Zoran Skoda
homotopija lekcija2

Ova lekcija je samo djelomično napisana, a neke slike neće biti nacrtane ovdje nego samo na predavanju.

Osnovni pojmovi koji će biti obrađeni su konus i cilindar preslikavanja, retrakcija, fibracija (raslojenje), kofibracija, kokonus i kocilindar, Hurewiczeva koneksija.

Neka su i:AXi:A\to X i f:AYf:A\to Y morfizmi u proizvoljnoj kategoriji CC. Istisak ili amalgamirana suma (engl. pushout) je objekt X AY=X i fYX\cup_A Y = X_i \cup_f Y zajedno s preslikavanjima i *(f):XX AYi_* (f):X\to X\cup_A Y, f *(i):YX AYf_*(i):Y\to X\cup_A Y tako da za svaki objekt ZZ i svaki h f:XZh_f:X\to Z, h i:YZh_i:Y\to Z, postoji jedinstveno preslikavanje k:X AYZk:X\cup_A Y\to Z tako da je ki *(f)=h fk\circ i_*(f) = h_f i kf *(i)=h ik\circ f_*(i) = h_i.

A i X f i *(f) Y f *(i) X AY\array{ A &\stackrel{i}\to & X\\ \downarrow f&&\downarrow i_*(f)\\ Y&\stackrel{f_*(i)}\to& X\coprod_A Y }

Kao i sa svakim univerzalnim objektom, ako postoji, istisak je jedinstven do na izomorfizam. U nekim klasičnim situacijama, napose u algebri, upotrebljava se i stariji termin, amalgamirana suma. Ako je AXA\subset X i kategorija TopTop, tada kažemo i priljepljeni prostor. Operacija priljepljivanja važna je u gradnji teorije CW-prostora. Kad je i:AXi:A\to X inkluzija koja se podrazumijeva, tada je uobičajeno pisati X fYX\cup_f Y.

Neka je XfYX\stackrel{f}\to Y preslikavanje. Tada možemo XX identificirati s zatvorenim potprostorom X×{0}X×IX\times \{0\}\subset X\times I, te ff identificarati s preslikavanjem f:X×{1}Yf': X\times\{1\}\to Y, (x,1)f(x)(x,1)\mapsto f(x). Prostor X×I fYX\times I \cup_{f'} Y naziva se cilindar preslikavanja YY (engl. mapping cylinder) Cyl(f)\mathrm{Cyl}(f). Cilindar preslikavanja id X:XX\id_X:X\to X homeomorfan je s X×IX\times I, kojeg nazivamo i cilindar prostora XX. Nekad su konvencije takve da je f:X×{0}Yf':X\times\{0\}\to Y, u tom slučaju se cilindar u kojem je identifikacija kao prije za t=1t=1 zove okrenuti ili inverzni cilindar.

Univerzalno svojstvo istiska za cilindar kaže da za svaki prostor ZZ i preslikavavanja g 1:X×IZg_1: X\times I\to Z, g 2:YZg_2:Y\to Z takve da g 1(x,1)=g 2(f(x))g_1(x,1)=g_2(f(x)) za sve xXx\in X, postoji jedinstveno preslikavanje k:Cyl(f)Zk:Cyl(f)\to Z, takvo da je kompozicija X×ICyl(f)kZX\times I\rightarrow Cyl(f)\stackrel{k}\to Z jednaka g 1g_1 a kompozicija YCyl(f)kZY\to Cyl(f)\stackrel{k}\to Z jednaka g 2g_2.

Važan primjer je kanonsko preslikavanje Cyl(f)Y×ICyl(f)\to Y\times I inducirano s g 1(a,t)=(f(a),t)g_1(a,t) = (f(a),t) i g 2(y)=(y,1)g_2(y)=(y,1). Ukoliko je f:XYf:X\hookrightarrow Y ulaganje potprostora XX u prostor YY, tada se iz definicije cilindra lako provjeri da je preslikavanje Cyl(f)Y×ICyl(f)\to Y\times I injektivno i da je slika tog preslikavanja Y×{1}X×IY\times \{1\} \cup X\times I.

