Zoran Skoda hom12 abelove kategorije

(lekcija je razdijeljena na dijelove: hom12 aditivne kategorije je prvi dio)

Usporedi $n$Lab additive and abelian categories, monomorphism, kernel, cokernel, zero object, abelian category, image, coimage.

Osnovna kategorijska terminologija je u lekciji lecsCatCh0.

Jezgre i kojezgre

Definicija jezgre ima smisla u kategoriji s inicijalnim objektom $\emptyset$ kao povlak (pullback)

$$\array{ Ker(f) &\to& \emptyset \\ {}^{ker f}\downarrow && \downarrow \\ M &\stackrel{f}{\to}& N },$$

kad taj povlak postoji. Dualno, u kategoriji s terminalnim objektom $1$, kojezgra morfizma $f : M \to N$ je istisak (pushout) $coker(f)$ u

$$\array{ M &\stackrel{f}{\to}& N \\ \downarrow && \downarrow^{coker(f)} \\ 1 &\to& Coker(f) }$$

Sjetimo se da je morfizam $m:x\to y$ u $C$ mono(morfizam) ako za svaki parelelni par morfizama $g_1,g_2:z\to x$, $m\circ g_1=m\circ g_2$ povlači $g_1=g_2$; drugim riječima, Yonedom inducirana prirodna transformacija $f\circ = Hom(-,m):Hom(-,x)\to Hom(-,y)$ ima injektivne komponente $Hom(z,m):Hom(z,x)\to Hom(z,y)$, $k\mapsto m\circ k$. Slično morfizam $e:x\to y$ je epi(morfizam) ako za svaki paralelni par morfizama $h_1,h_2:y\to z$, $h_1\circ e = h_2\circ e$ povlači $h_1,h_2$, tj. $e^{op}$ u suprotnoj kategoriji $C^{op}$ je mono. To nije ekvivalentno tvrdnji da su sve komponente od $Hom(-,e)$ surjektivne, (u principu zato jer $Hom$ nije desno egzaktan, ne čuva dakle kolimese niti epimorfizme).

(Jezgre kao ujednačitelji) Ako kategorija $C$ ima nulobjekt $0=\emptyset$, tada je, po definiciji jezgre i nulmorfizma, $f\circ ker f = 0 = 0\circ ker f$, dakle $ker f$ ujednačuje $f$ $0$; ako za neki $h:Z\to M$ vrijedi $f\circ h = 0$ tada po univerzalnom svojstvu povlaka za $ker f$ postoji $u:Z\to Ker f$ tako da $v\circ ker f = h$. Dakle, $ker f$ je ujednačitelj od $f$ i $0$. Možemo, dakle, kratko reći kao u kategoriji modula, da je $ker f$ morfizam takav da $f\circ ker f = 0$ i koji je univerzalni terminalni među svim takvim objektima. Slično je, u kategoriji s nulobjektom, kojezgra morfizma $f$ koujednačitelj of $f$ i $0$, te univerzalni inicijalni među svim morfizmima $h$ za koje vrijedi $h\circ f = 0$.

Propozicija. Svaki ujednačitelj je mono, pa tako i jezgra morfizma u kategoriji s nulobjektom. Dualno, svaki je koujednačitelj epi, pa tako i kojezgra morfizma u kategoriji s nulobjektom.

Dokaz. Neka je $e$ ujednačitelj para $f_1,f_2$, i neka je $g_1,g_2$ paralelni par takav da su kompozicije $e\circ g_1 = e\circ g_2$ definirane i jednake. Tada $f_1\circ (e\circ g_1) = f_2\circ (e\circ g_1)$. Dakle $e\circ g_1$ ujednačuje $f_1$ i $f_2$. Po univerzalnom svojstvu ujednačitelja $e$ to znači da postoji jedinstveni morfizam $g$ tako da je $e\circ g = e\circ g_1$ i vrijedi $f_1\circ (e\circ g) = f_2\circ (e\circ g)$. Međutim, to vrijedi i za $g = g_2$. Dakle $g = g_1 = g_2$, tj. $e$ je mono.

