Zoran Skoda homotopija lekcija3

Ova lekcija nije još napisana, a održana je u srijedu, 25. studenog. Jedan mali dio te lekcije je održan doduše na početku lekcije 4, no bit će napisan na webu u okviru OVE lekcije. Tu spada i proširivanje početne diskusije iz ovog kolegija o četiri osnovna problema algebarske topologije, vidi link.

Glavni novi pojmovi su fundamentalni grupoid, H-prostor, H-grupa, H-kogrupa, pojmovi vezani uz baznu homotopiju (homotopija prostora istaknutom točkom), prostor petlji, homotopske grupe, egzaktni nizovi; no neki od tih pojmova su odgođeni za kasnije kad ćemo raditi CW-komplekse. Prije su spomenuti deformacijski retrakti i slični pojmovi (NDR par, DR par itd.). Ovdje ćemo i ponoviti definicije u malo više detalja ako stignemo.

Primjeri fibracija

Prije prelaska na novi materijal dajmo glavni izvor primjera fibracija.

Propozicija. Neka su $X$ i $B$ proizvoljni topološki prostori. Tada je projekcija $pr_B : X\times B\to B$ fibracija (u smislu Hurewitza, tj. zadovoljava svojstvo podizanja homotopije u odnosu na sve topološke prostore).

Teorem (Hurewitz). Neka je $B$ topološki prostor i $B = \cup_\lambda B_\lambda$ gdje su $B_\lambda$ otvoreni potprostori od $B$ koji čine lokalno konačan pokrivač od $B$. Neka je $p:E\to B$ preslikavanje takvo da je restrikcija $p|p^{-1}(B_\alpha):p^{-1}(B_\alpha)\to B_\alpha$ fibracija za svaki $\alpha$. Tada je $p$ fibracija.

Korolar. Neka je $B$ topološki prostor i $p:E\to B$ lokalno trivijalan fibrirani (hrv. raslojeni, vlaknati) svežanj s vlaknom $F$. Ako je $B$ parakompaktan Hausdorffov prostor tada je $p$ fibracija.

Teorem. (J-P. Serre) Za bilo koji topološki prostor $B$, evaluacija u nuli (ili jedinici) $ev_0:B^I\to B$, $s\mapsto s(0)$ je fibracija.

Propozicija. Ako su $f:X\to Y$ i $p:Y\to B$ fibracije, tada je $p\circ f:X\to B$ fibracija.

Propozicija. Ako je $p:E\to B$ fibracija i $X$ topološki prostor, tada je inducirano preslikavanje $p^X:E^X\to B^X$ fibracija.

Neke operacije s istaknutom točkom

Neka je $\{(X_\lambda,x_\lambda)\}_{\alpha\in\Lambda}$ porodica prostora s istaknutom točkom. Identificirajmo međusobno sve istaknute točke u disjunktnoj uniji $\coprod_{\lambda\in\Lambda} X_\lambda$; dobiveni skup $\Vee_\lambda X_\lambda$ promatramo u kvocijentnoj topologiji; neka bude istaknuta točka u dobivenom jedinstvena slika svih (identificiranih) istaknutih točaka. Dobiveni prostor s istaknutom točkom naziva se buketna suma (ili naprosto buket) porodice $X_\lambda$ prostora s istaknutom točkom. Očito je buketna porodice povezanih prostora povezan, a buket linearno povezanih prostora linearno povezan.

Zadatak. Buketna suma je koprodukt u kategoriji topoloških prostora s istaknutom točkom.

S druge strane produkt u kategoriji prostora s istaknutom točkom reprezentiran je prostorom $(X\times Y,(x_0,y_0))$ gdje je $X\times Y$ obi;an Tihonovljev produkt.

Zadatak. Pokažite da formula

$$(X,x_0)\times (Y,y_0) := (X\times Y,(x_0,y_0))$$

zadovoljava univerzalno svojstvo produkta u kategoriji $Top_*$.

No u teoriji homotopija korisniji je takoyvani smash (zgnječeni) produkt kojeg ćemo radi jednostavnosti formulom opisati za dva faktora (no uvjerite se da se lako poopćuje na proizvoljne porodice):

$$(X,x_0)\wedge (Y,y_0) := (X\times Y/(X\times y_0\cup x_0\times X), \star)$$

gdje je nova istaknuta točka $\star$ slika potprostora $X\times y_0\cup x_0 \times Y$ koji se stegnuo u točku. Lako se vidi opće pravilo: poistovjetimo u običnom Tihonovljevom produktu $\prod_\lambda X_\lambda$ sve točke čija bar jedna koordinata je istaknuta; slika svih točka je dakle jedna točka koja je sad istaknuta.

Zadatak. Ova konstrukcija se lako modificira na konstrukciju produkta u kategoriji parova $Top^2_i$. Formulirajte i dokažite to poopćenje (za proizvoljne porodice parova $(X_\lambda,A_\lambda)$); za dva para imamo

$$(X,A)\times(Y,B)=(X\times Y, X\times B\cup A\times Y).$$

Vidimo da je u $Top^2_i$ produkt $(X,x_0)\times (Y,y_0)= (X\times Y,X\vee Y)$. Dakle ako stegnemo drugi dio u to;ku dobijamo $X\wedge Y$.

Ove konstrukcije nam lako sugeriraju kako definirati analogone konstrukcija iz lekcije 2: konus i cilindar prostora, konus, cilindar i kocilindar preslikavanja za prostore s istaknutom točkom. Pri tome se sam interval $I$ se zamijeni s $(I,0)$ ili se (zavisno od konstrukcije) radi s $I_+ = (I \cup \{*\},\{*\})$.

Npr. konus baznog prostora $Cone(X,x_0)$ ima za totalni prostor kvocijent $X\times I/(X\times 0\cup x_0\times I\cup X\times 1)$. Pri tome je opet bazna točka slika identificiranih točaka. Cilindar preslikavanja $Cyl(f)$ gdje je $f:(X,x_0)\to (Y,y_0)$ preslikavanje prostora s baznom točkom je

$$Cyl(f) = (X\times I \coprod Y)/(X\times 0\sim x_0\times I\sim y_0, (x,1)\sim f(x)).$$

S homotopijom treba, međutim, biti oprezan: ona je još uvijek definirana na običnom $X\times I$ radije nego na $(X,x_0)\times (I,0)$. Bazirana homotopija (engl. pointed homotopy) $(X,x_0)\to (Y,y_0)$ je homotopija $F:X\times I\to Y$ takva da $F(x_0,t)=y_0$ za sve $t$. Slično, neka su $f,g:X\to Y$ dva preslikavanja, i $A\subset X$, tada kažemo da su oni homotopni relativno $A$, ako postoji homotopija $F:X\times I\to Y$ homotopija koja fiksira $A$, takva da je $F_0=f$, $F_1 = g$ i $F(a,t) = F(a,0)$ za sve $t$.

Prijašnje lekcije su 1, 2, a nakon ove dolaze lekcije 4 i 5.