Zoran Skoda
kvaternion

Grupa kvaterniona je osmeročlani skup Q={1,1,i,i,j,j,k,k}Q = \{ 1, -1, i, -i, j, -j, k, -k\} s asocijativnom operacijom množenja u kojoj je 11 neutralni element, množenje s 1-1 “mijenja predznak”, vrijede “cikličke relacije” ij=ki j = k, jk=ij k = i, ki=jk i = j, ali u obratnom poretku ji=kj i = -k, kj=ik j = -i, ik=ji k = -j i, konačno, i 2=j 2=k 2=1i^2 = j^2 = k^2 = -1. S obzirom na to množenje, QQ je nekomutativna grupa. Inverzi su (1) 1=1,i 1=i(-1)^{-1} = -1, i^{-1} = -i, j 1=jj^{-1} = -j, k 1=kk^{-1} = -k.

Tijelo kvaterniona je skup Q={ai+bj+ck+d|a,b,c,d}\mathbb{R}Q = \{ a i + b j + c k + d\,|\,a,b,c,d\in\mathbb{R}\} sa zbrajanjem

(a+bi+cj+dk)+(a+bi+cj+dk)=(a+a)+(b+b)i+(c+c)j+(d+d)k (a + b i + c j + d k) + (a' + b' i + c' j + d' k) = (a+a') + (b+b')i + (c+c')j + (d+d')k

i množenjem distributivnim prema zbrajanju u kojem pomnožimo koeficijente kao realne brojeve i onda pomnožimo i,j,k,1i,j,k,1 kao elemente grupe QQ, pri čemu identificiramo i-i s (1)i(-1)i itd. Npr. (2i+j)k=2(ik)+(jk)=2(j)+i=(2)j+1i(2 i +j) \cdot k = 2 (i k) + (j k) = 2 (- j) + i = (-2) j + 1 i. Elemente u Q\mathbb{R}Q zovemo kvaternionima. Skup svih kvaterniona s b=c=0b = c = 0 je potprsten koji je očito izomorfan polju kompleksnih brojeva.

Da vidimo da je prsten Q\mathbb{R}Q zaista tijelo, moramo pokazati da svaki element različit od 00 ima obostrani inverz. Najprije za svaki kvaternion z=a+bi+cj+dkz = a + b i + c j + d k definiramo njemu konjugirani kvaternion z¯=abicjdk\overline{z} = a - b i - c j - d k i izračunamo direktno

zz¯=a 2+b 2+c 2+d 2=z¯z. z\cdot \bar{z} = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = \bar{z}\cdot z.

Posljedica je da je (a 2+b 2+c 2+d 2) 1(abicjdk)(a+bj+ck+dk)=1(a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^{-1}(a- b i - c j - d k) (a + b j + c k + d k) = 1, dakle našli smo inverz

z 1=(a 2+b 2+c 2+d 2) 1a(a 2+b 2+c 2+d 2) 1bi(a 2+b 2+c 2+d 2) 1cj(a 2+b 2+c 2+d 2) 1dk z^{-1} = (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^{-1}a - (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^{-1}b i - (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^{-1}c j - (a^2 + b^2 + c^2 + d^2)^{-1}d k

Općenitije: ako su yy i zz ma koja dva kvaterniona, tada vrijedi

|yz|=|y||z| | y \cdot z | = |y|\cdot|z|

Korijen zz¯ 0\sqrt{z\cdot\bar{z}}\in\mathbb{R}_{\geq 0} nazivamo i normom ili apsolutnom vrijednošću kvaterniona zz.

Tijelo kvaterniona Q\mathbb{R}Q je tijelo koje nije komutativno, tj. nije polje. Možemo ga gledati i kao 4-dimenzionalno vektorski prostor na \mathbb{R} s bazom 1,i,j,k1, i,j,k u kojem imamo egzotično množenje vektora. Kako je |yz|=|y||z|| y \cdot z | = |y|\cdot|z| to je umnožak kvaterniona norme 1 također norme 1, a iz gornje formule za inverz vidi se da je inverz kvaterniona norme 1 također norme 1. Slijedi da je jedinična 3-dimenzionalna sfera

S 3={a+bi+cj+dkQ|a 2+b 2+c 2+d 2=1}S^3 = \{ a + b i + c j + d k\in \mathbb{R}Q \,|\, a^2+b^2+c^2+d^2 = 1 \}

u 4-dimenzionalnom prostoru kvaterniona kao relanom vektorskom prostoru, zatvorena s obzirom na kvaternionsko množenje i štoviše čini podgrupu multiplikativne grupe svih elemenata u Q\mathbb{R}Q različitih od nule. Naravno, ta podrgupa nije zatvorena s obzirom na zbrajanje.

category: zadarmat4

Last revised on March 28, 2019 at 07:49:52. See the history of this page for a list of all contributions to it.