(Jezgra kao podobjekt) Svojstvo jezgre je univerzalno, pa je prestavnik jezgre jedinstven samo do na izomorfizam. Točnije ako je morfizam $k:K\to M$ jezgra od $f:M\to N$, te $h:K'\to K$ izomorfizam, tada i $k\circ h:K'\to M$ zadovoljava definiciju jezgre. Kategorija kriški nad objektom $N$ ima kao jednu potkategoriju kategoriju monomorfizama s kodomenom $N$, u kojoj su morfizmi komutativni trokuti monomorfizama. Izomorfni objekti u toj kategoriji zovu se podobjekti; dakle podobjekt je klasa ekvivalentnih monomorfizama, gdje je $k\sim k'$ ako postoji izo $h$ takav da je $k'=h\circ k$. Dakle, ako želimo izbjeć proizvoljnost, u kategoriji s nulobjektom, definiramo jezgru kao klasu ekvivalentnih monomorfizama, svaki od kojih zadovoljava univerzalno svojstvo jezgre. Takva jezgra je dakle klasa monomorfizama, koja može biti prazna (ako ne postoji). Tada je precizno pisati $k\in ker f$, a uobičajena notacija $k=ker f$ je neprecizna “skraćenica” istog izraza. Slično gledamo kojezgru kao klasu ekvivalencije (s obzirom na postkompoziciju s izomorfizmima) epimorfizama; dualno podobjektu tu klasu gledamo kao kvocijentni objekt.

Propozicija. U kategoriji s nulobjektom,

(i) ako je $m$ monomorfizam i $m\circ f$ definirano, tada je $Ker(m\circ f) = Ker f$;

(ii) dualno, ako je $e$ epimorfizam, onda je $Coker(f\circ e)=Coker f$

Dokaz (i). $m f ker(m f) = 0 = m 0$, pa kako je $m$ mono, to $f ker(m f)= 0$. Dakle $ker(m f)$ ujednačuje $f$ i $0$. Moramo pokazati da je univerzalni konus, tj. terminalni među svim morfizmima koji ujednačuju $f$ i $0$. Dakle, neka je $h$ takav morfizam, tj. $m f h = 0 = m 0$. Kako je $m$ mono, slijedi $f h = 0$. ZAVRŠI

Propozicija. Ako je $f:M\to N$ ujednačitelj nekog para $g_1,h_1$ u kategoriji s istiscima (pushouts), onda je ono ujednačitelj svog “kojezgrinog para” tj. para morfizama $g,h:N\to P$ takvih da je

$$\array{ M &\stackrel{f}\to& N \\ {}^{f}\downarrow && \downarrow^g \\ N &\stackrel{h}{\to}& P }$$

kokartezijev tj. istisak (pushout). Dualno je svako kojezgro zapravo ujednačitelj svoj jezgrinog para, tj. para morfizama $g',h':R\to M$ koji čine $(R,g',h')$ povlakom (pullback) od $f$ uzduž $f$ (vidi kernel pair).

Dokaz. Kokartezijev kvadrat je svakako komutativan pa vrijedi $g\circ e = h\circ e$. Neka je $k$ proizvoljni morfizam koji ujednačuje $g$ i $h$ , tj. $g\circ k = h\circ k$. Po pretpostavci propozicije, $g_1\circ e = h_1\circ e$, pa, po univerzalnosti istiska, postoji jedinstveni $u$ takav da $u\circ g = g_1$ i $u\circ h = h_1$. Dakle $g_1\circ k = u \circ g\circ k = u\circ h\circ k = h_1\circ k$. Po univerzalnom svojstvu ujednačitelja $e$ od $g_1$ i $h_1$ slijedi da postoji jedinstveni $v$ takav da je $e\circ v = k$. Kako smo to pokazali za svak $k$ koji ujednačuje $g$ i $h$, to je $e$ ujednačitelj od $g$ i $h$ kako je traženo.

Predabelove kategorije

Predabelova kategorija (ili, prema Grothendieckovom Tohoku, (AB1)-kategorija) je aditivna kategorija u kojoj svaki morfizam ima jezgru i kojezgru. Kako u predaditivnoj kategoriji postoji nulobjekt, jezgru možemo definirati kao na početku lekcije gore. S druge strane, u $Ab$-kategorijama postoji alternativna definicija jezgre i kojezgre, koja je u svakoj predaditivnoj kategoriji $\mathcal{A}$ ekvivalentna gornjoj definiciji. Naime, za $f:x\to y$, najprije se definira kontravarijantni funktor $ker f: \mathcal{A}^{op}\to Ab$ kao podfunktor reprezentabilnog funktora $h_x = Hom_{\mathcal{A}}(-,x)$ koji je na objektima zadan s

$$(ker f)(z) = ker(h_x(z)\stackrel{g\mapsto g\circ f}\rightarrow h_y(z)) \subset h_x(z)$$

