Zoran Skoda homotopija lekcija1

Ideje teorije homotopija najprije su se pojavile u topologiji. Prve lekcije će radi motivacije i intuicije biti posvećene homotopiji u tom kontekstu. Kasnije će se promatrati aksiomatizaciju (Quillenove modelne kategorije) malo modificirane situacije koju nalazimo kod topoloških prostora.

Zato ćemo, prema potrebi, na prvim predavanjima podsjetiti ukratko i na neke od osnovnih pojmova iz topologije, koje studenti pretežno znaju iz dodiplomskih kolegija (npr. Metrički prostori, Uvod u topologiju, Odabrana poglavlja topologije), a potrebni su i za pristupni ispit iz topologije (koji ga polažu). Pretpostavlja se da se znaju pojmovi topologije i topološkog prostora, topološka struktura metričkih prostora, otvoreni i zatvoreni skupovi, okoline, zatvarač, neprekidna preslikavanja (praslika svakog otvorenog skupa je otvoreni skup), otvorena preslikavanja (neprekidno preslikavanja takvo da je i slika svakog otvorenog skupa otvoreni skup), zatvoreno preslikavanja (neprekidno preslikavanje za koji je slika svakog zatvorenog skupa zatvoreni skup), kvocijentni prostor $X/\sim$, kvocijentno preslikavanje $X\to X/\sim$, potprostor topološkog prostora i inducirana topologija na podskupu, aksiomi $T_0$, $T_1$, $T_2$, $T_3$, $T_4$, $T_{3 \frac{1}{2}}$, Hausdorffovi, regularni i normalni topološki prostori; konvergencija nizova u topološkom prostoru.

(Povezanost.) Dva podskupa $A$ i $B$ topološkog prostora $X$ su separirani ili medjusobno razdijeljeni ako je $\bar{A}\cap B=\emptyset$ i $A\cap\bar{B}=\emptyset$. Pokažite da su dva podskupa $A$ i $B$ separirana onda i samo onda kad su disjunktni i oba su zatvorena (ili ekvivalentno otvorena) u uniji $A\cap B$. Topološki prostor $X$ je povezan ako se $X$ ne da predstaviti kao unija dva separirana podskupa. Ekvivalentno, prostor $X$ je povezan akko se su jedini podskupovi u $X$ koji su istvoremeno otvoreni i zatvoreni $X$ i $\emptyset$. Podskup topološkog prostora je povezan ako je povezan kao prostor u induciranoj topologiji. Pokažite da je zatvorač povezanog skupa zatvoren. Komponenta povezanosti topološkog prostora je maksimalan povezani podskup, tj. takav da nije sadržan ni u kojem povezanom podskupu.

(Zadatak.) Svaki povezani podskup topološkog prostora je sadržan u nekoj komponenti. Svaka komponenta je zatvoren podskup; različite komponente su medjusobno separirane.

Otvoreni povezani podskup topološkog prostora naziva se oblast (engl. domain).

Neka je $(X,\tau)$ topološki prostor. Baza topologije $\mathcal{B}\subset\tau$ je potporodica topologije $\tau$ takva da za svaki $U\in\tau$ i za svaku $x\in U$, postoji $B\subset\mathcal{B}$ tako da je $x\in B\subset U$. Primijetite da je karakteristično svojstvo baze kao potporodice u $\tau$, da je proizvoljni skup u $X$ otvoren ako i samo ako je unija neke porodice elemenata iz baze. Npr. sve otvorene kugle čine bazu topologije bilo kojeg metričkog prostora. Ako uzmemo samo kugle racionalnog polumjera to je primjer manje baze topologije. Predbaza topologije je potporodica $\mathcal{B}\subset\tau$ takva da porodica svih konačnih presjeka elemenata iz $\mathcal{B}$ čini bazu topologije $\tau$. Skup je dakle otvoren ako i samo je unija neke familije konačnih presjeka elemenata predbaze. Lokalna baza topologije (fundamentalni sustav okolina) $\mathcal{B}$ u točki $x\in X$ je proizvoljna porodica otvorenih okolina od $x$, takva da za svaki $U^{otv}\ni x$ postoji okolina $B\in\mathcal{B}$ takva da je $B\subset U$. Kažemo da $(X,\tau)$ zadovoljava prvom aksiomu prebrojivosti ako svaka točka $x\in X$ ima prebrojivu lokalnu bazu topologije u $X$. Kažemo da $(X,\tau)$ zadovoljava drugi aksiom prebrojivosti ako ima prebrojivu bazu topologije.

