Zoran Skoda
hom12 abelove kategorije

(lekcija je razdijeljena na dijelove: hom12 aditivne kategorije je prvi dio)

Usporedi nnLab additive and abelian categories, monomorphism, kernel, cokernel, zero object, abelian category, image, coimage.

Osnovna kategorijska terminologija je u lekciji lecsCatCh0.

Jezgre i kojezgre

Definicija jezgre ima smisla u kategoriji s inicijalnim objektom \emptyset kao povlak (pullback)

Ker(f) kerf M f N, \array{ Ker(f) &\to& \emptyset \\ {}^{ker f}\downarrow && \downarrow \\ M &\stackrel{f}{\to}& N },

kad taj povlak postoji. Dualno, u kategoriji s terminalnim objektom 11, kojezgra morfizma f:MNf : M \to N je istisak (pushout) coker(f)coker(f) u

M f N coker(f) 1 Coker(f) \array{ M &\stackrel{f}{\to}& N \\ \downarrow && \downarrow^{coker(f)} \\ 1 &\to& Coker(f) }

Sjetimo se da je morfizam m:xym:x\to y u CC mono(morfizam) ako za svaki parelelni par morfizama g 1,g 2:zxg_1,g_2:z\to x, mg 1=mg 2m\circ g_1=m\circ g_2 povlači g 1=g 2g_1=g_2; drugim riječima, Yonedom inducirana prirodna transformacija f=Hom(,m):Hom(,x)Hom(,y)f\circ = Hom(-,m):Hom(-,x)\to Hom(-,y) ima injektivne komponente Hom(z,m):Hom(z,x)Hom(z,y)Hom(z,m):Hom(z,x)\to Hom(z,y), kmkk\mapsto m\circ k. Slično morfizam e:xye:x\to y je epi(morfizam) ako za svaki paralelni par morfizama h 1,h 2:yzh_1,h_2:y\to z, h 1e=h 2eh_1\circ e = h_2\circ e povlači h 1,h 2h_1,h_2, tj. e ope^{op} u suprotnoj kategoriji C opC^{op} je mono. To nije ekvivalentno tvrdnji da su sve komponente od Hom(,e)Hom(-,e) surjektivne, (u principu zato jer HomHom nije desno egzaktan, ne čuva dakle kolimese niti epimorfizme).

(Jezgre kao ujednačitelji) Ako kategorija CC ima nulobjekt 0=0=\emptyset, tada je, po definiciji jezgre i nulmorfizma, fkerf=0=0kerff\circ ker f = 0 = 0\circ ker f, dakle kerfker f ujednačuje ff 00; ako za neki h:ZMh:Z\to M vrijedi fh=0f\circ h = 0 tada po univerzalnom svojstvu povlaka za kerfker f postoji u:ZKerfu:Z\to Ker f tako da vkerf=hv\circ ker f = h. Dakle, kerfker f je ujednačitelj od ff i 00. Možemo, dakle, kratko reći kao u kategoriji modula, da je kerfker f morfizam takav da fkerf=0f\circ ker f = 0 i koji je univerzalni terminalni među svim takvim objektima. Slično je, u kategoriji s nulobjektom, kojezgra morfizma ff koujednačitelj of ff i 00, te univerzalni inicijalni među svim morfizmima hh za koje vrijedi hf=0h\circ f = 0.

Propozicija. Svaki ujednačitelj je mono, pa tako i jezgra morfizma u kategoriji s nulobjektom. Dualno, svaki je koujednačitelj epi, pa tako i kojezgra morfizma u kategoriji s nulobjektom.

Dokaz. Neka je ee ujednačitelj para f 1,f 2f_1,f_2, i neka je g 1,g 2g_1,g_2 paralelni par takav da su kompozicije eg 1=eg 2e\circ g_1 = e\circ g_2 definirane i jednake. Tada f 1(eg 1)=f 2(eg 1)f_1\circ (e\circ g_1) = f_2\circ (e\circ g_1). Dakle eg 1e\circ g_1 ujednačuje f 1f_1 i f 2f_2. Po univerzalnom svojstvu ujednačitelja ee to znači da postoji jedinstveni morfizam gg tako da je eg=eg 1e\circ g = e\circ g_1 i vrijedi f 1(eg)=f 2(eg)f_1\circ (e\circ g) = f_2\circ (e\circ g). Međutim, to vrijedi i za g=g 2g = g_2. Dakle g=g 1=g 2g = g_1 = g_2, tj. ee je mono.

