Zoran Skoda realan broj

Mjesni zapis brojeva i decimalni brojevi

Simboličko ime nekog broja (engl. number) u nekom sustavu zapisivanja zove se brojka (engl. numeral) ili zapis broja. Najčešće koristimo mjesne (pozicijske) zapise.

Kod mjesnih zapisa prirodnih ili cijelih brojeva koristi se konačni alfabet simbola koji označavaju brojeve od $0$ do nekog prirodnog broja $n-1$ koje zovemo znamenkama. Broj $n$, koji treba biti $2$ ili više, zovemo baza mjesnog zapisa. Ako je $n = 2$, govorimo o binarnom zapisu, ako je $n = 10$ dekadskom zapisu i ako je $n = 16$ heksadekadski (nekad kažu heksadecimalni) zapis. Znamenke pišemo linearno u nekom poredak čineći slog (= konačni niz) znamenaka, svako mjesto u slogu ima neku mjesnu težinu. Npr. u dekadskom sustavu koristimo znamenke $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$, najdesnija znamenka ima mjesnu težinu $10^0 = 1$, slijedeća ulijevo ima mjesnu težinu $10^1 = 10$, pa $10^2 = 100$ itd. Vrijednost brojke odnosno broj koji označava brojka je zbroj umnožaka znamenaka s pripadnim mjesnim težinama. Npr. $254 = (254)_{10} = 2\cdot 10^2 + 5 \cdot 10 + 4\cdot 1$. Takve brojke zovemo i brojevima u dekadskom zapisu, ili dekadskim brojkama.

Konačni decimalni brojevi su razlomci koji se dobivaju sličnim algoritmom iz brojke koja ima i decimalnu točku (decimalni zarez, ovisno o konvencijama) i konačan slog znamenki nakon (tj. desno od) decimalne točke, npr. 231.01012. Mjesne težine lijevo od decimalne točke imaju značenje kao i kad ne bi bilo decimalne točke i znamenaka nadesno od nje, a mjesne težine desno od decimalne točke imaju redom decimalne težine $10^{-1}, 10^{-2},\ldots$. Dakle interpretiramo

$$231.01012 := 2\cdot 10^2 + 3\cdot 10 + 1 + 0\cdot 10^{-1} + 1\cdot 10^{-2} + 0\cdot 10^{-3} + 1\cdot 10^{-4} + 2\cdot 10^{-5}$$

Alternativno, isti rezultat bi dobili kad bi izbrojili broj decimalnih mjesta iza, tj. zdesna od decimalne točke i uzeli mjesnu težinu tamo kao množitelj početne brojke bez decimalne točke, tj. $231.01012 = 23101012 \cdot 10^{-5}$, a $23101012$ interpretiramo kao cijeli broj. Decimalni brojevi su razlomci (jer su zbroj razlomaka s nazivnicima koji su potencije broja $10$) pa na njima možemo provoditi računske operacije. Da naglasimo razliku od drukčijeg pojma beskonačnog decimalnog broja, decimalne brojeve zovemo i konačni decimalni brojevi. Primijetite da brojke $0.120$, $0.12$ i $0.120000$ označavaju isti decimalni broj kao razlomak. Kako razlomke znamo zbrajati, možemo zbrajati i konačne decimalne brojeve. Lako je provjeriti da kao rezultat opet dobijemo konačni decimalni broj. Zbrajanje i ostale računske operacije mogu se opisati i algoritmima u terminima decimalnih brojeva, bez da se svode na binarne operacije među razlomcima. Osnovna ideja je da se potencije broja $10$ množe tako da se zbrajaju eksponenti, $10^m\cdot 10^n = 10^{m+n}$, i da se decimalni brojevi zbrajaju tako da se zbroje vrijednosti znamenaka na istim decimalnim mjestima; pri tome, ako je zbroj znamenaka veći od najveće znamenke, tada se zbroj napiše opet preko mjesnog sustava i svaka znamenka nalijevo u tom zapisu se prenaša ulijevo (engl. carry on). Npr. u broju $130 + 180$ koristimo $8+ 3 = 1\cdot 10^1 + 1\cdot 10^0$, pa na mjestu desetica pišemo $1$, a na mjestu stotica $1+1+1$ gdje je prva jedinica od $130$, druga od $180$, a treća jedinica od prenašanja iz $1\cdot 10^1$ na mjestu težine $10^1$, dakle ima težinu $10^2$.

