Zoran Skoda
m3 sample2 2017

U testu nema uputa za rješenje, a ovdje stavimo ponekad za pomoć. Za primjer testa vidi m3 sample 2017. Ovdje su samo zadani neki dodatni zadaci.

.1. Nadji domenu realne funkcije f(x)=11+cos(x)f(x) = \frac{1}{1+cos(x)}.

Uputa: nazivnik mora biti različit od nule, dakle cos(x)1cos(x)\neq -1.

.2. Nadji logaritam po bazi 1/41/4 od 1616 ako je 16=4×416 = 4\times 4.

Uputa: 16=4×4=(1/4×1/4) 1=1/4 216 = 4\times 4 = (1/4\times 1/4)^{-1} = 1/4^{-2}, dakle 2-2.

.3. Rastavi na parcijalne razlomke 2x+1(x+3)(x2)\frac{2 x+1}{(x+ 3)(x-2)}

Uputa: Taj polinom je jednak Ax+3+Bx2=A(x2)+B(x+3)(x+3)(x2)\frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2} = \frac{A(x-2) + B(x+3)}{(x+3)(x-2)} za neke brojeve AA i BB. Kako je nazivnik isti, mora isti biti i brojnik A(x2)+B(x+3)=2x1A(x-2)+B(x+3)=2x-1, a dva su polinoma jednaka ako imaju jednake koeficijente. Dakle A+B=2A+B = 2 i 2A+3B=1-2A+3B = 1 iz čega rješavanjem sustava dobijemo AA i BB.

.4. Što je to asimptota nekog grafa u koordinatnoj ravnini? Kada kažemo da je asimptota vertikalna, kada je horizontalna i kada kažemo da je kosa ?

.5. Riješi sustav jednadžbi grafički: x+y1x + y \geq 1 i x2y2<4x - 2 y - 2 \lt 4. Na slici neka bude područje koje odgovara rješenju duplo šrafirano.

.6. Izračunaj bez kalkulatora

  • cos(135 )=\cos(135^\circ)=

  • ln(e 2)=\ln(e^{-2})= (vidi logaritam, lnln označava prirodni logaritam, tj. po bazi ee)

  • 2 log 24=2^{\log_2 4}=

  • 33 6={}^3\sqrt{3^6}=

  • tg(π/4)=tg(-\pi/4) =

  • e i7π/6e^{i \cdot 7 \pi/6 } gdje je i=1Ci= \sqrt{-1}\in\mathbf{C} (uputa: Eulerova formula e iϕ=cosϕ+isinϕe^{i\phi} = cos\phi + i sin\phi ako je ϕR\phi\in\mathbf{R})

  • arccos(3/2)arc cos (-\sqrt{3}/2)

.7. Nađi korijen kompleksnog broja 1+i\sqrt{-1+i}.

Uputa: Ako je taj korijen oblika u+viu + v i gdje su uu i vv realni brojebi, tada 1+i=(u+vi) 2=(u 2v 2)+2uvi- 1 + i = (u+ v i)^2 = (u^2-v^2) + 2 u v i , dakle tada je za 1+i=(u 2v 2)+2uvi- 1 + i = (u^2-v^2) + 2 u v i realni dio jednak realnom u 2v 2=1u^2 - v^2 = -1 i imaginarni dio jednak imaginarnom, 2uv=1 2 u v = 1. To je sustav dvoje jednadžbe s dvije nepoznanice. v=1/(2u)v = 1/(2u) ubacimo u prvu i dobijemo bikvadratnu jednadžbu u 21/(4u 2)=1 u^2 - 1/(4 u^2) = -1. Stavimo u 2=tu^2 = t (mora biti 0\geq 0 jer je uu realan broj) pa dobijemo t1/4t=1t - 1/4 t = -1, i pomnožimo s t>0t\gt 0 pa ispada t 2+t1/4=0t^2 + t -1/4 = 0. To je kvadratna jednadžba i gledamo samo pozitivno rješenje za tt, a to je 1/2+2/2-1/2+\sqrt{2}/2. Korijenujemo taj broj i dobijemo uu i iz njega vv.

.8. Nađi nultočke funkcije tg(x/3+π/4)tg(x/3+\pi/4).

Uputa: tangens je nula za argument koji je 0,±π,±2π,±3π0,\pm\pi,\pm 2\pi, \pm 3\pi\ldots. Dakle x/3+π/4=kπx/3+\pi/4 = k\pi gdje je kk\in \mathbb{Z} i riješimo tu jednadžbu za xx.

.9. Nađi determinantu 4×44\times 4 matrice

(1 0 0 3 1 1 1 1 0 3 3 6 1 0 2 1)\left(\array{ 1 & 0 & 0 & 3\\ 1 & 1 & 1 & -1\\ 0 & 3 & 3 & 6 \\1 & 0 & 2 &-1}\right)

Uputa: razvij po prvim retku pa trebaš izračunati 2 determinante od 3×33\times 3 matrice koje se pojave u razvoju.

Primjeri tekstualnih zadataka sa sustavima

Dva konja Bijelac i Vranac jedu sijeno. Ako Vranca hranimo 2.52.5 dana i Bijelca 44 dana potrošimo 44 bale sijena. Ako i Vranca hranimo 55 dana i Bijelca 66 dana, potrošimo 77 bala sijena. Koliko bala sijena dnevno pojede Vranac, a koliko Bijelac ?

Ako dva buldožera i jedan traktor u normalnom opterećenju za sat vremena potroše 75 litara nafte, a 5 buldožera i 3 traktora 195 litara nafte koliko troši traktor, a koliko buldožer na sat rada ?

Last revised on January 30, 2018 at 16:17:45. See the history of this page for a list of all contributions to it.