(Jezgra kao podobjekt) Svojstvo jezgre je univerzalno, pa je prestavnik jezgre jedinstven samo do na izomorfizam. Točnije ako je morfizam k:KMk:K\to M jezgra od f:MNf:M\to N, te h:KKh:K'\to K izomorfizam, tada i kh:KMk\circ h:K'\to M zadovoljava definiciju jezgre. Kategorija kriški nad objektom NN ima kao jednu potkategoriju kategoriju monomorfizama s kodomenom NN, u kojoj su morfizmi komutativni trokuti monomorfizama. Izomorfni objekti u toj kategoriji zovu se podobjekti; dakle podobjekt je klasa ekvivalentnih monomorfizama, gdje je kkk\sim k' ako postoji izo hh takav da je k=hkk'=h\circ k. Dakle, ako želimo izbjeć proizvoljnost, u kategoriji s nulobjektom, definiramo jezgru kao klasu ekvivalentnih monomorfizama, svaki od kojih zadovoljava univerzalno svojstvo jezgre. Takva jezgra je dakle klasa monomorfizama, koja može biti prazna (ako ne postoji). Tada je precizno pisati kkerfk\in ker f, a uobičajena notacija k=kerfk=ker f je neprecizna “skraćenica” istog izraza. Slično gledamo kojezgru kao klasu ekvivalencije (s obzirom na postkompoziciju s izomorfizmima) epimorfizama; dualno podobjektu tu klasu gledamo kao kvocijentni objekt.

Propozicija. U kategoriji s nulobjektom,

(i) ako je mm monomorfizam i mfm\circ f definirano, tada je Ker(mf)=KerfKer(m\circ f) = Ker f;

(ii) dualno, ako je ee epimorfizam, onda je Coker(fe)=CokerfCoker(f\circ e)=Coker f

Dokaz (i). mfker(mf)=0=m0m f ker(m f) = 0 = m 0, pa kako je mm mono, to fker(mf)=0f ker(m f)= 0. Dakle ker(mf)ker(m f) ujednačuje ff i 00. Moramo pokazati da je univerzalni konus, tj. terminalni među svim morfizmima koji ujednačuju ff i 00. Dakle, neka je hh takav morfizam, tj. mfh=0=m0m f h = 0 = m 0. Kako je mm mono, slijedi fh=0f h = 0. ZAVRŠI

Propozicija. Ako je f:MNf:M\to N ujednačitelj nekog para g 1,h 1g_1,h_1 u kategoriji s istiscima (pushouts), onda je ono ujednačitelj svog “kojezgrinog para” tj. para morfizama g,h:NPg,h:N\to P takvih da je

M f N f g N h P \array{ M &\stackrel{f}\to& N \\ {}^{f}\downarrow && \downarrow^g \\ N &\stackrel{h}{\to}& P }

kokartezijev tj. istisak (pushout). Dualno je svako kojezgro zapravo ujednačitelj svoj jezgrinog para, tj. para morfizama g,h:RMg',h':R\to M koji čine (R,g,h)(R,g',h') povlakom (pullback) od ff uzduž ff (vidi kernel pair).

Dokaz. Kokartezijev kvadrat je svakako komutativan pa vrijedi ge=heg\circ e = h\circ e. Neka je kk proizvoljni morfizam koji ujednačuje gg i hh , tj. gk=hkg\circ k = h\circ k. Po pretpostavci propozicije, g 1e=h 1eg_1\circ e = h_1\circ e, pa, po univerzalnosti istiska, postoji jedinstveni uu takav da ug=g 1u\circ g = g_1 i uh=h 1u\circ h = h_1. Dakle g 1k=ugk=uhk=h 1kg_1\circ k = u \circ g\circ k = u\circ h\circ k = h_1\circ k. Po univerzalnom svojstvu ujednačitelja ee od g 1g_1 i h 1h_1 slijedi da postoji jedinstveni vv takav da je ev=ke\circ v = k. Kako smo to pokazali za svak kk koji ujednačuje gg i hh, to je ee ujednačitelj od gg i hh kako je traženo.

Predabelove kategorije

Predabelova kategorija (ili, prema Grothendieckovom Tohoku, (AB1)-kategorija) je aditivna kategorija u kojoj svaki morfizam ima jezgru i kojezgru. Kako u predaditivnoj kategoriji postoji nulobjekt, jezgru možemo definirati kao na početku lekcije gore. S druge strane, u AbAb-kategorijama postoji alternativna definicija jezgre i kojezgre, koja je u svakoj predaditivnoj kategoriji 𝒜\mathcal{A} ekvivalentna gornjoj definiciji. Naime, za f:xyf:x\to y, najprije se definira kontravarijantni funktor kerf:𝒜 opAbker f: \mathcal{A}^{op}\to Ab kao podfunktor reprezentabilnog funktora h x=Hom 𝒜(,x)h_x = Hom_{\mathcal{A}}(-,x) koji je na objektima zadan s