Realni brojevi kao beskonačni decimalni brojevi

“Beskonačni decimalni broj” je brojka koja se sastoji od dekadske brojke, decimalne točke desno od dekadske brojke i beskonačnog niza znamenaka desno od dekadske brojke. Dakle, po definiciji $0.456$ NIJE beskonačni decimalni broj, a $0.234444444...$ je.

Realne brojeva u kolegiju Matematika 1 u Zadru uveli smo na neformalan način kao razrede ekvivalencije beskonačnih decimalnih brojeva, tj. kao beskonačne decimalne brojeve pri čemu su identificirani brojevi koji završavaju na beskonačno mnogo devetki s pripadnim brojevima koji završavaju s nulama, npr. $0.009999999... = 0.01$ i $-0.12999999...=-0.13$. Ako beskonačnom decimalnom broju pridružimo njegov razred ekvivalencije, zvat ćemo ga vrijednost beskonačnog decimalnog broja, ili pripadni realni broj.

Ako u nekom zapisu konačnog decimalnog broja pripišemo beskonačan niz nula desno od najdesnije znamenke dobit ćemo beskonačni decimalni broj, i njegova vrijednost bit će realni broj. Na taj način smo uložili injekcijom skup konačnih decimalnih brojeva u skup realnih brojeva (to se kasnije pokaže kao ulaganje prstena). Svaki racionalni broj može se zapisati ili kao konačni decimalni broj ili kao beskonačan decimalan broj kod kojeg se neki slog brojki vječito ponavlja (beskonačni periodični decimalni brojevi). Podrazumijevamo da čitatelj zna klasičan algoritam pretvaranja takvih beskonačnih periodičnih decimalnih debrojeva u razlomke i obratno. Naravno, ako konačne decimalne brojeve gledamo kao beskonačne s nulama na desnom kraju, onda su racionalni brojevi točno oni realni brojevi koji se daju zapisati kao periodički beskonačni decimalni brojevi. Realne brojeve koji nisu beskonačni periodički zovemo iracionalnim brojevima. Npr. već su Pitagorejci znali da dijagonala kvadrata nije sumjerljiva sa stranicom tj. da drugi korijen iz 2 nije racionalni broj (sa standardnim dokazom). No, takvi iracionalni brojevi nisu najčudniji, jer je korijen iz 2, rješenje kvadratne jednadžbe $x^2 - 2 = 0$. Brojeve koji su rješenja jednadžbi oblika $P(x) = 0$ gdje je $P$ polinom s koeficijentima koji su cijeli brojevi zovemo algebarski brojevi. Korijen iz 2 je dakle iracionalan, ali algebarski. Svaki racionalan broj $p/q$ je očito algebarski jer rješava jednadžbu $q x - p = 0$. Danas je poznato da neki realni brojevi, recimo $\pi$ (Ludolfov broj) i $e$ (Eulerov broj, baza prirodnog logaritma) nisu algebarski, što je povijesno bilo teško dokazati. Takve, nealgebarske brojeve, zovemo transcendentni brojevi.

Obično se smatra i intuitivno uzima da se realni brojevi sad mogu zbrajati i množiti kao decimalni brojevi. No, problem je jer prijenos na lijevo (carry on) na nekom mjestu $n$ može doći od bilo koliko mjesta udesno, a čak i beskonačno ako uzmemo da je standardni predstavnik od $.00099999...$ jednak $.0010000...$. Npr. $.000232323...+.000767676... = .0009999...= 0.001000...$. Kod zbrajanja konačnih decimalnih brojeva nemamo taj problem jer zbrajamo recimo zdesna nalijevo i dok dodjemo do nekog decimalnog mjesta lako odredimo rezultat. Ovdje treba napisati algoritam koji će voditi računa o tome da moramo za neku znamenku znati i do proizvoljno mnogo znamenaka udesno, što postaje jako teško za umnožak dvaju realnih brojeva jer imamo kad proširujemo algoritam s konačnih decimalnih brojeva tada sumiramo beskonačno mnogo sumanada i u svakom koraku možemo prouzročiti prenašanje znamenaka ulijevo (carry on). Ocjene kad smo sigurni od prenašanja je moguće formulirati ali to svakako nije pametan način da se definiraju operacije na realnim brojevima (primijetimo da je tu i slučaj negativnih brojeva što dodatno usložnjuje algoritamske definicije), mada intuitivno lakše slučajeve često koristimo.