Propozicija. Ukoliko je također XYX\subset Y zatvoren potprostor, tada je prirodno preslikavanje Cyl(f)Y×ICyl(f)\to Y\times I homeomorfizama na sliku X×IY×{1}X\times I\cup Y\times \{1\}.

Dokaz. Po konstrukciji istiska Cyl(f)Cyl(f) (ili, ekvivalentno, kvocijentne topologije za kvocijentno preslikavanje X×IYCyl(f)X\times I\cup Y\to Cyl(f)), podskup u CCyl(f)C\subset Cyl(f) je zatvoren onda i samo onda ako su njegove praslike u X×IX\times I i u YY×{1}Y\cong Y\times \{1\} zatvorene. Neka je CC' slika od CC po preslikavanju Cyl(f)Y×ICyl(f)\to Y\times I. U slučaju kad je f:XYf:X\subset Y ulaganje, topologija na CX×IC'\cap X\times I se podudara s topologijom na praslici od CC u X×IX\times I, i analogno za CY×{1}C'\cap Y\times \{1\} kao praslici CC u YY. Y×{1}Y\times \{1\} je zatvoren u Y×IY\times I i ako je XX zatvoren onda su X×IX\times I zatvoren u Y×IY\times I, dakle CC' je zatvoren onda i samo onda ako je CC zatvoren.

Propozicija. Prirodno ulaganje j:YCyl(f)j:Y\to \mathrm{Cyl}(f) je homotopska ekvivalencija.

To prirodno ulaganje kompozicija je ulaganja YX×IYY\hookrightarrow X\times I\coprod Y i kvocijentnog preslikavanja X×IYX×I fYX\times I\coprod Y\to X\times I \cup_f Y.

Dokaz. jj je homotopska ekvivalencija jer možemo direktno konstruirati homotopski inverz. Homotopski inverz je dan s f˜:[x,t]f(x)\tilde{f}:[x,t]\mapsto f(x), gdje je [x,t][x,t] klasa elementa (x,t)X×I(x,t)\in X\times I. Očito je svaki element u Cyl(f)\mathrm{Cyl}(f) takvog oblika te f˜j=id Y\tilde{f}\circ j = \id_Y. S druge strane (jf˜)[x,t]=[f(x)](j\circ\tilde{f})[x,t] = [f(x)]. Homotopija H:Cyl(f)×IYH:\mathrm{Cyl}(f)\times I\to Y dana je s

H([x,t],τ)=[x,t+τ(1t)]. H([x,t],\tau) = [x,t+\tau(1-t)].

Lako se vidi da je H(,0)=id Cyl(f)H(-,0) = \id_{\mathrm{Cyl}(f)}, H(,1)=[f()]H(-,1)=[f(-)].

Konus preslikavanja ff je kvocijent cilindra Cyl(f)\mathrm{Cyl}(f) modulo relaciju ekvivalencije koja steže X×{0}X\times\{0\} u točku, tj. koja identificira (x,0)(x,0)(x,0)\sim(x',0), za svaki xXx\in X. Konus od ff označavamo s C(f)C(f) ili Cone(f)\mathrm{Cone}(f), a s 00 klasu ekvivalencije točke (x,0)(x,0).

Topološki prostor XX je kontraktibilan ako postoji točka cXc\in X tako da su preslikavanja const c:xc\mathrm{const}_c:x\mapsto c i id X\id_X homotopni.

Propozicija. Konus proizvoljnog preslikavanja Cone(f)\mathrm{Cone}(f) je kontraktibilan.

Dokaz. Homotopija koja povezuje id\id s preslikavanjem x0x\mapsto 0 je dana s

H([x,t],τ)=[x,tτ]. H([x,t],\tau) = [x,t\tau].