Lindelofov teorem. Ako $(X,\tau)$ zadovoljava drugi aksiom prebrojivosti, tada svaki otvoreni pokrivač proizvoljnog podskupa ima (najviše) prebrojiv potpokrivač.

Podskup $A\subset X$ u topološkom prostoru $(X,\tau)$ je gust ako $\bar{A} = X$. Prostor $(X,\tau)$ je separabilan ako sadrži prebrojiv gust podskup.

Propozicija. Svaki topološki prostor koji zadovoljava drugi aksiom prebrojivosti je separabilan.

Obrat ne vrijedi: postoje separabilni prostori koji ne zadovoljavaju drugi aksiom prebrojivosti.

Tihonovljev produkt topoloških prostora $\prod_{\alpha\in A} X_\alpha$ je kartezijev produkt skupova $X_\alpha$ (tj. skup familija $(x_\alpha)_{\alpha\in A}$ točaka $x_\alpha\in X_\alpha$) zajedno s topologijom u kojoj bazu topologije čine skupovi oblika $\prod_\alpha U_\alpha$ gdje je $U_\alpha \subset X_\alpha$ otvoren za svaki $\alpha$ i gdje $U_\alpha \neq X_\alpha$ za konačno mnogo $\alpha\in A$.

(Kompaktnost.) Porodica otvorenih podskupova $\mathcal{U} = \{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$ topološkog prostora $X$ je pokrivač prostora $X$ ako je $\cup_\alpha U_\alpha = X$. Prostor je kompaktan ako svaki pokrivač ima konačni potpokrivač, tj. potporodicu koja je još uvijek pokrivač. Provjerite da je zatvoreni potprostor bilo kojeg kompaktnog prostora kompaktan. Metrički prostor $X$ je kompaktan onda i samo onda ako svaki niz točaka u $X$ ima konvergentni podniz. Svaki kompaktni Hausdorffov prostor je normalan. Topološki prostor $X$ je lokalno kompaktan ako oko svake točke $x\in X$ postoji okolina $U\ni x$ čiji je zatvarač $\bar{U}$ kompaktan.

Propozicija. Neka je $f:X\to Y$ neprekidno preslikavanje i $K\subset X$ kompaktni potprostor. Tada je slika $f(K)$ kompaktni potprosor u $Y$.

Dokaz. Zadatak.

Kažemo da je pokrivač $\mathcal{V} = \{V_\beta\}_{\beta\in B}$ profinjenje pokrivača $\mathcal{U} = \{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$ ako postoji funkcija $\lambda : B\to A$ tako da je $V_\beta \subset U_{\lambda(\beta)}$ za svaki $\beta$; zahvaljujući aksiomu izbora to znači da je svaki element of $\mathcal{V}$ podskup nekog elementa u $\mathcal{U}$. Neka porodica podskupova $\mathcal{W} =\{W_\gamma\}_{\gamma\in G}$ topološkog prostora $(X,\tau)$ je lokalno konačna ako oko svake točke $x\in X$ postoji okolina $Z\ni x$, koja ima neprazni presjek samo s konačno mnogo elemenata iz $\mathcal{W}$. Kažemo da je skup $D\subset X$ upisan u pokrivač $\mathcal{U}$ ako postoji $\alpha$ tako da je $D\subset U_\alpha$. Profinjenje pokrivača $\mathcal{U}$ je dakle novi pokrivač čiji su svi elementi upisani u $\mathcal{U}$.

Topološki prostor $X = (X,\tau)$ je parakompaktan ako svaki pokrivač od $X$ ima lokalno konačno profinjenje.

