phi'(p)}(\phi\circ\phi'^{-1}) = I.

Lan?ano pravilo pokazuje da je time zadana relacija ekvivalencije na skupu trojki (provjeriti!). Djelovanje grupe GL nGL_n je na trojkama zadano s

A(p,(U,ϕ)):=(p,(U,A 1ϕ)) A (p,(U,\phi)) := (p,(U,A^{-1}\circ\phi))

gdje je djelovanje matrice A 1GL nA^{-1}\in GL_n na R n\mathbf{R}^n standardno. Djelovanje na trojkama inducira dobro definirano djelovanje na skupu klasa ekvivalencije koji je opremljen i prirodno definiranom prjekcijom na MM induciranu pravilom (p,(U,ϕ))p(p,(U,\phi))\mapsto p na predstavnicima. Rezultat je (desni, lokalni trivijalni) glavni GL nGL_n-svežanj F *MF^* M nad MM koji ima kanonsku glatku strukturu. Kao zadatak treba definirati tu kanonsku glatku strukturu na F *MF^* M (preko karti i funkcija prijelaza) i pokazati da je ta konstrukcija glatko ekvivalentna konstrukciji F *MF^* M danoj više.

4

Neka su s,t:M 1M 0s,t:M_1\to M_0 submerzije me?u glatkim mnogostruktima. Dokažite da fibrirani produkt (pullback)

M 1× M 0M 1 pr 2 M 1 pr 1 s M 1 t M 0\array{ M_1\times_{M_0} M_1 &\stackrel{pr_2}\rightarrow& M_1\\ pr_1 \downarrow &&\downarrow s\\ M_1 &\stackrel{t}\rightarrow& M_0 }

u kategoriji topoloških prostora ima kanonsku strukturu glatke mnogostrukosti (ideja: konstruirajte pullback kao podskup kartezijevog produkta glatkih mnogostrukosti i koristite teorem o rangu). Taj rezultat se koristi npr. u zasnivanju teorije Liejevih grupoida.

5

Neka su F 1MF_1\to M, F 2MF_2\to M dva glatka vektorska svežnja i ΓF 1\Gamma F_1 i ΓF 2\Gamma F_2 prostori glatkih prereza tih svežnjeva nad parakompaktnom glatkom mnogostrukoš?u MM, koje možemo promatrati kao C (M)C^\infty(M)-module. Neka je D:ΓF 1ΓF 2D:\Gamma F_1\to \Gamma F_2 proizvoljno preslikavanje koje ima jako svojstvo da je C (M)C^\infty(M)-linearno (ne samo R\mathbf{R}-linearno). Dokaži da postoji dobro definirano preslikavanje D 0:F 1F 2D_0 : F_1\to F_2 vektorskih svežnjeva nad MM takvo da za svaki prerez sΓF 1s\in\Gamma F_1 i za svaku to?ku xMx\in M vrijedi D(s)(x)=D 0(s(x))D(s)(x) = D_0(s(x)). (Taj rezultat smo koristili u tretmanu zakrivljenosti; naime koneksije nemaju svojstvo C (M)C^\infty(M)-linearnosti, no pokazuje se ra?unom da forma zakrivljenosti ima to svojstvo, što omogu?ava definiranje tenzora zakrivljenosti.)

6

Neka je (Ω (M),d)(\Omega^\bullet (M),d) de Rhamov kompleks na glatkoj mnogostrukosti MM. Kovarijantno diferenciranje na glatkom fibriranom svežnju EME\to M je R\mathbf{R}-linearno preslikavanje :ΓEΓ(T *ME)Ω 1(M)ΓE\nabla:\Gamma E\to \Gamma (T^*M\otimes E) \cong \Omega^1(M)\otimes \Gamma E na prostorima prereza, koje zadovoljava Leibnizovo pravilo (fs)=dfs+f(s)\nabla(f s)=df\otimes s + f\otimes \nabla(s) gdje je sΓEs\in \Gamma E i fC (M)f\in C^\infty(M). Dokaži da postoji dobro definirano i pri tome jedinstveno R\mathbf{R}-linearno preslikavanje ˜:ΓEΩ MΓEΩ +1M\tilde\nabla : \Gamma E\otimes \Omega^\bullet M \to \Gamma E\otimes \Omega^{\bullet+1}M, takvo da ˜| ΓE=\tilde\nabla|_{\Gamma E} = \nabla i takvo da za sve sΓEs\in \Gamma E i homogene forme ωΩ (M)\omega\in\Omega^\bullet(M), vrijedi graduirano Leibnizovo pravilo

˜(ωs)=dωs+(1) degωω˜(s). \tilde\nabla(\omega\otimes s) = d\omega\otimes s + (-1)^{deg \omega} \omega\otimes \tilde\nabla(s).

