Zoran Skoda kvaternion

Grupa kvaterniona

Grupa kvaterniona je osmeročlani skup $Q = \{ 1, -1, i, -i, j, -j, k, -k\}$ s asocijativnom operacijom množenja u kojoj je $1$ neutralni element, množenje s $-1$ “mijenja predznak”, vrijede “cikličke relacije” $i j = k$, $j k = i$, $k i = j$, ali u obratnom poretku $j i = -k$, $k j = -i$, $i k = -j$ i, konačno, $i^2 = j^2 = k^2 = -1$. S obzirom na to množenje, $Q$ je nekomutativna grupa. Inverzi su $(-1)^{-1} = -1, i^{-1} = -i$, $j^{-1} = -j$, $k^{-1} = -k$.

Tijelo kvaterniona

Tijelo kvaterniona je skup $\mathbb{R}Q = \{ a + b i + c j + d k\,|\,a,b,c,d\in\mathbb{R}\}$ sa zbrajanjem

$$(a + b i + c j + d k) + (a' + b' i + c' j + d' k) = (a+a') + (b+b')i + (c+c')j + (d+d')k$$

i množenjem distributivnim prema zbrajanju u kojem najprije pomnožimo koeficijente kao realne brojeve i onda pomnožimo $i,j,k,1$ kao elemente grupe $Q$, pri čemu identificiramo $-i$ s $(-1)i$ itd. Npr. $(2 i +j) \cdot k = 2 (i k) + (j k) = 2 (- j) + i = (-2) j + 1 i$. Elemente u $\mathbb{R}Q$ zovemo kvaternionima. Skup svih kvaterniona s $b = c = 0$ je potprsten koji je očito izomorfan polju kompleksnih brojeva.

Da vidimo da je prsten $\mathbb{R}Q$ zaista tijelo, moramo pokazati da svaki element različit od $0$ ima obostrani inverz. Najprije za svaki kvaternion $z = a + b i + c j + d k$ definiramo njemu konjugirani kvaternion $\overline{z} = a - b i - c j - d k$ i izračunamo direktno

$$z\cdot \bar{z} = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \bar{z}\cdot z.$$

To je realni broj koji je različit od nule ako je $z\neq 0$. Kako realni brojevi komutiraju sa svim kvaternionima, to za $z\neq 0$ brojem $z\cdot \bar{z}$ možemo dijeliti koeficijente kvaterniona.

Direktnim računom možemo provjeriti da $(a- b i - c j - d k) (a + b j + c k + d k) = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = z\cdot \bar{z}$ i, u drugom poretku, $(a + b j + c k + d k) (a- b i - c j - d k) = z\cdot \bar{z}$. Posljedica je da je $(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^{-1}(a- b i - c j - d k) (a + b j + c k + d k) = 1$ (i analogno u drugom poretku), pa smo našli inverz

$$z^{-1} = \frac{a}{z\cdot \bar{z}} - \frac{b}{z\cdot \bar{z}}i - \frac{c}{z\cdot \bar{z}}j - \frac{d}{z\cdot \bar{z}}k$$

od $z$. Eksplicitnije,

$$z^{-1} = \frac{a}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} + \frac{-b}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} i + \frac{-c}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} j + \frac{-d}{a^2 + b^2 + c^2 + d^2} k.$$

Općenitije, ako su $y$ i $z$ ma koja dva kvaterniona, tada vrijedi

$$| y \cdot z | = |y|\cdot|z|$$

Korijen $\sqrt{z\cdot\bar{z}}\in\mathbb{R}_{\geq 0}$ nazivamo i normom ili apsolutnom vrijednošću kvaterniona $z$.

Tijelo kvaterniona $\mathbb{R}Q$ je tijelo koje nije komutativno, tj. nije polje. Možemo ga gledati i kao 4-dimenzionalno vektorski prostor na $\mathbb{R}$ s bazom $1, i,j,k$ u kojem imamo egzotično množenje vektora. Kako je $| y \cdot z | = |y|\cdot|z|$ to je umnožak kvaterniona norme 1 također norme 1, a iz gornje formule za inverz vidi se da je inverz kvaterniona norme 1 također norme 1. Slijedi da je jedinična 3-dimenzionalna sfera

$$S^3 = \{ a + b i + c j + d k\in \mathbb{R}Q \,|\, a^2+b^2+c^2+d^2 = 1 \}$$

u 4-dimenzionalnom prostoru kvaterniona kao realnom vektorskom prostoru, zatvorena s obzirom na kvaternionsko množenje i štoviše čini podgrupu multiplikativne grupe svih elemenata u $\mathbb{R}Q$ različitih od nule. Naravno, ta podgrupa nije zatvorena s obzirom na zbrajanje.

Realizacija kvaterniona pomoću matrica

Neka je $i = \sqrt{-1}\in\mathbf{C}$. Promatrajmo 2x2-matrice kompleksnih brojeva

$$I = \left(\array{0 & 1\\ -1 & 0}\right), \,\,\,\,\, J = \left(\array{0& i\\ i& 0}\right),\,\,\,\,\, K =\left(\array{i & 0\\ 0 & -i}\right).$$

Skup svih 2x2-matrica kompleksnih brojeva oblika $a 1 + b I + c J + d K$ gdje su $a,b,c,d$ realni brojevi podskup je prstena svih 2x2-matrica koji je zatvoren s obzirom na množenje i zbrajanje, točnije čini podprsten i taj prsten je izomorfan tijelu kvaterniona na očevidan način. Zaista, lako se provjeri $I J = K$, $J K = I$, $K I = J$, $J I = -K$, $K J = -I$, $I K = -J$, $I I = J J = K K = -1$ gdje je $-1$ jedinična 2x2-matrica.

Matrice $\sigma_x = -i J$, $\sigma_y = -i I$, $\sigma_z = -i K$ zovu se Paulijeve matrice (wikipedia) i zadovoljavaju $\sigma_x \sigma_y = i\sigma_z$, $\sigma_y \sigma_z = i\sigma_x$, $\sigma_z \sigma_x = i\sigma_y$.

Primijetite da je redoslijed identifikacija malo poremećen i xyz dolazi od JIK (radije nego IJK) jer koeficijent $(-i)$ uvodi promjenu predznaka kod množenja, npr.

$$\sigma_x\sigma_y = (-i J)(-i I) = (-i)^2 (J I) = - (-K) = K = i(-i K) = \sigma_z.$$

$$\sigma_x = \left(\array{0 & -i\\ i & 0}\right),\,\,\,\,\, \sigma_y = \left(\array{0& 1\\ 1& 0}\right),\,\,\,\,\, \sigma_z =\left(\array{1 & 0\\ 0 & -1}\right).$$

category: zadarmat4