Lagani zadatak: Neka je $\mathcal{U} = \{U_\alpha\}_\alpha$ pokrivač od $X$, a $\mathcal{V}$ njegovo profinjenje. Ako postoji konačan potpokrivač od $\mathcal{V}$ tada postoji konačan potpokrivač od $\mathcal{U}$.

Tihonovljev teorem.Tihonovljev produkt bilo koje porodice kompaktnih topoloških prostora je kompaktan.

Kako je prema zadatku gore slika kompaktnog skupa po neprekidnom preslikavanju kompaktna, a projekcija $\pi_\gamma: \prod_\alpha X_\alpha\to X_\gamma$ neprekidna po definiciji baze topologije u $\prod_\alpha X_\alpha$ to vrijedi i lagani obrat Tihonovljevog teorema: dakle Tihonovljev produkt je kompaktan samo ako su svi faktori kompakti.

Neprekidno preslikavanje topoloških prostora je pravo (engl. proper) ako je praslika svakog kompaktnog podskupa kompaktni podskup.

(Prostori preslikavanja, engl. mapping spaces) Neka su $X$ i $Y$ topološki prostori. Skup svih neprekidnih prelikavanja $\Top(X,Y)$ ima kanonsku strukturu topološkog prostora $Map(X,Y) = Y^X$. Baza topologije u $Map(X,Y)$ dana je skupovima oblika

$$V_{K,U}:=\{f:X\to Y \,|\,f(K)\subset U\}$$

gdje je $K\subset X$ kompaktan, a $U\subset Y$ otvoren. Tu topologiju na $\Top(X,Y)$ nazivamo kompaktno-otvorena topologija. Ukoliko su $X$ i $Y$ metrički prostori, tada niz u $Map(X,Y)$ konvergira ako i samo ako konvergira uniformno na kompaktima. U knjigama iz opće topologije, uobičajena notacija za $Map(X,Y)$ je $C(X,Y)$ ($C$ kao continuous).

(Putevi.) S $I = [0,1]\subset \mathbb{R}$ označavat ćemo standardni interval. Svako neprekidno preslikavanje $s:I\to X$, nazivamo parametrizirani put; $s(0)$ je početak, a $s(1)$ kraj puta $s$. Kažemo da su točke $s(0)$ i $s(1)$ povezane putem $s$. Prostor $X$ je linearno povezan ako su svake dvije točke povezane nekim putem. $Map(I,X)= X^I$ s kompaktno-otvorenom topologijom nazivamo prostor slobodnih puteva. Primijetite prirodna preslikavanja evaluacije $ev_t : X^I\to X$, $ev_t(f) = f(t)$; za aksiomatsku teoriju posebno su važna preslikavanja $ev_0$ i $ev_1$.

(Zadatak.) Svaki linearno povezani prostor je povezan.

Neka su $f,g:X\to Y$ dva neprekidna preslikavanja i $I = [0,1]$. Neprekidno preslikavanje $F:X\times I\to Y$ je homotopija od $f$ do $g$ ako je $F(-,0)=f$ i $F(-,1)=g$. Ovdje s $F(-,t):X\to Y$ i $F_t$ označavamo preslikavanje $x\mapsto F(x,t)$. Postojanje homotopije od $f$ do $g$ je relacija ekvivalencije $\sim$ na skupu $Top(X,Z)$ neprekidnih preslikavanja $X\to Y$, npr. ako je $F$ homotopija od $f$ do $g$ onda je s $(x,t)\mapsto F(x,1-t)$ dana homotopija od $g$ do $f$; ako je $F$ homotopija od $f$ do $g$ i $F'$ homotopija od $g$ do $h$ onda je homotopija $H$ od $f$ do $h$ zadana formulom

$$H(x,t) = \left\lbrace \array{F(x,2t),& 0\leq t\leq 1/2\\ F'(x,2t-1),& 1/2\leq t\leq 1}\right.$$

Klasa ekvivalencije neprekidnog preslikavanja $f$ se označava $[f]$. Kategorija $[Top]$ je kategorija čiji su objekti topološki prostori, a skup morfizama $[X, Y]= [Top](X,Y)$ je skup klasa homotopnih preslikavanja. Kompozicija je definirana s $[g]\circ[f]:=[g\circ f]$, gdje $X\stackrel{f}\to Y\stackrel{g}\to Z$. To je dobro definirano (desna strana ne zavisi od predstavnika klasa $[f]$ i $[g]$), jer ako je $f\sim f'$, $g\sim g'$ tada je i $g\circ f\sim g'\circ f'$.