Neka je p:EBp:E\to B preslikavanje. Kocilindar preslikavanja pp (engl. mapping cylinder) je dan s

Cocyl(p):=B I× ev 0E:={(f,e)|f(0)=p(e)}B I×E\mathrm{Cocyl}(p):=B^I \times_{\mathrm{ev}_0} E := \{(f,e)\,|\,f(0)=p(e)\}\subset B^I\times E

s induciranom topologijom od B I×EB^I\times E. Univerzalni kvadrat u Top\Top je dakle dan s

Cocyl(p) E p B I ev 0 B.\array{ \mathrm{Cocyl}(p)& \to &E\\ \downarrow &&\downarrow p\\ B^I&\stackrel{\mathrm{ev}_0}\to&B.}

Propozicija. Prirodna projekcija Cocyl(p)E\mathrm{Cocyl}(p)\to E je homotopska ekvivalencija.

Dokaz. To prirodno preslikavanje je naprosto restrikcija projekcije P:(f,e)eP:(f,e)\mapsto e na kocilindar. Homotopski inverz dan je s P:e(const p(e),e)Cocyl(p)P':e\mapsto (\mathrm{const}_{p(e)},e)\in\mathrm{Cocyl}(p), gdje je const xB I\mathrm{const}_x\in B^I dano s ItxI\ni t\mapsto x, za fiksni xBx\in B. Jasno da je PP=id EP\circ P' = \id_E. Obratno PP=(f,e)(const p(e),e)P'\circ P=(f,e)\mapsto (\mathrm{const}_{p(e)},e) je povezan s id Cocyl(p)\id_{\mathrm{Cocyl}(p)} homotopijom

H((f,e),τ)=(t(f(tτ),e). H((f,e),\tau) = (t\mapsto(f(t\tau),e).

Kako je f(0)=p(e)f(0)= p(e) to je za τ=0\tau=0 zaista H((f,e),τ)=(const p(e),e)H((f,e),\tau)=(\mathrm{const}_{p(e)},e).

Neka je CC\CC proizvoljna kategorija i g:xyg:x\to y morfizam u CC\CC. Kažemo da je morfizam gg epimorfizam ako za svaka dva preslikavanja h 1,h 2:yzh_1,h_2:y\to z ako je h 1g=h 2gh_1\circ g= h_2\circ g tada je i h 1=h 2h_1=h_2. Kažemo da je gg monomorfizam ako za svaka dva preslikavanja f 1,f 2:wxf_1,f_2:w\to x takve da gf 1=gf 2g\circ f_1 = g\circ f_2, vrijedi f 1=f 2f_1=f_2.

Dokaži da je u kategoriji Set\mathrm{Set} skupova monomorfizam je jedno te isto što i injektivno preslikavanje, a epimorfizam je jedno te isto što i surjektivno preslikavanje.

Svaki izomorfizam je i epimorfizam i monomorfizam. Kažemo da je kategorija balansirana ako svaki epimorfizam koji je ujedno i monomorfizam, je zapravo izomorfizam.

U kategoriji Ring\mathrm{Ring} prstena i homomorfizama prstena, postoje preslikavanja koja su epimorfizmi, a da nisu surjekcije pripadnih skupova.

U kategoriji Set\Set skupova, svako preslikavanje f:XYf:X\to Y se može napisati kao kompozicija hgh\circ g gdje je g:XZg:X\to Z epimorfizam, a h:ZYh:Z\to Y monomorfizam. Jedan mogu'ci izbor za ZZ je Im(f)Y\mathrm{Im}(f)\subset Y i f(x)=g(x)f(x)=g(x) za sve xx, a hh je prirodna inkluzija. Ako je Z,g,hZ',g',h' bilo koji drugi izbor za Z,g,hZ,g,h, tada postoji bijekcija, tj. izomorfizam skupova j:ZZj:Z\to Z' tako da je jg=gj\circ g = g', hj=hh'\circ j = h. Taj rastav (dekompoziciju) morfizma ff na epimorfizam i monomorfizam zovemo epi-mono rastav.

U teoriji homotopija, postoji slična dekompozicija topoloških prostora. Svako neprekidno preslikavanje kompozicija je tzv. fibracije i tzv. kofibracije. No jedinstvenost tog rastavljanja je (u izvjesnom smislu) samo do na homotopiju.