(kerf)(z)=ker(h x(z)ggfh y(z))h x(z) (ker f)(z) = ker(h_x(z)\stackrel{g\mapsto g\circ f}\rightarrow h_y(z)) \subset h_x(z)

Objekt jezgre KerfKer f se definira kao objekt koji reprezentira funktor kerfker f, ako postoji. Čitatelj bi za vježbu trebao pokazati da ako KerfKer f u pred-aditivnoj kategoriji postoji, tada je KerfKer f vrh ujednačitelja oblika

gdje smo pripadni morfizam također označili s kerfker f. Dualno, definiramo funktor cokerfcoker f kao (kerf op) op(ker f^{op})^{op} i objekt kojezgre Cokerf𝒜 opAbCoker f\mathcal{A}^{op} \to Ab kao objekt koji ga reprezentira, ako takav objekt postoji.

Naivna definicija funktora kojezgre kao

coker(h x(z)ggfh y(z))h y(z) coker(h_x(z)\stackrel{g\mapsto g\circ f}\rightarrow h_y(z)) \subset h_y(z)

nije dobra. Naime, već u slučaju kategorije Abelovih grupa se ne podudara s običnom kojezgrom, tj. y/Im(f)y/Im(f) odnosno s koujednačiteljem od ff i 00. Razlog da se definicija za KerfKer f ponaša dobro, a definicija za CokerfCoker f ne ponaša je da je kerfker f vrsta limesa, cokerfcoker f vrsta kolimesa, a Yonedino ulaganje komutira s limesima (lijeva egzaktnost), a ne mora komutirati s kolimesima.

Niz od dva morfizma ab\stackrel{a}\longrightarrow\stackrel{b}\longrightarrow u aditivnoj kategoriji ćemo zvati kratki egzaktni niz ako je bcokerab\in coker a i akerba\in ker b.

Abelove kategorije

Predabelova kategorija 𝒜\mathcal{A} je Abelova (ili, prema Grothendieckovom Tohoku, (AB2)-kategorija) ako je za svaki morfizam f:MNf:M\to N kanonski morfizam Coker(kerf)Ker(cokerf)Coker(ker f)\to Ker(coker f) (dobiven po svojstvima univerzalnosti) iz kojezgre Coker(kerf)Coker(ker f) jezgre kerf:KerfMker f : Ker f\to M u jezgru Ker(cokerf)Ker(coker f) kojezgre cokerf:NCokerfcoker f: N\to Coker f izomorfizam.

U dijagramatskom prikazu možemo dakle reći da je Abelova kategorija upravo takva aditivna kategorija u kojoj za svaki morfizam f:MNf:M\to N postoji niz morfizama

KerfkerfMiIjNcokerfCokerf Ker f\stackrel{ker f}\longrightarrow M\stackrel{i}\longrightarrow I \stackrel{j}\longrightarrow N\stackrel{coker f}\longrightarrow Coker f

u kojem je ji=fj\circ i = f, i:MIi:M\to I je kojezgro od kerfker f i j:INj:I\to N je jezgro od cokerfcoker f. Katkad se govori o kanonskoj analizi morfizma ff u Abelovoj kategoriji.

U predabelovoj kategoriji imamo lijevi i desni dio tog niza, naime KerfkerfMiIKer f\stackrel{ker f}\longrightarrow M\stackrel{i}\longrightarrow I i JjNcokerfCokerfJ\stackrel{j}\longrightarrow N\stackrel{coker f}\longrightarrow Coker f te, po univerzalnim svojstvima, i morfizam l:IJl:I\to J takav da je f=jlif = j\circ l\circ i; tada slijedi da Kerl=Cokerl=0Ker l = Coker l = 0, tj. ll je i epimorfizam i monomorfizam. Međutim proizvoljna predabelova kategorija nije nužno balansirana, tj. epimorfizam koji je ujedno monomorfizam nije nužno izomorfizam (tj. nema nužno inverz). Predabelova kategorija je abelova onda i samo onda ako je balansirana, što implicira ovdje da je ll izomorfizam.