Homotopska ekvivalencija $f:X\to Y$ je neprekidno preslikavanje takvo da postoji neprekidno preslikavanje $g:Y\to X$ takvo da je $f\circ g \sim id_Y$ i $g\circ f\sim id_X$. Kažemo da su topološki prostori $X$ i $Y$ homotopski ekvivalentni ako postoji homotopska ekvivalencija $f:X\to Y$. Očito su svaka dva homeomorfna prostora homotopski ekvivalentna, no homotopska ekvivalencija je zapravo mnogo grublja od homeomorfnosti. Ako je neki prostor homotopski ekvivalentan prostoru $\star$ koji se sastoji od samo jedne točke, kažemo da je taj prostor kontraktibilan. Svaki kontraktibilan prostor je linearno povezan. Broj komponenti linearne povezanosti homotopska je invarijanta.

Teorem (Eksponencijalni zakon). Neka su $X,Y,B$ topološki prostori. Za svaki $f\in B^{X\times Y}$, formula

$$[(\theta f)(y)](x) = f(x,y)$$

definira neprekidno preslikavanje $(\theta f)(x):Y\to B^X$ koje nazivamo adjungirano preslikavanje preslikavanju $f$. Preslikavanje adjunkcije

$$\theta : \Top(X\times Y,B)\to\Top(Y,B^X), \,\,\,\,\,\,\,\theta:f\mapsto \theta f$$

je injekcija, a ako je $X$ lokalno kompaktan i Hausdorffov tada je $\theta$ bijekcija. Nezavisno o toj pretpostavci za $X$, ako je $Y$ Hausdorffov, tada je $\theta$ neprekidno u kompaktno-otvorenoj topologiji:

$$\theta : B^{X\times Y}\to (B^X)^Y.$$

Ukoliko su obe pretpostavke (na $X$ i $Y$) zadovoljene, tada je $\theta$ ne samo neprekidna bijekcija, nego i otvoreno preslikavanje, dakle homeomorfizam.

Ovaj teorem nećemo dokazivati. Zainteresirani mogu pogledati u Postnikovljeve lekcije iz algebarske topologije.

(Zadatak.) Topološki prostor $X$ je diskretan ako je svaki podskup $U\subset X$ otvoren. Pretpostavimo da su $X,Y,B$ diskretni, tada su sve pretpostavke na $X$ i $Z$ ispunjene; kompaktni podskupovi su tada očito isto što i konačni. Dokažite direktno (tj. bez pozivanja na druge netrivijalne teoreme iz topologije) eksponencijalni zakon (najjača tvrdnja: $\theta$ je dobro definiran homeomorfizam) za taj slučaj.

Grana matematike u kojoj dominiraju homotopske metode je tzv. algebarska topologija. U ovom kolegiju nećemo ulaziti sustavno u tu granu, osim nekoliko osnovnih pojmova vezanih uz samu homotopiju. Algebarska topologija bavi se konstrukcijom i korištenjem algebarskih objekata koje su invarijante topoloških prostora. Općenito u matematici, invarijanta je pravilo koje daje pridružuje matematičkim strukturama nekog tipa neke veličine ili nove strukture, tako da će nove velične biti iste (ili izomorfne) ako su početne matematičke strukture izomorfne. Npr. ako se radi o toploškim prostorima, onda je pravilan pojam izomorfizma homeomorfizam, i govorimo o topološkim invarijantama. Dakle za nas je invarijanta pravilo koje svakom topološkom prostoru $X$ pridružimo neki algebarski objekt, npr. broj $n(X)$ ili abelovu grupu $A(X)$ i da za homeomorfne topološke prostore pridružujemo isti algebarski broj (do na izomorfizam). Kao posljedica, ako je $n(X)$ različit od $n(Y)$ tada $X$ i $Y$ nisu homeomorfni. Dakle računanje invarijanata je korisno kod razlikovanja i klasifikacije topoloških prostora, no postoji i niz drugih problema kod kojih je korisno nalaženje invarijanata.

