Zoran Skoda funkcija

Funkcija ili preslikavanje iz skupa $A$ u skup $B$ je pravilo koje svakom elementu skupa $A$ pridružuje točno određeni element skupa $B$. Kažemo da funkcija svakom elementu u $A$ pridružuje jedan i samo jedan element skupa $B$ (to znači jedan i ništa više, tj. točno jedan). Skup $dom(f) = A$ zove se domena ili područje definicije funkcije $f$, a skup $cod(f)=B$ kodomena ili područje vrijednosti funkcije $f$. Kažemo također da je $f$ definirana na skupu $A$ i da prima vrijednosti u skupu $B$. Pišemo $f : A\to B$ (ili, grafički naglašenije, $A\overset{f}\longrightarrow B$), a rezultat pridruživanja $f$ na elementu $a$ je $f(a)$. Ako je $f(a)$ zadano (recimo kao formula) onda pišemo $f : a \mapsto f(a)$. Primijetite razliku simbola $\to$ i $\mapsto$. Neki pojmovi vezani uz funkcije su slika funkcije, praslika, restrikcija funkcije.

U teoriji skupova sve se formalizira kao skup pa se i neformalan koncept “pravila” (koji je jasan na konačnim skupovima, a možda malo manje jasan na zamišljenim objektima kao što su beskonačni skupovi) formalizira preko funkcijske relacije.

(Binarna) relacija $R$ iz $A$ u $B$ je bilo koji podskup $R\subseteq A\times B$ Kartezijevog produkta $A\times B = \{(a,b) \,|\,a\in A, b\in B\}$, odnosno skupa svih uređenih parova kojima je prvi element iz prvog skupa $A$, a drugi element iz drugog skupa $B$. Ako je neki $(a,b)\in R$ pišemo $a R b$ i kažemo da je $a$ u relaciji $R$ s $b$. (Binarna) relacija na skupu $A$ je bilo koja relacija iz $A$ u $A$. Slično tome, ako je $n$ prirodni broj, $n$-arna relacija na skupu $A$ je bilo koji podskup Kartezijevog produkta $A\times A\times \ldots \times A$ ($A$ se pojavljuje $n$-puta).

Npr. jedna binarna relacija na (neformalnom) skupu drveća sastoji se od parova u kojima je prvo drvo u paru manje od drugog drveta u paru. To je relacija koju “manje”. Prvo drvo je manje od drugog u običnom smislu ako je prvo drvo u relaciji “manje” s drugim drvetom i pišemo prvo drvo “manje” drugo drvo.

Važne vrste binarnih relacija na skupu $S$ su relacije ekvivalencije i uređaja? ili poretka. Obje su tranzitivne relacije ali se razlikuju po drugim svojstvima, značenju i primjenama.

Funkcijska relacija $f$ iz $A$ u $B$ je binarna relacija $f\subseteq A\times B$ s dva svojstva

• ako je $a\in A$ tada postoji element $b\in B$ takav da $a f b$

• ako je $a f b$ i $a f c$ tada je $b = c$ (drugim riječima, postoji najviše jedan element u $B$ koji je u relaciji $f$ s $A$)

Ta dva svojstva zajedno daju da za svaki element $a$ u $A$ postoji točno jedan element $b$ u $B$ takav da je $a f b$.

Uvjerimo se da je funkcija i funkcijska relacija suštinski jedno te isto. Ako je $f$ funkcijska relacija tada je $f(a) = b$ u jeziku funkcija točno onda kad je $a f b$ u jeziku relacija. Ako je $g:A\to B$ funkcija onda je pripadna funkcijska relacija

$$\Gamma_f = \{ (a,f(a)) | a\in A\}\subseteq A\times B.$$

Tu funkcijsku relaciju zovemo graf funkcije $f$. Nekad je označavamo naprosto s $f$. Alternativno možemo pisati i $\Gamma f = \{ (a,b)\in A\times B \,|\, b = f(a)\}$ [to je o;ito ekvivalentno gornjoj definiciji.]

Za svaku binarnu relaciju $R$ iz $A$ u $B$ može se definirati inverzna relacija $R^{-1}$ iz $B$ u $A$ ovako: $b R^{-1} a$ onda i samo onda ako $a R b$. Ako je $R$ funkcijska relacija to ne znači da će inverzna relacija biti funkcijska: oba svojstva funkcijske relacije iz definicije mogu pasti. Nužan i dovoljan uvjet da inverz zadane funkcijske relacije bude funkcijska relacije je da je zadana funkcijska relacija bijekcija.

