Zoran Skoda kvaternion

Grupa kvaterniona

Grupa kvaterniona je osmeročlani skup Q={1,1,i,i,j,j,k,k}Q = \{ 1, -1, i, -i, j, -j, k, -k\} s asocijativnom operacijom množenja u kojoj je 11 neutralni element, množenje s 1-1 “mijenja predznak”, vrijede “cikličke relacije” ij=ki j = k, jk=ij k = i, ki=jk i = j, ali u obratnom poretku ji=kj i = -k, kj=ik j = -i, ik=ji k = -j i, konačno, i 2=j 2=k 2=1i^2 = j^2 = k^2 = -1. S obzirom na to množenje, QQ je nekomutativna grupa. Inverzi su (1) 1=1,i 1=i(-1)^{-1} = -1, i^{-1} = -i, j 1=jj^{-1} = -j, k 1=kk^{-1} = -k.

Tijelo kvaterniona

Tijelo kvaterniona je skup Q={a+bi+cj+dk|a,b,c,d}\mathbb{R}Q = \{ a + b i + c j + d k\,|\,a,b,c,d\in\mathbb{R}\} sa zbrajanjem

(a+bi+cj+dk)+(a+bi+cj+dk)=(a+a)+(b+b)i+(c+c)j+(d+d)k (a + b i + c j + d k) + (a' + b' i + c' j + d' k) = (a+a') + (b+b')i + (c+c')j + (d+d')k

i množenjem distributivnim prema zbrajanju u kojem najprije pomnožimo koeficijente kao realne brojeve i onda pomnožimo i,j,k,1i,j,k,1 kao elemente grupe QQ, pri čemu identificiramo i-i s (1)i(-1)i itd. Npr. (2i+j)k=2(ik)+(jk)=2(j)+i=(2)j+1i(2 i +j) \cdot k = 2 (i k) + (j k) = 2 (- j) + i = (-2) j + 1 i. Elemente u Q\mathbb{R}Q zovemo kvaternionima. Skup svih kvaterniona s b=c=0b = c = 0 je potprsten koji je očito izomorfan polju kompleksnih brojeva.

Da vidimo da je prsten Q\mathbb{R}Q zaista tijelo, moramo pokazati da svaki element različit od 00 ima obostrani inverz. Najprije za svaki kvaternion z=a+bi+cj+dkz = a + b i + c j + d k definiramo njemu konjugirani kvaternion z¯=abicjdk\overline{z} = a - b i - c j - d k i izračunamo direktno

zz¯=a 2+b 2+c 2+d 2=z¯z. z\cdot \bar{z} = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \bar{z}\cdot z.

To je realni broj koji je različit od nule ako je z0z\neq 0. Kako realni brojevi komutiraju sa svim kvaternionima, to za z0z\neq 0 brojem zz¯z\cdot \bar{z} možemo dijeliti koeficijente kvaterniona.

Direktnim računom možemo provjeriti da (abicjdk)(a+bj+ck+dk)=a 2+b 2+c 2+d 2=zz¯(a- b i - c j - d k) (a + b j + c k + d k) = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = z\cdot \bar{z} i, u drugom poretku, (a+bj+ck+dk)(abicjdk)=zz¯(a + b j + c k + d k) (a- b i - c j - d k) = z\cdot \bar{z}. Posljedica je da je (a 2+b 2+c 2+d 2) 1(abicjdk)(a+bj+ck+dk)=1(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^{-1}(a- b i - c j - d k) (a + b j + c k + d k) = 1 (i analogno u drugom poretku), pa smo našli inverz

z 1=azz¯bzz¯iczz¯jdzz¯k z^{-1} = \frac{a}{z\cdot \bar{z}} - \frac{b}{z\cdot \bar{z}}i - \frac{c}{z\cdot \bar{z}}j - \frac{d}{z\cdot \bar{z}}k

od zz. Eksplicitnije,

z 1=aa 2+b 2+c 2+d 2+ba 2+b 2+c 2+d 2i+ca 2+b 2+c 2+d 2j+da 2+b 2+c 2+d 2k. z^{-1} = \frac{a}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} + \frac{-b}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} i + \frac{-c}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} j + \frac{-d}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} k.

