Zoran Skoda
hom12 aditivne kategorije

Usporedi nnLab additive and abelian categories, monomorphism, kernel, cokernel, zero object

Osnovna kategorijska terminologija je u lekciji lecsCatCh0.

Slijedeća lekcija je hom12 abelove kategorije.

Nulobjekti i nulmorfizmi

Nulobjekt je objekt koji je istovremeno inicijalni i terminalni. Kategorija skupova nema nulobjekt jer je inicijalni objekt prazan skup, a terminalni jednočlani skup (singleton). Kategorija abelovih grupa ima nulobjekt, naime grupu s jednim elementom (trivijalnu grupu). Ako postoji nulobjekt u nekoj kategoriji onda je on jedinstven do na jedinstveni izomorfizam. Grupa automorfizama nulobjekta je trivijalna.

Nulmorfizam u kategoriji CC s nulobjektom 00, je morfizam f:ABf:A\to B za koji postoji razlaganje u kompoziciju morfizama oblika Ap0iBA\stackrel{p}\longrightarrow 0 \stackrel{i}\longrightarrow B, tj. koja se propušta kroz nulobjekt. Kako je 00 i inicijalni i terminalni objekt, to je svako takvo razlaganje jedinstveno ukoliko postoji. Ako je ff nulmorfizam i gfg\circ f definirano, tada je gfg\circ f nulmorfizam (analogno za fgf\circ g).

Ab-kategorije i predaditivne kategorije

Kategorija CC je AbAb-kategorija (ili AbAb-obogaćena kategorija) ako je na svakom skupu Hom(x,y)Hom(x,y) gdje su x,yx,y objekti u CC zadana struktura abelove grupe, a kompozicija :Hom(y,z)Hom(x,y)Hom(x,z)\circ : Hom(y,z)\otimes Hom(x,y)\to Hom(x,z) je homomorfizam grupa, tj. operacija koja je aditivna u oba argumenta. Suprotna kategorija od AbAb-kategorije također ima strukturu AbAb-kategorije.

AbAb-kategorije s samo jednim objektom RR su zapravo prsteni. Naime morfizmi su u bijekciji s elementima iz RR, a množenje je kompozicija. Od tuda dolazi stara fraza da su AbAb-kategorije “prsteni s više objekata”. Ako je RR prsten i C RC_R pripadna AbAb-kategorija s jednim objektom (kažemo još “suspenzija od RR”), tada su lijevi (desni) moduli MM nad RR u korespondenciji s kovarijantnim (kontravarijantnim) funktorima C RAbC_R\to Ab. Ta definicija preko funktora se može proširiti do općenite definicija modula nad AbAb-kategorijom kad je CC umjesto C RC_R proizvoljna mala AbAb-kategorija.

Predaditivna kategorija (engl. pre-additive category, npr. u S. MacLane, Homology, 1963) je AbAb kategorija u kojoj postoji nulobjekt. Neki autori koriste naziv preadditive category za AbAb-kategoriju (npr. engleska wikipedia, koja slijedi Popescu).

Zadatak. (i) Dokaži da je za AbAb-kategoriju dovoljno je tražiti da ima inicijalni objekt, tada će on nužno biti i terminalni, dakle nulobjekt.

(ii) Dokaži da je u svakoj predaditivnoj kategoriji nula Abelove grupe homomorfizama 0 x,yHom(x,y)0_{x,y}\in Hom(x,y) ujedno i nulmorfizam. U svakoj AbAb-kategoriji vrijedi obrat, tj. ako je 00 nulmorfizam onda je oblika 0 x,y0_{x,y} u smislu obogaćenja.

(iii) Dokaži da je u predaditivnoj kategoriji svaki objekt OO' koji ima trivijalnu grupu automorfizama nulobjekt.

Biprodukti i aditivne kategorije

Predaditivna kategorija je aditivna kategorija ako postoje binarni biprodukti, tj. za svaki par objekata VV i WW postoji njihov biprodukt, tj. objekt VWV\oplus W koji istovremeno ima strukturu produkta kao univerzalnog konusa Vp VV×Wp WWV\stackrel{p_V}\longleftarrow V\times W\stackrel{p_W}\longrightarrow W i strukturu koprodukta kao univerzalnog kokonusa Vi VVWi WWV\stackrel{i_V}\longrightarrow V\coprod W\stackrel{i_W}\longleftarrow W. Umjesto univerzalnih svojstava produkta i koprodukta za VWV\oplus W, možemo tražiti da VWV\oplus W ima strukturu direktne sume, tj. da morfizmi i V,i W,p V,p Wi_V,i_W, p_V,p_W zadovoljavaju relacije

p Vi V=id V,p Wi W=id W,i Vp V+i Wp W=id VW. p_V i_V = id_V, \,\,\,\,p_W i_W = id_W,\,\,\,\,i_V p_V + i_W p_W = id_{V\oplus W}.

