Zoran Skoda m3 sample 2017

U testu nema uputa za rješenje, a ovdje stavimo ponekad za pomoć.

.1. Nadji domenu realne funkcije $f(x) = ctg(\frac{3\pi}{x})$.

Uputa: Ne smijemo dijeliti s $0$ pa $x\neq 0$. Također $ctg(z) = \frac{cos(z)}{sin(z)}$ nije definiran u nultočkama funkcije sinus, odnosno za one $z$ koji su višekratnici od $\pi$ dakle $n\pi$ gdje je $n\in\mathbf{Z}$. Dakle, $3 \pi/x\neq n\pi$, dakle od realnih brojeva oduzmemo nulu i rješenja te jednadžbe, to lako riješite.

.2. Nadji logaritam po bazi $4$ od $1/32$ ako je $32 = 4\times 4\times 2$ i $4 = 2\times 2$.

Uputa: $4\times 4\times 2 = 4^1\times 4^1\times 4^{1/2} = 4^{5/2}$, dakle $4^{-5/2} = 1/32$.

.3. Riješi sustav jednadžbi

$$\begin{array}{lcl} A + 2 B + 3 C &=& 22\\ A - B - C &=& 6\\ 2A - B + C &=& 9 \end{array}$$

Rješenje je: A = 13, B = 12, C = -5

Napomena: sustav se može riješiti na više načina, no u testu će biti rečeno da li je to dano va,a na volju ili se mora neki zadatak riješiti Gaussovom metodom eliminacije (svođenje na trokutastu formu) ili da se mora riješiti Cramerovim pravilom.

.4. Nađi skup vrijednosti (prirodnu kodomenu) funkcije $\sqrt{x+3}-2$.

Uputa: korijen može poprimiti sve pozitivne vrijednosti, a rezultatu se oduzima dvojka pa su moguće sve vrijednosti od $-2$ na više.

.5. Napiši što je to Dedekindov rez.

Uputa: vidi realni broj.

.6. Izračunaj bez kalkulatora

• $\cos(270^\circ)=$

• $\ln(e^3)=$ (vidi logaritam, $ln$ označava prirodni logaritam, tj. po bazi $e$)

• $2^{\log_4 6}=$ (uputa: kako zamo logaritam po bazi $4$ od nečeg, dobro je da se $2$ napiše preko baze $4$, tj. kao $4^{1/2}$)

• ${}^3\sqrt{3^6}=$

• $tg(-4\pi/3)=$

• $e^{i \pi/3}$ gdje je $i= \sqrt{-1}\in\mathbf{C}$ (uputa: Eulerova formula $e^{i\phi} = cos\phi + i sin\phi$ ako je $\phi\in\mathbf{R}$)

• $arc cos (1/2)$

.7. Kolika je domena realne funkcije $\sqrt{1-2 x^4}$

Uputa: Drugi korijen vadimo samo iz broja koji je pozitivan ili nula (ako nedemo na kompleksne funkcije). Dakle, $1- 2x^4 \geq 0$. To znači da $1/2\geq x^4$. Kako je pozitivni četvrti korijen pozitivnog broja rastuća funkcija, a negativni četvrti korijen pozitivnog broja padajuća funkcija, to znači da je ${}^4\sqrt{1/2}\geq |x|$, dakle $x\in [-{}^4\sqrt{1/2},{}^4\sqrt{1/2}]$.

.8. Nađi nultočke funkcije $3\sin(x+\pi/3)$.

Uputa: kosinus je nula kad je njen argument (tj. ovdje $x+\pi/3$ neparni višekratnik od $\pi/2$; dakle kad je $x+\pi/3 = k\pi/2$ za neki cijeli broj $k$). Ako ne znate kad je recimo kosinus nula, nacrtajte si trigonometrijsku kružnicu i koristite definiciju pa ćete dobiti vrijednosti između $0$ i $2\pi$ kad je to tako i ako dodate $2\pi$ bilo koliko puta opet to vrijedi jer $2\pi$ ne utiče na trigonometrijske funkcije.

.9. Pomnoži matricu $A =\left(\array{ 2 & 3\\ 2& -1 \\ 0 & 2}\right)$ matricom $B = \left(\array{1 & 1 & 0\\ 6 &-2 & 0}\right)$ u tom redoslijedu.

Uputa: rješenje je matrica s tri reda i tri stupca.

Još neki mogući tipovi zadataka: kvadratna jednadžba, domene racionalnih funkcija, dijeljenje polinoma s ostatkom, računanje determinante zadane matrice, napiši sustav linearnih jednadžbi za problem koji je dan tekstom, sustav linearnih nejednadžbi, korijen kompleksnog broja, rastav na racionalne funkcije na parcijalne razlomke, prirodna kodomena funkcije, određivanje je li neka funkcija parna, neparna ili ni jedno od toga, je li neka funkcija periodična ili ne, koji je period neke funkcije…Bit će naknadno još uputa i primjera do vikenda.