Općenitije, ako su yy i zz ma koja dva kvaterniona, tada vrijedi

|yz|=|y||z| | y \cdot z | = |y|\cdot|z|

Korijen zz¯ 0\sqrt{z\cdot\bar{z}}\in\mathbb{R}_{\geq 0} nazivamo i normom ili apsolutnom vrijednošću kvaterniona zz.

Tijelo kvaterniona Q\mathbb{R}Q je tijelo koje nije komutativno, tj. nije polje. Možemo ga gledati i kao 4-dimenzionalno vektorski prostor na \mathbb{R} s bazom 1,i,j,k1, i,j,k u kojem imamo egzotično množenje vektora. Kako je |yz|=|y||z|| y \cdot z | = |y|\cdot|z| to je umnožak kvaterniona norme 1 također norme 1, a iz gornje formule za inverz vidi se da je inverz kvaterniona norme 1 također norme 1. Slijedi da je jedinična 3-dimenzionalna sfera

S 3={a+bi+cj+dkQ|a 2+b 2+c 2+d 2=1}S^3 = \{ a + b i + c j + d k\in \mathbb{R}Q \,|\, a^2+b^2+c^2+d^2 = 1 \}

u 4-dimenzionalnom prostoru kvaterniona kao realnom vektorskom prostoru, zatvorena s obzirom na kvaternionsko množenje i štoviše čini podgrupu multiplikativne grupe svih elemenata u Q\mathbb{R}Q različitih od nule. Naravno, ta podgrupa nije zatvorena s obzirom na zbrajanje.

Realizacija kvaterniona pomoću matrica

Neka je i=1Ci = \sqrt{-1}\in\mathbf{C}. Promatrajmo 2x2-matrice kompleksnih brojeva

I=(0 1 1 0),J=(0 i i 0),K=(i 0 0 i).I = \left(\array{0 & 1\\ -1 & 0}\right), \,\,\,\,\, J = \left(\array{0& i\\ i& 0}\right),\,\,\,\,\, K =\left(\array{i & 0\\ 0 & -i}\right).

Skup svih 2x2-matrica kompleksnih brojeva oblika a1+bI+cJ+dKa 1 + b I + c J + d K gdje su a,b,c,da,b,c,d realni brojevi podskup je prstena svih 2x2-matrica koji je zatvoren s obzirom na množenje i zbrajanje, točnije čini podprsten i taj prsten je izomorfan tijelu kvaterniona na očevidan način. Zaista, lako se provjeri IJ=KI J = K, JK=IJ K = I, KI=JK I = J, JI=KJ I = -K, KJ=IK J = -I, IK=JI K = -J, II=JJ=KK=1I I = J J = K K = -1 gdje je 1-1 jedinična 2x2-matrica.

Matrice σ x=iJ\sigma_x = -i J, σ y=iI\sigma_y = -i I, σ z=iK\sigma_z = -i K zovu se Paulijeve matrice (wikipedia) i zadovoljavaju σ xσ y=iσ z\sigma_x \sigma_y = i\sigma_z, σ yσ z=iσ x\sigma_y \sigma_z = i\sigma_x, σ zσ x=iσ y\sigma_z \sigma_x = i\sigma_y.

Primijetite da je redoslijed identifikacija malo poremećen i xyz dolazi od JIK (radije nego IJK) jer koeficijent (i)(-i) uvodi promjenu predznaka kod množenja, npr.

σ xσ y=(iJ)(iI)=(i) 2(JI)=(K)=K=i(iK)=σ z.\sigma_x\sigma_y = (-i J)(-i I) = (-i)^2 (J I) = - (-K) = K = i(-i K) = \sigma_z.
σ x=(0 i i 0),σ y=(0 1 1 0),σ z=(1 0 0 1). \sigma_x = \left(\array{0 & -i\\ i & 0}\right),\,\,\,\,\, \sigma_y = \left(\array{0& 1\\ 1& 0}\right),\,\,\,\,\, \sigma_z =\left(\array{1 & 0\\ 0 & -1}\right).
category: zadarmat4

Last revised on March 2, 2023 at 14:29:24. See the history of this page for a list of all contributions to it.