Zoran Skoda homotopija lekcija2

Ova lekcija je samo djelomično napisana, a neke slike neće biti nacrtane ovdje nego samo na predavanju.

Osnovni pojmovi koji će biti obrađeni su konus i cilindar preslikavanja, retrakcija, fibracija (raslojenje), kofibracija, kokonus i kocilindar, Hurewiczeva koneksija.

Neka su $i:A\to X$ i $f:A\to Y$ morfizmi u proizvoljnoj kategoriji $C$. Istisak ili amalgamirana suma (engl. pushout) je objekt $X\cup_A Y = X_i \cup_f Y$ zajedno s preslikavanjima $i_* (f):X\to X\cup_A Y$, $f_*(i):Y\to X\cup_A Y$ tako da za svaki objekt $Z$ i svaki $h_f:X\to Z$, $h_i:Y\to Z$, postoji jedinstveno preslikavanje $k:X\cup_A Y\to Z$ tako da je $k\circ i_*(f) = h_f$ i $k\circ f_*(i) = h_i$.

$$\array{ A &\stackrel{i}\to & X\\ \downarrow f&&\downarrow i_*(f)\\ Y&\stackrel{f_*(i)}\to& X\coprod_A Y }$$

Kao i sa svakim univerzalnim objektom, ako postoji, istisak je jedinstven do na izomorfizam. U nekim klasičnim situacijama, napose u algebri, upotrebljava se i stariji termin, amalgamirana suma. Ako je $A\subset X$ i kategorija $Top$, tada kažemo i priljepljeni prostor. Operacija priljepljivanja važna je u gradnji teorije CW-prostora. Kad je $i:A\to X$ inkluzija koja se podrazumijeva, tada je uobičajeno pisati $X\cup_f Y$.

Neka je $X\stackrel{f}\to Y$ preslikavanje. Tada možemo $X$ identificirati s zatvorenim potprostorom $X\times \{0\}\subset X\times I$, te $f$ identificarati s preslikavanjem $f': X\times\{1\}\to Y$, $(x,1)\mapsto f(x)$. Prostor $X\times I \cup_{f'} Y$ naziva se cilindar preslikavanja $Y$ (engl. mapping cylinder) $\mathrm{Cyl}(f)$. Cilindar preslikavanja $\id_X:X\to X$ homeomorfan je s $X\times I$, kojeg nazivamo i cilindar prostora $X$. Nekad su konvencije takve da je $f':X\times\{0\}\to Y$, u tom slučaju se cilindar u kojem je identifikacija kao prije za $t=1$ zove okrenuti ili inverzni cilindar.

Univerzalno svojstvo istiska za cilindar kaže da za svaki prostor $Z$ i preslikavavanja $g_1: X\times I\to Z$, $g_2:Y\to Z$ takve da $g_1(x,1)=g_2(f(x))$ za sve $x\in X$, postoji jedinstveno preslikavanje $k:Cyl(f)\to Z$, takvo da je kompozicija $X\times I\rightarrow Cyl(f)\stackrel{k}\to Z$ jednaka $g_1$ a kompozicija $Y\to Cyl(f)\stackrel{k}\to Z$ jednaka $g_2$.

Važan primjer je kanonsko preslikavanje $Cyl(f)\to Y\times I$ inducirano s $g_1(a,t) = (f(a),t)$ i $g_2(y)=(y,1)$. Ukoliko je $f:X\hookrightarrow Y$ ulaganje potprostora $X$ u prostor $Y$, tada se iz definicije cilindra lako provjeri da je preslikavanje $Cyl(f)\to Y\times I$ injektivno i da je slika tog preslikavanja $Y\times \{1\} \cup X\times I$.

Propozicija. Ukoliko je također $X\subset Y$ zatvoren potprostor, tada je prirodno preslikavanje $Cyl(f)\to Y\times I$ homeomorfizama na sliku $X\times I\cup Y\times \{1\}$.

Dokaz. Po konstrukciji istiska $Cyl(f)$ (ili, ekvivalentno, kvocijentne topologije za kvocijentno preslikavanje $X\times I\cup Y\to Cyl(f)$), podskup u $C\subset Cyl(f)$ je zatvoren onda i samo onda ako su njegove praslike u $X\times I$ i u $Y\cong Y\times \{1\}$ zatvorene. Neka je $C'$ slika od $C$ po preslikavanju $Cyl(f)\to Y\times I$. U slučaju kad je $f:X\subset Y$ ulaganje, topologija na $C'\cap X\times I$ se podudara s topologijom na praslici od $C$ u $X\times I$, i analogno za $C'\cap Y\times \{1\}$ kao praslici $C$ u $Y$. $Y\times \{1\}$ je zatvoren u $Y\times I$ i ako je $X$ zatvoren onda su $X\times I$ zatvoren u $Y\times I$, dakle $C'$ je zatvoren onda i samo onda ako je $C$ zatvoren.