Definicija. Kažemo da neprekidno preslikavanje i:AXi:A\to X zadovoljava svojstvo proširenja homotopije u odnosu na prostor YY, ako za svaka dva preslikavanja f:AYf:A\to Y, f˜:XY\tilde{f}:X\to Y takva da f˜i=f\tilde{f}\circ i = f, i proizvoljnu homotopiju F:A×IYF:A\times I\to Y takvi da F 0=fF_0 = f postoji homotopija F˜:X×IY\tilde{F}:X\times I\to Y takva da F˜(i×id I)=F\tilde{F}\circ(i\times\id_I)=F.

A i X f f˜ σ 0 Y σ 0 F F˜ A×I i×id X×I\array{ A & &\stackrel{i}\to && X\\ &\searrow^f&&\swarrow^{\tilde{f}}&\\ {}^{\sigma_0}\downarrow & &Y&& \downarrow^{\sigma_0}\\ &\nearrow{F}&&\nwarrow{\exists\tilde{F}}&\\ A\times I &&\stackrel{i\times id}\to&&X\times I }

Taj dijagram može se napisati i u terminima adjungiranih preslikavanja (po eksponencijalnom preslikavanju), vidi link homotopy extension property.

Definicija. Neprekidno preslikavanje i:AXi:A\to X je kofibracija ako zadovoljava svojstvo proširenja homotopije u odnosu na sve topološke prostore YY.

Osobit značaj ima preslikavanje k:Cyl(i)X×Ik:Cyl(i)\to X\times I dano s k[a,t]=(i(a),t)k[a,t]=(i(a),t), k[x]=(x,1)k[x]=(x,1) (da to bude jasnije vidi gore univerzalno svojstvo istiska za slučaj cilindra).

Propozicija. Preslikavanje i:AXi:A\hookrightarrow X je kofibracija onda i samo onda ako je preslikavanje k:Cyl(i)X×Ik:Cyl(i)\to X\times I retraktabilno, tj. postoji rektrakcija r:X×ICyl(i)r:X\times I\to Cyl(i) s rk=idr\circ k = id.

Dokaz. i:AXi:A\to X je kofibracija ako vrijedi svojstvo proširenja homotopije za svaki prostor YY. Dakle neka je F:A×IYF:A\times I\to Y neka homotopija, f˜:XY\tilde{f}:X\to Y proširenje preslikavanja F 0F_0, tada oni zajedno po univerzalnom svojstvu istiska induciraju jedinstveno neprekidno preslikavanje g:Cyl(i)Yg:Cyl(i)\to Y za koje vrijedi g[a,t]=F(a,t)g[a,t]=F(a,t) i g(x)=f˜(c)g(x) = \tilde{f}(c). Ako je r:X×ICyl(i)r:X\times I\to Cyl(i) retrakcija, tada je F˜=gr:X×IY\tilde{F}=g\circ r:X\times I\to Y homotopija s početkom F˜ 0=f˜\tilde{F}_0 = \tilde{f} (jer F˜k=grk=g\tilde{F}\circ k = g\circ r\circ k = g i f˜=g| X\tilde{f}=g|_X) i F˜\tilde{F} proširuje FF, tj. F˜(i×id)=F\tilde{F}\circ(i\times id)=F. Zaista, F˜(i(a),t)=(F˜k)[a,t]=g[a,t]=F(a,t)\tilde{F}(i(a),t) = (\tilde{F}\circ k)[a,t]=g[a,t] = F(a,t) za svaki (a,t)A×I(a,t)\in A\times I.

Obratni smjer: pretpostavimo da je ii kofibracija. Promotrimo kouniverzalni kvadrat koji odgovara definiciji cilindra: koristimo prirodno preslikavanje (σ 0) *(i):A×ICyl(i)(\sigma_0)_*(i):A\times I\to Cyl(i) kao homotopiju s početkom koji se podudara s restrikcijom na AA prirodnog prelikavanja i *(σ 0):XCyl(i)i_*(\sigma_0):X\to Cyl(i). Po svojstvu proširenja homotopije postoji dakle homotopija r:X×IYr:X\times I\to Y s početkom i *(σ 0):XCyl(i)i_*(\sigma_0):X\to Cyl(i) i koja proširuje (σ 0) *(i):A×ICyl(i)(\sigma_0)_*(i):A\times I\to Cyl(i). To je retrakcija jer je po univerzalnom svojstvu istiska r(x,0)=xr(x,0)=x i r(i(a),t)=[a,t]r(i(a),t)=[a,t] za sve aAa\in A i xXx\in X.