U modernoj matematici, za strukture nekog fiksiranog tipa obično definiramo morfizme koji čuvaju strukturu, npr. homomorfizmi grupa, neprekidna preslikavanja. Najčešće se strukture nekog tipa zajedno s morfizmima organiziraju u tzv. kategorije; za pažljivo zasnivanje koncepta kategorije moramo razlikovati skupove i klase. Najjednostavnije definicije i fakti vezani uz kategorije će se objasniti ukratko na predavanjima, ali ne u ovoj skripti (mogu se pogledati druge reference, a za početak i wikipedia ). Samo ćemo podsjetiti da se kategorija $C$ sastoji od klase objekata $Ob(C)$ i klase morfizama $Mor(C)$. Uz to su zadane još slijedeće strukture. Svakom morfizmu $f\in Mor(C)$ pridružena su dva objekta: domena (ili izvor, engl. source) $a=dom(f)\in Ob(C)$ i kodomena (ili cilj, engl. target) $B=cod(f)\in Ob(C)$; u toj notaciji pišemo $f:a\to b$. Ukoliko $f:a\to b$ i $g:b\to c$ tada je definirana kompozicija $g\circ f:a\to c$; kompozicija je asocijativna; $(h\circ g)\circ f = h\circ(g\circ f)$ kad su obe strane definirane. Za svaku objekt $X$ definiran je poseban morfizam $id_X:X\to X$ koji je jedinica s obzirom na kompoziciju, kad je ova definirana. Morfizmi koji imaju lijevi i desni inverz zovu se invertibilni morfizmi ili izomorfizmi. Morfizme zamišljamo kao strelice grafa, a objekt kao vrhove grafa. Za razliku od običnih grafova, kod kategorija su uvijek definirane kompozicija i identitete.

Obično se zahtjeva da je klasa svih morfizama $f:a\to b$ za fiksne objekte $a$ i $b$ zapravo skup koji označavamo $Mor(a,b)$, $Mor_C(a,b)$, $C(a,b)$, $Hom(a,b)$ ili $Hom_C(a,b)$. Morfizme u $C(a,a)$ zovemo endomorfizmi od $a$, a one endomorfizme koji su invertibilni zovemo automorfizmi. Lako je vidjeti da automorfizmi bilo kojeg fiksiranog objekta $a$ u kategoriji $C$ čine grupu $Aut(a)$ s obzirom na kompoziciju.

Za kategoriju kažemo da je mala ako svi morfizmi čine skup. Malenu kategoriju u kojoj je svaki morfizam invertibilan nazivamo grupoid. Svaku grupu $G$ možemo gledati kao grupoid $\Sigma G$ koji ima samo jedan objekt $*$ i $card(G)$ morfizama. Naime svaki objekt $g$ možemo promatrati kao morfizam $g:*\to *$, a kompozicija je dana množenjem, tj. $g\circ f =g\cdot f$. Jedinični element postaje identiteta $id_*:*\to *$.

Analogon preslikavanja medju kategorijama je funktor $F:C\to D$. Funktor se sastoji od dva preslikavanja klasa, $F_0:Ob(C)\to Ob(D)$ i $F_1:Mor(C)\to Mor(D)$ pri čemu $dom\circ F_1 = F_0\circ dom$, $cod\circ F_1 = F_0\circ cod$ i $F_1(g\circ f) = F_1(g)\circ F_1(f)$ (funktorijalnost), $F_1(id_X)=id_{F_0(X)}$. Obično zanemarujemo indekse $0$ i $1$ i oba preslikavanja označavamo s $F$. Funktori $C\to C$ se nazivaju i endofunktori.