Propozicija. Prirodno ulaganje $j:Y\to \mathrm{Cyl}(f)$ je homotopska ekvivalencija.

To prirodno ulaganje kompozicija je ulaganja $Y\hookrightarrow X\times I\coprod Y$ i kvocijentnog preslikavanja $X\times I\coprod Y\to X\times I \cup_f Y$.

Dokaz. $j$ je homotopska ekvivalencija jer možemo direktno konstruirati homotopski inverz. Homotopski inverz je dan s $\tilde{f}:[x,t]\mapsto f(x)$, gdje je $[x,t]$ klasa elementa $(x,t)\in X\times I$. Očito je svaki element u $\mathrm{Cyl}(f)$ takvog oblika te $\tilde{f}\circ j = \id_Y$. S druge strane $(j\circ\tilde{f})[x,t] = [f(x)]$. Homotopija $H:\mathrm{Cyl}(f)\times I\to Y$ dana je s

$$H([x,t],\tau) = [x,t+\tau(1-t)].$$

Lako se vidi da je $H(-,0) = \id_{\mathrm{Cyl}(f)}$, $H(-,1)=[f(-)]$.

Konus preslikavanja $f$ je kvocijent cilindra $\mathrm{Cyl}(f)$ modulo relaciju ekvivalencije koja steže $X\times\{0\}$ u točku, tj. koja identificira $(x,0)\sim(x',0)$, za svaki $x\in X$. Konus od $f$ označavamo s $C(f)$ ili $\mathrm{Cone}(f)$, a s $0$ klasu ekvivalencije točke $(x,0)$.

Topološki prostor $X$ je kontraktibilan ako postoji točka $c\in X$ tako da su preslikavanja $\mathrm{const}_c:x\mapsto c$ i $\id_X$ homotopni.

Propozicija. Konus proizvoljnog preslikavanja $\mathrm{Cone}(f)$ je kontraktibilan.

Dokaz. Homotopija koja povezuje $\id$ s preslikavanjem $x\mapsto 0$ je dana s

$$H([x,t],\tau) = [x,t\tau].$$

Neka je $p:E\to B$ preslikavanje. Kocilindar preslikavanja $p$ (engl. mapping cylinder) je dan s

$$\mathrm{Cocyl}(p):=B^I \times_{\mathrm{ev}_0} E := \{(f,e)\,|\,f(0)=p(e)\}\subset B^I\times E$$

s induciranom topologijom od $B^I\times E$. Univerzalni kvadrat u $\Top$ je dakle dan s

$$\array{ \mathrm{Cocyl}(p)& \to &E\\ \downarrow &&\downarrow p\\ B^I&\stackrel{\mathrm{ev}_0}\to&B.}$$

Propozicija. Prirodna projekcija $\mathrm{Cocyl}(p)\to E$ je homotopska ekvivalencija.

Dokaz. To prirodno preslikavanje je naprosto restrikcija projekcije $P:(f,e)\mapsto e$ na kocilindar. Homotopski inverz dan je s $P':e\mapsto (\mathrm{const}_{p(e)},e)\in\mathrm{Cocyl}(p)$, gdje je $\mathrm{const}_x\in B^I$ dano s $I\ni t\mapsto x$, za fiksni $x\in B$. Jasno da je $P\circ P' = \id_E$. Obratno $P'\circ P=(f,e)\mapsto (\mathrm{const}_{p(e)},e)$ je povezan s $\id_{\mathrm{Cocyl}(p)}$ homotopijom

$$H((f,e),\tau) = (t\mapsto(f(t\tau),e).$$

Kako je $f(0)= p(e)$ to je za $\tau=0$ zaista $H((f,e),\tau)=(\mathrm{const}_{p(e)},e)$.

Neka je $\CC$ proizvoljna kategorija i $g:x\to y$ morfizam u $\CC$. Kažemo da je morfizam $g$ epimorfizam ako za svaka dva preslikavanja $h_1,h_2:y\to z$ ako je $h_1\circ g= h_2\circ g$ tada je i $h_1=h_2$. Kažemo da je $g$ monomorfizam ako za svaka dva preslikavanja $f_1,f_2:w\to x$ takve da $g\circ f_1 = g\circ f_2$, vrijedi $f_1=f_2$.