Teorem. Svaka kofibracija je injektivno preslikavanje, a ako je i(A)Xi(A)\subset X zatvoren tada je ii homeomorfizam na sliku.

Taj teorem smo dokazali na satu, dokaz će ovdje biti dodat naknadno.

Lemma. Kompozicija jj definirana XX×{0}X×IYCyl(f)X\cong X\times\{0\}\hookrightarrow X\times I\coprod Y\to \mathrm{Cyl}(f) je homeomorfizam na sliku, a ta slika je zatvorena. Nadalje, jj je kofibracija.

Sjetimo se da smo definirali homotopske ekvivalencije i homotopski ekvivalentne prostore u lekciji1. Tome treba dodati definiciju homotopske ekvivalencije preslikavanja koju treba razlikovati od homotopije preslikavanja. Homotopija preslikavanja je relacija ekvivalencije na preslikavanjima Top(X,Y)Top(X,Y) za fiksne XX, YY. Homotopska ekvivalencija preslikavanja je međutim dana za preslikavanja s raznom domenom i kodomenom. Preslikavanja f:XYf:X\to Y i f:XYf':X'\to Y' su homotopski ekvivalentna ako postoje homotopske ekvivalencije g:XXg:X\to X' i g:YYg':Y\to Y' tako da fg=gff'\circ g = g'\circ f. Pokažite da je to relacija ekvivalencije na klasi svih neprekidnih preslikavanja u TopTop.

Teorem. Svako neprekidno preslikavanje f:XYf:X\to Y homotopski je ekvivalentno je kofibraciji. Naime možemo rastaviti ff kao kompoziciju f=rif = r\circ i gdje je i:XCyl(f)i:X\to Cyl(f) prirodna inkluzija (homeomorfizam na sliku) koja je kofibracija, a r:YCyl(f)r:Y\to Cyl(f) je homotopska ekvivalencija.

Definicija. Kažemo da neprekidno preslikavanje p:YBp:Y\to B zadovoljava svojstvo podizanja homotopije ili da je pp fibracija ako za svako preslikavanje f:XBf:X\to B za koje postoji podizanje f˜:XY\tilde{f}:X\to Y, tj. pf˜=fp\circ\tilde{f}=f, i za svaku homotopiju F:X×IBF:X\times I\to B takvu da je F 0=fF_0 = f postoji homotopija F˜:X×IY\tilde{F}:X\times I\to Y takva da F˜ 0=f˜\tilde{F}_0=\tilde{f} i (pid I)F˜=F(p\circ\id_I)\circ\tilde{F}=F.

Teorem. Svako preslikavanje f:XYf:X\to Y je homotopski je ekvivalentno fibraciji p:Cocyl(f)Yp:Cocyl(f)\to Y. Naime f=pcf = p\circ c gdje je c:XCocyl(f)c:X\to Cocyl(f) kanonska inkluzija dana s c(x):(const x,x)c(x) :(const_x,x) gdje je const x:txconst_x:t\mapsto x; ta kanonska inkluzija je homotopska ekvivalencija.

Pričali smo i o karakterizaciji fibracija preko egzistencije Hurewiczeve koneksije. Tako je objašnjeno kako se svojstvo podizanja homotopije za projekciju p:EBp:E\to B za sve prostore XX, može zamijeniti jednim “univerzalnim” problemom egzistencije prereza koji ne zavisi o XX. Vidi link Hurewiczeva koneksija.

Slijedeća lekcija je homotopija lekcija3.

Last revised on January 18, 2016 at 10:58:44. See the history of this page for a list of all contributions to it.