Objekt jezgre $Ker f$ se definira kao objekt koji reprezentira funktor $ker f$, ako postoji. Čitatelj bi za vježbu trebao pokazati da ako $Ker f$ u pred-aditivnoj kategoriji postoji, tada je $Ker f$ vrh ujednačitelja oblika

gdje smo pripadni morfizam također označili s $ker f$. Dualno, definiramo funktor $coker f$ kao $(ker f^{op})^{op}$ i objekt kojezgre $Coker f\mathcal{A}^{op} \to Ab$ kao objekt koji ga reprezentira, ako takav objekt postoji.

Naivna definicija funktora kojezgre kao

$$coker(h_x(z)\stackrel{g\mapsto g\circ f}\rightarrow h_y(z)) \subset h_y(z)$$

nije dobra. Naime, već u slučaju kategorije Abelovih grupa se ne podudara s običnom kojezgrom, tj. $y/Im(f)$ odnosno s koujednačiteljem od $f$ i $0$. Razlog da se definicija za $Ker f$ ponaša dobro, a definicija za $Coker f$ ne ponaša je da je $ker f$ vrsta limesa, $coker f$ vrsta kolimesa, a Yonedino ulaganje komutira s limesima (lijeva egzaktnost), a ne mora komutirati s kolimesima.

Niz od dva morfizma $\stackrel{a}\longrightarrow\stackrel{b}\longrightarrow$ u aditivnoj kategoriji ćemo zvati kratki egzaktni niz ako je $b\in coker a$ i $a\in ker b$.

Abelove kategorije

Predabelova kategorija $\mathcal{A}$ je Abelova (ili, prema Grothendieckovom Tohoku, (AB2)-kategorija) ako je za svaki morfizam $f:M\to N$ kanonski morfizam $Coker(ker f)\to Ker(coker f)$ (dobiven po svojstvima univerzalnosti) iz kojezgre $Coker(ker f)$ jezgre $ker f : Ker f\to M$ u jezgru $Ker(coker f)$ kojezgre $coker f: N\to Coker f$ izomorfizam.

U dijagramatskom prikazu možemo dakle reći da je Abelova kategorija upravo takva aditivna kategorija u kojoj za svaki morfizam $f:M\to N$ postoji niz morfizama

$$Ker f\stackrel{ker f}\longrightarrow M\stackrel{i}\longrightarrow I \stackrel{j}\longrightarrow N\stackrel{coker f}\longrightarrow Coker f$$

u kojem je $j\circ i = f$, $i:M\to I$ je kojezgro od $ker f$ i $j:I\to N$ je jezgro od $coker f$. Katkad se govori o kanonskoj analizi morfizma $f$ u Abelovoj kategoriji.

U predabelovoj kategoriji imamo lijevi i desni dio tog niza, naime $Ker f\stackrel{ker f}\longrightarrow M\stackrel{i}\longrightarrow I$ i $J\stackrel{j}\longrightarrow N\stackrel{coker f}\longrightarrow Coker f$ te, po univerzalnim svojstvima, i morfizam $l:I\to J$ takav da je $f = j\circ l\circ i$; tada slijedi da $Ker l = Coker l = 0$, tj. $l$ je i epimorfizam i monomorfizam. Međutim proizvoljna predabelova kategorija nije nužno balansirana, tj. epimorfizam koji je ujedno monomorfizam nije nužno izomorfizam (tj. nema nužno inverz). Predabelova kategorija je abelova onda i samo onda ako je balansirana, što implicira ovdje da je $l$ izomorfizam.