Dokaži da je u kategoriji $\mathrm{Set}$ skupova monomorfizam je jedno te isto što i injektivno preslikavanje, a epimorfizam je jedno te isto što i surjektivno preslikavanje.

Svaki izomorfizam je i epimorfizam i monomorfizam. Kažemo da je kategorija balansirana ako svaki epimorfizam koji je ujedno i monomorfizam, je zapravo izomorfizam.

U kategoriji $\mathrm{Ring}$ prstena i homomorfizama prstena, postoje preslikavanja koja su epimorfizmi, a da nisu surjekcije pripadnih skupova.

U kategoriji $\Set$ skupova, svako preslikavanje $f:X\to Y$ se može napisati kao kompozicija $h\circ g$ gdje je $g:X\to Z$ epimorfizam, a $h:Z\to Y$ monomorfizam. Jedan mogu'ci izbor za $Z$ je $\mathrm{Im}(f)\subset Y$ i $f(x)=g(x)$ za sve $x$, a $h$ je prirodna inkluzija. Ako je $Z',g',h'$ bilo koji drugi izbor za $Z,g,h$, tada postoji bijekcija, tj. izomorfizam skupova $j:Z\to Z'$ tako da je $j\circ g = g'$, $h'\circ j = h$. Taj rastav (dekompoziciju) morfizma $f$ na epimorfizam i monomorfizam zovemo epi-mono rastav.

U teoriji homotopija, postoji slična dekompozicija topoloških prostora. Svako neprekidno preslikavanje kompozicija je tzv. fibracije i tzv. kofibracije. No jedinstvenost tog rastavljanja je (u izvjesnom smislu) samo do na homotopiju.

Definicija. Kažemo da neprekidno preslikavanje $i:A\to X$ zadovoljava svojstvo proširenja homotopije u odnosu na prostor $Y$, ako za svaka dva preslikavanja $f:A\to Y$, $\tilde{f}:X\to Y$ takva da $\tilde{f}\circ i = f$, i proizvoljnu homotopiju $F:A\times I\to Y$ takvi da $F_0 = f$ postoji homotopija $\tilde{F}:X\times I\to Y$ takva da $\tilde{F}\circ(i\times\id_I)=F$.

$$\array{ A & &\stackrel{i}\to && X\\ &\searrow^f&&\swarrow^{\tilde{f}}&\\ {}^{\sigma_0}\downarrow & &Y&& \downarrow^{\sigma_0}\\ &\nearrow{F}&&\nwarrow{\exists\tilde{F}}&\\ A\times I &&\stackrel{i\times id}\to&&X\times I }$$

Taj dijagram može se napisati i u terminima adjungiranih preslikavanja (po eksponencijalnom preslikavanju), vidi link homotopy extension property.

Definicija. Neprekidno preslikavanje $i:A\to X$ je kofibracija ako zadovoljava svojstvo proširenja homotopije u odnosu na sve topološke prostore $Y$.

Osobit značaj ima preslikavanje $k:Cyl(i)\to X\times I$ dano s $k[a,t]=(i(a),t)$, $k[x]=(x,1)$ (da to bude jasnije vidi gore univerzalno svojstvo istiska za slučaj cilindra).

Propozicija. Preslikavanje $i:A\hookrightarrow X$ je kofibracija onda i samo onda ako je preslikavanje $k:Cyl(i)\to X\times I$ retraktabilno, tj. postoji rektrakcija $r:X\times I\to Cyl(i)$ s $r\circ k = id$.

Dokaz. $i:A\to X$ je kofibracija ako vrijedi svojstvo proširenja homotopije za svaki prostor $Y$. Dakle neka je $F:A\times I\to Y$ neka homotopija, $\tilde{f}:X\to Y$ proširenje preslikavanja $F_0$, tada oni zajedno po univerzalnom svojstvu istiska induciraju jedinstveno neprekidno preslikavanje $g:Cyl(i)\to Y$ za koje vrijedi $g[a,t]=F(a,t)$ i $g(x) = \tilde{f}(c)$. Ako je $r:X\times I\to Cyl(i)$ retrakcija, tada je $\tilde{F}=g\circ r:X\times I\to Y$ homotopija s početkom $\tilde{F}_0 = \tilde{f}$ (jer $\tilde{F}\circ k = g\circ r\circ k = g$ i $\tilde{f}=g|_X$) i $\tilde{F}$ proširuje $F$, tj. $\tilde{F}\circ(i\times id)=F$. Zaista, $\tilde{F}(i(a),t) = (\tilde{F}\circ k)[a,t]=g[a,t] = F(a,t)$ za svaki $(a,t)\in A\times I$.