Neka su $F,G:C\to D$ dva funktora; (prirodna) transformacija funktora $\alpha : F\to G$ po definiciji je familija $\{\alpha_X : F(X)\to G(X)\}_{X\in Ob(C)}$ morfizama u $D$ indeksirana objektima $X$ u $C$, takva da za svaki morfizam $f:X\to Y$ u $C$, vrijedi $G(f)\circ\alpha_X = \alpha_Y\circ F(f)$, tj. dijagram

(1)$$\array{ F(X) & \stackrel{F(f)}{\to} & F(Y) \\ \alpha_X\downarrow && \downarrow \alpha_Y \\ G(Y) & \stackrel{G(f)}{\to} & G(Y) } \,.$$

komutira. Ako su $\alpha: F\to G$, $\beta:G\to H$ transformacije, gdje su $F,G,H:C\to D$ funktori, tada je njihova vertikalna kompozicija transformacija $\beta\circ\alpha$ koja je zadana s $Ob(C)\ni x\mapsto (\beta\circ\alpha)_x := \beta_c\circ\alpha_x : F(x)\to H(x)$. Ako transformacija $\alpha$ ima inverz s obzirom na vertikalnu kompoziciju, tada kažemo da je $\alpha$ prirodni izomorfizam funktora.

Pojam kategorije koristan je i kod formulacije univerzalnih svojstava. Objekt $X$ kategorije $C$ je (univerzalni) inicijalni objekt ako za svaki $Y\in Ob(C)$ postoji jedinstveni morfizam $f:X\to Y$. Svaka dva različita inicijalna objekta $X$ i $X'$ su izomorfni preko jedinstvenog izomorfizma: naime kako je $X$ inicijalni, postoji jedinstveni morfizam $X\to X'$, kako je $X'$ inicijalni postoji jedinstveni morfizam $X'\to X$. Njihove kompozicije $X\to X$ i $X'\to X'$ opet po inicijalnosti od $X$ i $X'$ su jedinstveni endomorfizmi, dakle jednake identiti.

Pomoću univerzalnih svojstava, definiramo kategorijske limese, npr. kategorijske produkte. Neka su $X$ i $Y$ dva objekta kategorije $C$. Njihov (kategorijski) produkt je objekt $X\times Y$ zajedno s dva preslikavanja $p_X:X\times Y\to X$ i $p_Y:X\times Y\to Y$, koje nazivamo projekcije, tako da je slijedeće univerzalno svojstvo zadovoljeno: za svaki objekt $Z$ i svaka preslikavanja $f: Z\to X$ i $g: Z\to Y$, postoji jedinstveno preslikavanje $h:Z\to X\times Y$, takvo da je $p_X\circ h = f$ i $p_Y\circ h = g$. Preslikavanje $h$ se označava i $(f,g)$. Na analogan način možemo definirati kategorijski produkt proizvoljno mnogo objekata $X_\alpha$ u kategoriji $C$ kao objekt $\prod_\alpha X_\alpha$ u $C$ zajedno s morfizmima $p_\beta: \prod_\alpha X_\alpha\to X_\beta$ koje nazivamo projekcije, tako da je odgovarajuće univerzalno svojstvo zadovoljeno.

Za svaku kategoriju $C$ definiramo dualnu kategoriju koja se označava s $C^0$ ili $C^{op}$. Dualna (ili suprotna) kategorija ima iste objekte i iste morfizme, koje čemo međutim označavati s dodatkom kružića, ali su domena i kodomena zamijenjene, a nova kompozicija $g^0\circ f^0$ jednaka je $(f\circ g)^0$. Grafički to znači da sve “strelice” (tj. morfizmi) mijenjaju smjer.

Kategorijska suma ili koprodukt definiran je kao dual od kategorijskog produkta dualnih objekata u dualnoj kategoriji. Npr. direktna suma objekata $X$ i $Y$ je naprosto objekt $X\coprod Y$ zajedno s dva morfizma $i_X:X\to X\coprod Y$ i $i_Y:Y\to X\coprod Y$ koje nazivamo ulaganjima koprodukta, tako da za svaki objekt $Z$ zadan s preslikavanjima $f:X\to Z$ i $g:Y\to Z$ postoji jedinstveno presikavanje $h:X\coprod Y\to Z$ tako da je $f=h\circ i_X$ i $g=h\circ i_Y$.