7

(zamjene koordinata za forme koneksija, bit ?e dopisano)

8

Kažemo da je monoidalna kategorija V˜=(V,,1)\tilde{V}=(V,\otimes,\mathbf{1}) zatvorena ako je zadan objekt ℋℴ𝓂(a,b)ObV\mathcal{Hom}(a,b)\in Ob V koji je unutarnji hom, tj. za svaka tri objekta a,b,cVa,b,c\in V postoji bijekcija

Hom V(ab,c)Hom V(a,ℋℴ𝓂(b,c)) Hom_V(a\otimes b,c) \cong Hom_V(a,\mathcal{Hom}(b,c))

prirodna u sva tri argumenta a,b,ca,b,c. Drugim rije?ima ℋℴ𝓂(b,)\mathcal{Hom}(b,-) je desni adjungirani funktor funktoru b-\otimes b. Dokaži da tada postoji i izomorfizam

ℋℴ𝓂(ab,c)ℋℴ𝓂(a,ℋℴ𝓂(b,c)) \mathcal{Hom}(a\otimes b,c) \cong \mathcal{Hom}(a,\mathcal{Hom}(b,c))

u VV, prirodan u sva tri argumenta (Ideja: koristi Yonedinu lemu i ra?un s 4 objekta)

9

Neka su c,dc,d dva objekta u 2-kategoriji 𝒜\mathcal{A}. Tada je 1-∞elija L:cdL:c\to d lijevo adjungirana 1-∞eliji R:dcR:d\to c u 𝒜\mathcal{A} ako postoje dvije 2-∞elije, jedinica η:1 cRL\eta : 1_c\Rightarrow R L i kojedinica ϵ:LR1 d\epsilon: L R\Rightarrow 1_d koje zadovoljavaju 2 aksioma, tzv. trokutne identitete: kompozicije

LLηLRLϵRL L \stackrel{L\eta}\Rightarrow L R L \stackrel{\epsilon R}\Rightarrow L
RηRRLRRϵR R\stackrel{\eta R}\Rightarrow R L R \stackrel{R\epsilon}\Rightarrow R

su identitete id Lid_L i id Rid_R, respektivno. Podaci (L,R,η,ϵ)(L,R,\eta,\epsilon) su adjunkcija u 𝒜\mathcal{A}. Dokaži da je (LR:dd,δ=LηR,ϵ)(L R : d\to d, \delta = L\eta R, \epsilon) komonada i da je (RL:cc,μ=RϵL,η)(R L:c\to c, \mu = R\epsilon L, \eta) monada u 2-kategoriji 𝒜\mathcal{A}.

10

Neka je (T:aa,μ,η)(T:a\to a,\mu,\eta) monada u 2-kategoriji 𝒜\mathcal{A}. Tada ona inducira augmentirani kosimplicijalni objekt u kategoriji End(a)End(a) endo-1-∞elija iz aa u aa. Augmentacija je η:IdT \eta:Id\to \mathbf{T}^\bullet gdje je X=T X = \mathbf{T}^\bullet kosimplicijalna 1-∞elija dana s X n=TTT=T n+1X_n = T\circ T\circ \ldots \circ T = T^{n+1} i i= n i=T iηT ni:X n1=T nT n+1=X n\partial^i = \partial^i_n = T^i \eta T^{n-i}:X_{n-1} = T^n \to T^{n+1} = X_n, σ n i=σ i=T iμT ni:X n+1=T n+2T n+1=X n\sigma^i_n = \sigma^i = T^i \mu T^{n-i} : X_{n+1} = T^{n+2}\to T^{n+1} = X^n. Provjeri da su zadovoljeni kosimplicijalni identiteti. Sli?no svaka komonada inducira (augmentirani) simplicijalni objekt u End(a)End(a).

11

(a, lakše) Dokaži direktno preko univerzalnog svojstva da je u svakoj kategoriji π:FC\pi :F\to C nad kategorijom CC kompozicija jako kartezijevih morfizama jako kartezijev morfizam (definicije su u lekciji 15). (b, teže) Na?i primjer kategorije CC i kategorije π:FC\pi:F\to C nad CC u kojoj postoji par slabo kartezijevih morfizama ?ija kompozicija nije slabo kartezijeva.

12

Provjeri da je kompozicija morfizama u Grothendieckovoj konstrukciji asocijativna. Pri tome treba koristiti svojstva koherencije za α\alpha u notaciji lekcije 19.