Obratni smjer: pretpostavimo da je $i$ kofibracija. Promotrimo kouniverzalni kvadrat koji odgovara definiciji cilindra: koristimo prirodno preslikavanje $(\sigma_0)_*(i):A\times I\to Cyl(i)$ kao homotopiju s početkom koji se podudara s restrikcijom na $A$ prirodnog prelikavanja $i_*(\sigma_0):X\to Cyl(i)$. Po svojstvu proširenja homotopije postoji dakle homotopija $r:X\times I\to Y$ s početkom $i_*(\sigma_0):X\to Cyl(i)$ i koja proširuje $(\sigma_0)_*(i):A\times I\to Cyl(i)$. To je retrakcija jer je po univerzalnom svojstvu istiska $r(x,0)=x$ i $r(i(a),t)=[a,t]$ za sve $a\in A$ i $x\in X$.

Teorem. Svaka kofibracija je injektivno preslikavanje, a ako je $i(A)\subset X$ zatvoren tada je $i$ homeomorfizam na sliku.

Taj teorem smo dokazali na satu, dokaz će ovdje biti dodat naknadno.

Lemma. Kompozicija $j$ definirana $X\cong X\times\{0\}\hookrightarrow X\times I\coprod Y\to \mathrm{Cyl}(f)$ je homeomorfizam na sliku, a ta slika je zatvorena. Nadalje, $j$ je kofibracija.

Sjetimo se da smo definirali homotopske ekvivalencije i homotopski ekvivalentne prostore u lekciji1. Tome treba dodati definiciju homotopske ekvivalencije preslikavanja koju treba razlikovati od homotopije preslikavanja. Homotopija preslikavanja je relacija ekvivalencije na preslikavanjima $Top(X,Y)$ za fiksne $X$, $Y$. Homotopska ekvivalencija preslikavanja je međutim dana za preslikavanja s raznom domenom i kodomenom. Preslikavanja $f:X\to Y$ i $f':X'\to Y'$ su homotopski ekvivalentna ako postoje homotopske ekvivalencije $g:X\to X'$ i $g':Y\to Y'$ tako da $f'\circ g = g'\circ f$. Pokažite da je to relacija ekvivalencije na klasi svih neprekidnih preslikavanja u $Top$.

Teorem. Svako neprekidno preslikavanje $f:X\to Y$ homotopski je ekvivalentno je kofibraciji. Naime možemo rastaviti $f$ kao kompoziciju $f = r\circ i$ gdje je $i:X\to Cyl(f)$ prirodna inkluzija (homeomorfizam na sliku) koja je kofibracija, a $r:Y\to Cyl(f)$ je homotopska ekvivalencija.

Definicija. Kažemo da neprekidno preslikavanje $p:Y\to B$ zadovoljava svojstvo podizanja homotopije ili da je $p$ fibracija ako za svako preslikavanje $f:X\to B$ za koje postoji podizanje $\tilde{f}:X\to Y$, tj. $p\circ\tilde{f}=f$, i za svaku homotopiju $F:X\times I\to B$ takvu da je $F_0 = f$ postoji homotopija $\tilde{F}:X\times I\to Y$ takva da $\tilde{F}_0=\tilde{f}$ i $(p\circ\id_I)\circ\tilde{F}=F$.

Teorem. Svako preslikavanje $f:X\to Y$ je homotopski je ekvivalentno fibraciji $p:Cocyl(f)\to Y$. Naime $f = p\circ c$ gdje je $c:X\to Cocyl(f)$ kanonska inkluzija dana s $c(x) :(const_x,x)$ gdje je $const_x:t\mapsto x$; ta kanonska inkluzija je homotopska ekvivalencija.

Pričali smo i o karakterizaciji fibracija preko egzistencije Hurewiczeve koneksije. Tako je objašnjeno kako se svojstvo podizanja homotopije za projekciju $p:E\to B$ za sve prostore $X$, može zamijeniti jednim “univerzalnim” problemom egzistencije prereza koji ne zavisi o $X$. Vidi link Hurewiczeva koneksija.

Slijedeća lekcija je homotopija lekcija3.