Notacija II u kanonskoj analizi morfizma sugerira engleski “image”. Sjetimo se, naime, da je kod vektorskih prostora kojezgra N/ImfN/Im f, ili ekvivalentno ImfN/CokerfKer(cokerf)Im f\cong N/Coker f\cong Ker(coker f). Slično je koslika Coimf=Coker(kerf)Coim f = Coker(ker f), pa je uvjet abelovosti zapravo uvjet da je kanonski morfizam iz koslike u sliku preslikavanja izomorfizam. Tako ćemo u predabelovoj kategoriji definirati ImfIm f kao Ker(cokerf)Ker(coker f) i CoimfCoim f kao Coker(kerf)Coker(ker f). U gornjem razlaganju cokerfjikerfcoker f\circ j\circ i\circ ker f, j=coimfj= coim f i i=imfi = im f su pripadni morfizmi slike i koslike.
Slika ima univerzalno svojstvo slike tj. ff se razlaže u kompoziciju MeImfmNM\stackrel{e}\longrightarrow Im f\stackrel{m}\hookrightarrow N gdje je mm monomorfizam, pri čemu je taj monomorfizam maksimalan, tj. svako drugo takvo razlaganje f=mef = m'\circ e' u kojem je m:INm':I'\hookrightarrow N mono, postoji jedinstveni monomorfizam k:ImfIk:Im f\to I' takav da je mk=mm'\circ k = m. Dualno, univerzalno svojstvo koslike kaže da se ff razlaže u kompoziciju Me˜Imfm˜NM\stackrel{\tilde{e}}\longrightarrow Im f\stackrel{\tilde{m}}\longrightarrow N, gdje je ee epimorfizam koji je maksimalan u smislu da za svako drugo takvo razlaganje f=m˜e˜f = \tilde{m}'\circ \tilde{e}' u kojem je e˜:MJ\tilde{e}':M\hookrightarrow J' epi, postoji jedinstveni morfizam k˜\tilde{k} takav da k˜e˜=e˜\tilde{k}\circ \tilde{e}' = \tilde{e}. Usporedi image.

Propozicija. Kanonska analiza morfizma f:MBf:M\to B u aditivnoj kategoriji 𝒜\mathcal{A}, ako postoji, ekvivalentna je slijedećoj analizi morfizma:

KkMiIjNcC K\stackrel{k}\longrightarrow M\stackrel{i}\longrightarrow I \stackrel{j}\longrightarrow N\stackrel{c}\longrightarrow C

u kojem je ji=fj\circ i = f, icokerki\in coker k, kkerik\in ker i, jkercj\in ker c, ccokerjc\in coker j.

Propozicija. Predabelova kategorija je Abelova akko je svaki njen monomorfizam jezgro nekog morfizma i svaki njen epimorfizam kojezgro nekog morfizma. (Obrat vrijedi uvijek: jezgro je ujednačitelj, a svaki svaki ujednačitelj je mono.)

Propozicija. Predabelova kategorija je Abelova akko vrijede ova dva aksioma

(i) za svaki mono mm i svaki epi ee, vrijedi mkerem\in ker e onda i samo onda kada ekerme\in ker m

(ii) svaki morfizam ff se može napisati kao kompozicija f=ksf=k\circ s gdje je kk mono, a ss epi

Primjeri Abelovih kategorija

Primjeri Abelovih kategorija: kategorija abelovih grupa, kategorija modula nad fiksnim prstenom (asocijativnim, ne nužno komutativnim, može čak i bez jedinice), kategorija konačno dimenzionalnih vektorskih prostora nad tijelom, kategorija svih vektorskih prostora nad fiksnim tijelom, kategorija Qcoh XQcoh_X kvazikoherentnih snopova 𝒪\mathcal{O}-modula nad algebarskom shemom (X,𝒪 X)(X,\mathcal{O}_X), kategorija Mod{}_{\mathcal{R}}Mod predsnopova (snopova) \mathcal{R}-modula gdje je \mathcal{R} predsnop (snop) (asocijativnih unitalnih) prstena na topološkom prostoru.

Neprimjer: kategorija konačno-dimenzionalnih realnih vektorskih svežnjeva Vec XVec_X na topološkom prostoru XX je aditivna kategorija, no tipično nije Abelova kategorija jer jezgre i kojezgre ne moraju nužno postojati (problem je da je dimenzija jezgre i kojezgre vlakno po vlakno samo poluneprekidna funkcija). Analogni pojam vektorskih svežnjeva se može gledati i na shemi (X,𝒪 X)(X,\mathcal{O}_X) kao kategorija lokalno slobodnih snopova 𝒪 X\mathcal{O}_X-modula konstantnog konačnog ranga. Tada najmanja podkategorija kategorije kvazikoherentnih snopova 𝒪 X\mathcal{O}_X modula koja sadrži lokalno slobodne 𝒪 X\mathcal{O}_X-modula konstantnog konačnog ranga je tzv. kategorija koherentnih snopova 𝒪 X\mathcal{O}_X-modula Coh XCoh_X.

Detaljnije o Abelovim kategorijama snopova će biti u (još nenapisanoj) lekciji hom12 abelove kategorije snopova?. O egzaktnim nizovima u abelovim kategorijama napisat ću lekciju hom12 homološka algebra u abelovim kategorijama?.

Last revised on September 9, 2019 at 11:44:59. See the history of this page for a list of all contributions to it.