Notacija $I$ u kanonskoj analizi morfizma sugerira engleski “image”. Sjetimo se, naime, da je kod vektorskih prostora kojezgra $N/Im f$, ili ekvivalentno $Im f\cong N/Coker f\cong Ker(coker f)$. Slično je koslika $Coim f = Coker(ker f)$, pa je uvjet abelovosti zapravo uvjet da je kanonski morfizam iz koslike u sliku preslikavanja izomorfizam. Tako ćemo u predabelovoj kategoriji definirati $Im f$ kao $Ker(coker f)$ i $Coim f$ kao $Coker(ker f)$. U gornjem razlaganju $coker f\circ j\circ i\circ ker f$, $j= coim f$ i $i = im f$ su pripadni morfizmi slike i koslike.
Slika ima univerzalno svojstvo slike tj. $f$ se razlaže u kompoziciju $M\stackrel{e}\longrightarrow Im f\stackrel{m}\hookrightarrow N$ gdje je $m$ monomorfizam, pri čemu je taj monomorfizam maksimalan, tj. svako drugo takvo razlaganje $f = m'\circ e'$ u kojem je $m':I'\hookrightarrow N$ mono, postoji jedinstveni monomorfizam $k:Im f\to I'$ takav da je $m'\circ k = m$. Dualno, univerzalno svojstvo koslike kaže da se $f$ razlaže u kompoziciju $M\stackrel{\tilde{e}}\longrightarrow Im f\stackrel{\tilde{m}}\longrightarrow N$, gdje je $e$ epimorfizam koji je maksimalan u smislu da za svako drugo takvo razlaganje $f = \tilde{m}'\circ \tilde{e}'$ u kojem je $\tilde{e}':M\hookrightarrow J'$ epi, postoji jedinstveni morfizam $\tilde{k}$ takav da $\tilde{k}\circ \tilde{e}' = \tilde{e}$. Usporedi image.

Propozicija. Kanonska analiza morfizma $f:M\to B$ u aditivnoj kategoriji $\mathcal{A}$, ako postoji, ekvivalentna je slijedećoj analizi morfizma:

$$K\stackrel{k}\longrightarrow M\stackrel{i}\longrightarrow I \stackrel{j}\longrightarrow N\stackrel{c}\longrightarrow C$$

u kojem je $j\circ i = f$, $i\in coker k$, $k\in ker i$, $j\in ker c$, $c\in coker j$.

Propozicija. Predabelova kategorija je Abelova akko je svaki njen monomorfizam jezgro nekog morfizma i svaki njen epimorfizam kojezgro nekog morfizma. (Obrat vrijedi uvijek: jezgro je ujednačitelj, a svaki svaki ujednačitelj je mono.)

Propozicija. Predabelova kategorija je Abelova akko vrijede ova dva aksioma

(i) za svaki mono $m$ i svaki epi $e$, vrijedi $m\in ker e$ onda i samo onda kada $e\in ker m$

(ii) svaki morfizam $f$ se može napisati kao kompozicija $f=k\circ s$ gdje je $k$ mono, a $s$ epi

Primjeri Abelovih kategorija

Primjeri Abelovih kategorija: kategorija abelovih grupa, kategorija modula nad fiksnim prstenom (asocijativnim, ne nužno komutativnim, može čak i bez jedinice), kategorija konačno dimenzionalnih vektorskih prostora nad tijelom, kategorija svih vektorskih prostora nad fiksnim tijelom, kategorija $Qcoh_X$ kvazikoherentnih snopova $\mathcal{O}$-modula nad algebarskom shemom $(X,\mathcal{O}_X)$, kategorija ${}_{\mathcal{R}}Mod$ predsnopova (snopova) $\mathcal{R}$-modula gdje je $\mathcal{R}$ predsnop (snop) (asocijativnih unitalnih) prstena na topološkom prostoru.

Neprimjer: kategorija konačno-dimenzionalnih realnih vektorskih svežnjeva $Vec_X$ na topološkom prostoru $X$ je aditivna kategorija, no tipično nije Abelova kategorija jer jezgre i kojezgre ne moraju nužno postojati (problem je da je dimenzija jezgre i kojezgre vlakno po vlakno samo poluneprekidna funkcija). Analogni pojam vektorskih svežnjeva se može gledati i na shemi $(X,\mathcal{O}_X)$ kao kategorija lokalno slobodnih snopova $\mathcal{O}_X$-modula konstantnog konačnog ranga. Tada najmanja podkategorija kategorije kvazikoherentnih snopova $\mathcal{O}_X$ modula koja sadrži lokalno slobodne $\mathcal{O}_X$-modula konstantnog konačnog ranga je tzv. kategorija koherentnih snopova $\mathcal{O}_X$-modula $Coh_X$.

Detaljnije o Abelovim kategorijama snopova će biti u (još nenapisanoj) lekciji hom12 abelove kategorije snopova?. O egzaktnim nizovima u abelovim kategorijama napisat ću lekciju hom12 homološka algebra u abelovim kategorijama?.