Iz tih svojstava slijedi

p Vi W=p V(i Vp V+i Wp W)i W=id Vp Vi W+p Vi Wid W=p Vi W+p Vi W, p_V i_W = p_V (i_V p_V + i_W p_W) i_W = id_V p_V i_W + p_V i_W id_W = p_V i_W + p_V i_W,

dakle p Vi W=0p_V i_W = 0 i, analogno, p Wi V=0p_W i_V = 0. Pojam biprodukta (kao objekta koji je istovremeno produkt i biprodukt) se očito može proširiti na bilo koju porodicu objekata, s time da je biprodukt nula objekata nulobjekt, a biprodukt jednog objekta taj sam objekt. Ukoliko u kategoriji postoje svi konačni biprodukti, tada je ona na kanonski način AbAb-obogaćena. Naime, za svaki objekt AA, po univerzalnom svojstvu produkta, postoji jedinstveno preslikavanje dijagonala Δ:AA×A\Delta:A\to A\times A takvo da je p 1A=id A=p 2Ap_1\circ A = id_A = p_2\circ A gdje su p 1,p 2p_1,p_2 projekcije produkta A×AA\times A na AA. Slično, po univerzalnom svojstvu koprodukta, postoji kodijagonala :AAA\nabla:A\coprod A\to A karakterizirana s i 1=id A=i 2\nabla\circ i_1 = id_A = \nabla\circ i_2, gdje su i 1,i 2i_1,i_2 kanonska ulaganja koprodukta. Nadalje, u svakoj kategoriji u kojoj postoji koprodukt MMM\coprod M i produkt N×NN\times N, za svaka dva morfizma f:MNf:M\to N i g:MNg:M\to N, postoji jedinstveno preslikavanje fg:MMN×Nf\oplus g:M\coprod M\to N\times N takvo da je p k N(fg)i l Mp_k^N\circ (f\oplus g)\circ i_l^M jednako ff ako k=l=1k=l=1, jednako gg ako k=l=2k=l=2 i jednako 00 ako klk\neq l. Morfizam fgf\oplus g se u kategoriji s konačnim biproduktima podudara s preslikavanjem f×g:M×MN×Nf\times g : M\times M\to N\times N karakteriziranom relacijama p 1 M(f×g)=fp 1 Np_1^M (f\times g) = f p_1^N i p 2 M(f×g)=gp 2 Np_2^M (f\times g) = g p_2^N. U kategoriji s binarnim biproduktima fgf\oplus g se također podudara s morfizmom fg:MMNNf\coprod g: M\coprod M\to N\coprod N karakteriziranom relacijama (fg)i 1 M=i 1 Nf(f\coprod g) i_1^M = i_1^N f i (fg)i 2 M=i 2 Mg(f\coprod g) i_2^M = i_2^M g.

Teorem. U kategoriji CC s binarnim biproduktima se s f+g=(fg)Δf+g = \nabla\circ (f\oplus g)\circ\Delta definira struktura komutativne polugrupe na Hom(M,N)Hom(M,N); ukoliko u CC postoji nulobjekt, tada je nulmorfizam 0 M,N0_{M,N} neutralni element te polugrupe. Ukoliko je ta polugrupa grupa, tada te strukture za sve M,NM,N u CC daju strukturu aditivne kategorije na CC. Svaka druga struktura aditivne kategorije na CC se podudara s tom aditivnom strukturom (tj. struktura aditivne kategorije na kategoriji joj je intrinzička kao kategoriji).

Dokaz bi bilo dobro napraviti kao zadatak. Varijante tog teorema s dokazom se mogu naći u Bassovoj K-teoriji (nema jedinstenosti) i u Borceuxovoj Categeorical algebra, vol. 2 (tamo se dokazuje jedinstvenos).

Najjednostavniji primjer aditivne kategorije je sama kategorija Abelovih grupa. Konačni biprodukti Abelovih grupa su upravo vanjske direktne sume Abelovih grupa, u smislu standardne algebre.

U proizvoljnoj kategoriji s binarnim koproduktima mofizmu c:MNPc: M\coprod N\to P pridružujemo par morfizama (c M,c N)(c_M,c_N) gdje su c M:MPc_M:M\to P i c N:NPc_N:N\to P dani s c M=ci Mc_M = c i_M i c N=ci Nc_N = c i_N. To je bijekcija jer je inverz tog preslikavanja dan univerzalnim svojstvom. U aditivnoj kategoriji možemo tu bijekciju pisati kao izomorfizam Abelovih grupa

Hom(MN,P)Hom(M,P)Hom(N,P), Hom(M\coprod N,P) \cong Hom(M,P)\oplus Hom(N,P),

a za inverz tada postoji i formula c=c Mp M+c Np Nc = c_M p_M + c_N p_N. Slično imamo izomorfizan Hom(Q,MN)Hom(Q,M)Hom(Q,N)Hom(Q,M\prod N)\cong Hom(Q,M)\oplus Hom(Q,N) s inverzom danom formulom (d M,d N)i Md M+i Nd N(d_M,d_N)\mapsto i_M d_M + i_N d_N.

Created on June 2, 2013 at 18:32:14. See the history of this page for a list of all contributions to it.