To je jedan od razloga zašto za funkcije (ili, ekvivalentno, za funkcijske relacije) uvodimo pojmove injekcije, surjekcije i bijekcije. Funkcija $f:A\to B$ je injekcija ako iz $a\neq a'$ slijedi $f(a)\neq f(a')$. Drugim riječima, injekcija je funkcija koja nikad dva različita elementa ne šalje u isti element. Slika po funkciji $f$ nekog podskupa $X\subset A$ je skup $f(X)= \{b\in B\,|\,\exists x\in X,\,f(x) = b\}$, dakle skup svih elemenata koji su pridruženi barem jednom elementu iz $X$. Ako je $A = X$ kažemo da je $f(A) = Im(f)$ slika domene od $f$ ili kratko slika funkcije $f$. Funkcija je surjekcija ili “preslikavanje na” ako je $Im(f) = B$. Tada kažemo i da je funkcija $f:A\to B$ funkcija s $A$ na $B$, što je jača tvrdnja nego kad kažemo da je iz $A$ u $B$ (ovo potonje ne znači da je $f$ surjekcija). Funkcija je bijekcija ako je injekcija i surjekcija istovremeno. Inverzna relacija za danu funkciju je funkcijska relacija (dakle također funkcija) onda i samo onda ako je zadana funkcija bijekcija. Inverz bijekcije je bijekcija.

Vidi definicije u Struni: funkcija, injekcija, surjekcija, bijekcija.

Ako su $f:A\to B$ i $g:B\to C$ funkcije (primijetimo: domena od $g$ se podudara s kodomenom od $f$), tada je definirana složena funkcija (sinonim: kompozicija funkcija) $g\circ f:A\to C$ funkcija s domenom $A$ i kodomenom $C$ i zadana pravilom

$$(g\circ f)(a) = g(f(a)) \,\,\,\,\,\,\forall a\in A.$$

Slaganje (tj. operacija kompozicije) funkcija nije komutativno. Npr. u ovom slučaju, ako su $A,B,C$ različiti, $g\circ f$ je definirano, a $f\circ g$ nije ni definirano, a kamoli jednako $g\circ f$. Naime, $g$ prima vrijednosti u skupu $C$, pa odande ne možemo nastaviti funkcijom $f$, jer funkcija $f$ ima za domenu $A\neq C$.

Identiteta na skupu $A$ je funkcija $id_A:A\to A$ zadana “tautološkim” pravilom $id_A :a\mapsto a$. Ako je $f:A\to B$ funkcija, tada $f\circ id_A = f = id_B\circ f$.

Ako je $C\subseteq D$ tada formula

$$i_C : c\mapsto c,$$

definira preslikavanje $i_C:C\to D$. Dakle svaki element u $C$ se preslikava u samog sebe, ali shvaćenog kao elementa u nadskupu $D$. Tu funkciju zovemo inkluzija. Za inkluziju strelicu često pišemo na način koji podsjeća na relaciju biti podskup. Dakle, $i_C: C\hookrightarrow D, i_C:c\mapsto c$.

Ako je $S\subseteq dom(f)$ tada definiramo suženje funkcije $f|_S:S\to cod(f)$, formulom $f|_S(s) = f(s)$ za sve $s\in S$, vidi suženje funkcije. Uoči da je inkluzija $i_C:C\hookrightarrow D$ naprosto suženje identite $id_D:D\to D$ na podskup $C\subseteq D$.

Ako je $A$ skup i $P\subseteq A$ podskup od $A$. Tada postoji funkcija $\chi_P:A\to \{0,1\}$ zadana pravilom $a\mapsto 0$ ako je $a\notin P$ i $a\mapsto 1$ ako je $a\in P$. Tu funkciju nazivamo karakteristična funkcija podskupa $P\subseteq A$. Svaka funkcija $A\to \{0,1\}$ je karakteristična funkcija nekog i ujedno jedinstvenog podskupa $P\subseteq A$. Dakle, podskupovi od $A$ su u bijekciji s funkcijama iz $A$ u dvočlani skup $\{0,1\}$. Vidi više o tome na stranici partitivni skup.

category: zadarmat1, zadarmat2, zadarmat3, zadarmat4