Dvije kategorije $C$ i $D$ su izomorfne ako postoje funktori $F:C\to D$ i $G:D\to C$ tako da je $G\circ F = Id_C$ i $F\circ G = Id_D$. Taj pojam se rijetko koristi za kategorije. korisniji nam je pojam ekvivalencije kategorija. Dvije kategorije $C$ i $D$ su ekvivalentne ako postoje funktori $F:C\to D$ i $G:D\to C$ i prirodni izomorfizmi funktora $\eta:G\circ F\to Id_C$ i $\epsilon:Id_D\to F\circ G$. Primijetite da postoji formalna sličnost morfizama $\eta$ i $\epsilon$ i homotopija koje se pojavljuju u definiciji homotopske ekvivalencije. Zapravo kasnije ćemo vidjeti da ta sličnost nije slučajna, i da postoji veza putem tzv. funktora nerva kategorije.

Invarijante $A: X\mapsto A(X)$ u algebarskoj topologiji su takodjer najčešće zapravo samo objektni dio podataka $A_0$ za neki funktor $A$, koji je definiran i na morfizmima; taj funktor kao domenu ima neku kategoriju topoloških prostora, a kao kodomenu neku kategoriju algebarskih objekata (npr. kategorija $\mathbf{Ab}$ kojoj su objekti abelove grupe, a morfizmi homomorfizmi abelovih grupa s običnom kompozicijom).

U teoriji homotopija za topološke prostore koristi se nekoliko bitno različitih kategorija topoloških prostora. U drugoj varijanti, tzv. stabilnoj teoriji kategorija danas se koriste radije tzv. kategorije spektara.

Kategorija $Top$: objekti su topološki prostori, morfizmi su neprekidna preslikavanja.

Kategorija $kTop$: potpuna potkategorija kategorije Hausdorffovih prostora čiji objekti su Hausdorffovi kompaktno generirani prostori, koje ćemo jednostavno zvati k-prostori (rjeđe nazivani i kaonski prostori). Pogledajte definiciju i njihova svojstva opisana ukratko na ovom linku. Bitno svojstvo te kategorije je da je zatvorena kartezijanska kategorija, tj. ima kartezijev produkt i unutarnji hom (tj. vrijedi eksponencijalni zakon).

Kategorija $\mathrm{CW}$: objekti su CW-prostori, a morfizmi neprekidna preslikavanja. Varijanta $\mathrm{CELL}$ ima za objekte CW-prostore, no morfizmi su tzv. celularna preslikavanja CW-prostora. Formalna razlika je velika, no stvarna razlika je mala za teoriju homotopija (teorem o celularnoj aproksimaciji: svaki morfizam u $\mathrm{CW}$ homotopan je nekom celularnom morfizmu, dakle homotopske kategorije $[\mathrm{CW}]$ i $[\mathrm{CELL}]$ su ekvivalentne). CW-prostori će se najviše raditi na jednom specijalnom predavanju posvećenom njima (vjerovatno lekcija 7).

Uz te kategorije, bitne su i kategorije parova. Npr. objekti u $Top^2_i$ (notacija: indeks i kao inkluzija) su parovi $(X,A)$ topoloških prostora, gdje je $A\subset X$, a morfizmi $(X,A)\to (Y,B)$ su preslikavanja $f:X\to Y$ takva da $f(A)\subset B$. Najvažnija je medjutim puna potkategorija $Top_*\subset Top^2_i$ punktiranih topoloških prostora: objekti su parovi $(X,\{x_0\})$ gdje je $x_0\in X$. To su naprosto prostori u kojima je izabrana istaknuta točka $x_0$ koju često označavamo s $*$. Klasične monografije iz algebarske topologije koncentriraju se na kategorije $Top_*$, $kTop_*$ i $\mathrm{CW}_*$.

Na predavanju smo rekli i koji su osnovni problemi faktorizacije u topologiji: zadaća podizanja (engl. lifting problem) i zadaća proširenja (engl. extension problem), nacrtali pripadne dijagrame i razmotrili kakva je korist od primjene funktora na dane komutativne dijagrame egzistencije. Spomenuli smo usput i teoriju prepreka (opstrukcije), no to je teži materijal.

Nastavak: homotopija lekcija2