13

U notaciji lekcije 19, paragraf koji se odnosi na kalanje, Pokažite za f:abf:a\to b da je f *:F bF af^*:F_b\to F_a (kovarijatni) funktor i da je korespodencija bF bb\to F_b, ff *f\mapsto f^* dio podataka za kanonski (iz kalanja) definiran pseudofunktor; posebnu pažnju posvetite podacima i dokazu koherencije za taj pseudofunktor.

14

Neka je π:FB\pi:F\to B fibrirana kategorija s kalanjem KK i bF bb\mapsto F_b, ff *f\mapsto f^* pseudofunktor dobiven od kalanja. Dokaži da ako za svaki f *f^* postoji lijevi adjungirani funktor f !f_!, tada je π:FB\pi:F\to B kofibrirana, i dakle bifibrirana kategorija. Definiraj usput što je kalanje za kofibrirane kategorije (definicija kofibrirane kategorije je u zapisu lekcije 15.

15

Neka je π:PX\pi:P\to X glavni svežanj sa strukturnom (topološkom) grupom GG. Za svako neprekidno preslikavanje f:ZXf:Z\to X, povlak (pullback) f *PZf^* P\to Z je tako?er glavni GG-svežanj. Napose je to to?no kad je f=πf=\pi. Dokaži da je u tom slu?aju povu?eni glavni svežanj trivijalan. Ukratko ako povu?emo glavni svežanj na njegov totalni prostor dobijemo trivijalni svežanj. (Zadatak je dosta jednostavan.)

16

Neka je CC kategorija s terminalnim objektom 11. Neka je U:GrpSetU:Grp\to Set zaboravni funktor iz kategorije grupa u kategoriju skupova. Kažemo da je predsnop grupa G:C opGrpG:C^{op}\to Grp reprezentabilan, ako postoji objekt XX i prirodni izomorfizam α:UGh X\alpha:U\circ G \cong h_X, gdje je h X=Hom C(,X)h_X = Hom_C(-,X) obi?an reprezentabilni funktor. Pokažite da reprezentabilan predsnop grupa inducira strukturu grupnog objekta na XX, tj. množenje μ:X×XX\mu:X\times X\to X i jedini?ni element η:1X\eta: 1\to X, i inverz 1:XX^{-1}:X\to X koji zadovoljavaju uobi?ajene aksiome, i obratno, da grupni objekt (X,μ,η, 1)(X,\mu,\eta,^{-1}) inducira reprezentabilan predsnop grupa.

17

Kovarijantna derivacija na vektorskom svežnju EME\to M ranga nn uzduž glatkog vektorskog polja XX na MM se može u koordinatama x 1,,x mx^1,\ldots,x^m na UMU\subset M u kojima je X= iX ix iX = \sum_i X^i \frac{\partial}{\partial x^i} za neke X iC (M)X^i\in C^\infty(M) napisati

Xs=(s ix k+Γ jk is j)X k \nabla_X s = \left(\frac{\partial s^i}{\partial x^k}+\Gamma^i_{j k} s^j\right) X^k

gdje je s=s ie is = \sum s^i e_i i {e i} i=1,,n\{e_i\}_{i = 1,\ldots,n} baza of Γ UE\Gamma_U E. Pokaži direktnim ra?unom da je za dva vektorska polja X,YX, Y,

( X Y Y X [X,Y])(s)=R j,kl is jX kY le i (\nabla_X \nabla_Y - \nabla_Y \nabla_X -\nabla_{[X,Y]})(s) = R_{j,k l}^i s^j X^k Y^l e_i

gdje je tenzor zakrivljenosti RR definiran formulom

R j,kl i=Γ lj ix kΓ kj ix l+Γ kp iΓ lj pΓ lp iΓ kj p R^i_{j,k l} = \frac{\Gamma^i_{l j}}{\partial x^k} - \frac{\Gamma^i_{k j}}{\partial x^l} + \Gamma^i_{k p}\Gamma^p_{l j} - \Gamma^i_{l p}\Gamma^p_{k j}

18

Invarijantni polinom na prostoru matrica M n(K)M_n(K) gdje je K=,K = \mathbb{R},\mathbb{C} ili \mathbb{H} je po definiciji polinomno preslikavanje P:AP(A)P: A\mapsto P(A), M n(K)KM_n(K)\to K takvo da P(AB)=P(BA)P(A B)= P(B A) za svake dvije matrice A,BM n(K)A,B\in M_n(K).

  • (i) Dokaži da je taj uvjet ekvivalentan uvjetu P(C 1AC)=P(A)P(C^{-1}A C) = P(A) za sve AM n(K)A\in M_n(K) i sve invertibilne matrice CGL(n,K)C\in GL(n,K).

  • (ii) Dokaži tako?er da ako je PP invarijantan tada P(A T)=P(A)P(A^T) = P(A) za sve AM n(K)A\in M_n(K).

  • (iii) Dokaži da je homogena komponenta P kP_k homogenosti kk polinoma P= k=1 rP kP = \sum_{k=1}^r P_k stupnja rr koji je invarijantan tako?er invarijantna.

  • (iv) Do na predznak, koeficijenti karakteristi?nog polinoma matrice AA su elementarne simetri?ne funkcije (polinomi) e k(X 1,,X n)= 1j 1<<j kn(X 1) j 1(X n) j ne_k(X_1,\ldots,X_n) = \sum_{1\leq j_1\lt\ldots\lt j_k\leq n} (X_1)^{j_1}\cdots (X_n)^{j_n}. U linearnoj algebri ?esto se koristi oznaka σ k\sigma_k za e ke_k. Do na predznak (1) k(-1)^k, koeficijenti karakteristi?nog polinoma matrice AM n(K)A\in M_n(K), tj. det(AλId)det(A-\lambda Id) su elementarne simetri?ne funkcije od svojstvenih vrijednosti matrice AA, tj. (1) kσ k(λ 1,,λ n)(-1)^k\sigma_k(\lambda_1,\ldots,\lambda_n). Dokaži da je svaki invarijanti polinom na M n(K)M_n(K) polinom od elementarnih simetri?nih funkcija od svojstvenih vrijednosti, tj. polinom u izrazima σ k(λ 1,,λ n)\sigma_k(\lambda_1,\ldots,\lambda_n) za nekoliko raznih kk.

19

(Ovo je vezano uz lekciju 25). Neka je 𝔤\mathfrak{g} kona?no-dimenzionalna Liejeva algebra nad poljem kk karakteristike 00 i 𝔤 *\mathfrak{g}^* njen dualni vektorski prostor, te 𝔤 *=k𝔤 *𝔤 *𝔤 *\wedge^\bullet \mathfrak{g}^* = k\oplus \mathfrak{g}^* \oplus \mathfrak{g}^*\wedge\mathfrak{g}^* \oplus\ldots vanjska algebra nad dualom koja se promatra kao graduirana algebra u kojem su generatori u 𝔤\mathfrak{g} po definiciji stupnja 11 u graduaciji. Transponirano preslikavanje od Liejeve zagrade [,]:𝔤𝔤𝔤[,]:\mathfrak{g}\wedge\mathfrak{g}\to\mathfrak{g} je po definiciji restrikcija d| 𝔤 *:𝔤 *𝔤 *𝔤 *d|_{\mathfrak{g}^*}:\mathfrak{g}^*\to\mathfrak{g}^*\wedge\mathfrak{g}^* jedinstvene graduirane derivacije d: 𝔤 * 𝔤 *d:\wedge^\bullet\mathfrak{g}^*\to \wedge^\bullet\mathfrak{g}^* na vanjskoj algebri 𝔤 *\wedge^\bullet\mathfrak{g}^*.

  • (i) Dokaži da je ta definicija dobra (jedinstvenost i egzistencija dd).

  • (ii) Dokaži da je dd=0d\circ d = 0 ekvivalentno Jacobijevom identitetu za zagradu [,][,]. Time smo dobili dakle (graduirano)komutativnu diferencijalnu algebru CE(𝔤)CE(\mathfrak{g}) koja se naziva Chevalley-Eilenbergova algebra i ?iji je underlying kompleks Chevalley-Eilenbergov kolan?ani kompleks (s trivijalnim koeficijentima).

  • (iii) Dokaži da preslikavanju Liejevih algebri 𝔤𝔥\mathfrak{g}\to\mathfrak{h} odgovara morfizam dg-algebri CE(𝔥)CE(𝔤)CE(\mathfrak{h})\to CE(\mathfrak{g}) (odnosno da je morfizam kolan?anih komplekasa tj. komutira s diferencijalom, te da je kompatibilan s množenjem \wedge). Dokaži i da je to pridruživanje funktorijalno.

20

Dokaži da se za univerzalni svežanj E(G×H)B(G×H)E(G\times H)\to B(G\times H) kartezijevog produkta topoloških grupa G×HG\times H može uzeti (EG×EH)(BG×BH)(E G\times E H)\to (B G\times B H).

Last revised on May 18, 2012 at 20:57:18. See the history of this page for a list of all contributions to it.