Zbog toga matematičari koriste i metode definiranja polja $\mathbb{R}$ realnih brojeva čija je rigoroznost i potpunost očitija ali koje su nešto dalje od aritmetičkih algoritama za konačne decimalne brojeve. Tu se koriste aksiomatski pristup, gdje je polje realnih brojeva jedinstveno polje s nekim nizom svojstava, te neki modeli u kojima se iz racionalnih brojeva definiraju realni brojevi na način koji omogućava lagano uvođenje i operacija: realni brojevi kao Dedekindovi rezovi u uređenom polju racionalih brojeva i realni brojevi kao razredi ekvivalencije Cauchyjevih nizova. Oba načina otkrića su iz 19. stoljeća.

Dedekindovi prerezi

Dedekindov prerez je particija skupa racionalnih brojeva na dva (po definciiji particije disjunktna) podskupa $L$ (lower) i $U$ (upper) takva da je $L$ neprazan, da sa svakim elementom $l\in L$, $L$ sadržava i sve elemente manje od $l$, i sa svakim elemenm $u\in U$, $U$ sadržava i sve elemente veće od $u$ i skup $L$ nema maksimalni element. Npr. $\sqrt{2}$ odgovara Dedekindovom prerezu

$$L = \{ q\in \mathbb{Q}\,|\,q^2\lt 2\}, \,\,\,\,\,\,U = \{q\in\mathbb{Q}\,|\, q^2\gt 2\}.$$

Uređeno polje je Arhimedovo ako za svaki njegov element $c$ i svaki pozitivni element $a\gt 0$ postoji prirodni broj $N$ takav da $c\lt N\cdot a$ (Arhimedov aksiom). To je dovoljno tražiti za $a = 1$.

Kažemo da je neki podskup $P\subseteq S$ linearno uređenog skupa $(S,\lt)$ ograđen odozgo, tj. ima gornju među ako u $S$ postoji gornja međa od $P$, tj. element $s\in S$ takav da $p\leq s$ za svaki $p\in P$. Supremum ili najmanja gornja međa skupa $P$ je najmanji element skupa svih gornjih međa skupa $P$ ako takav najmanji element postoji.

Uređeno polje je potpuno po Dedekindu ako svaki njegov odozgo ograđen podskup ima najmanju gornju među. Uređeno polje racionalnih brojeva nije potpuno po Dedekindu. Konstrukcijom Dedekindovih prereza može se proširiti uređeno polje koje nije potpuno u potpuno po Dedekindu uređeno polje. Skup realnih brojeva je jedinstveno uređeno polje koje je potpuno po Dedekindu i ujedno proširuje uređeno polje racionalnih brojeva. Skup realnih brojeva je ujedno i Arhimedovo polje (kažemo još i da u njemu nema beskonačno velikih brojeva niti beskonačno malih infinitezimala).

Cauchyjevi nizovi

Niz elemenata skupa $S$ je funkcija $a:\mathbb{N}\to S$ iz skupa prirodnih brojeva $\mathbb{N}$ u $S$. Vrijednost $a(n)$ za neki određeni $n$ označava se obično s $a_n$ i zove $n$-ti član niza. Niz $a$ ponekad označavamo kao familiju $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ili sugestivno $a_1,a_2,a_3,\ldots$. Sam izraz $a_n$ gdje je $n$ neodređen naziva se opći član niza $a$. Ponekad govorimo o formuli za niz (tj. funkciju niza) $a : n\mapsto a_n$ kao formuli za opći član niza, npr. $n \mapsto a_n = \left(1 +\frac{1}{n}\right)^n$.

Niz racionalnih brojeva $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ je Cauchyjev ako za svaki pozitivni racionalni broj $\epsilon\gt 0$ postoji početno mjesto u nizu, tj. broj $n_0$ takav da su svi brojevi u nizu nakon njega međusobno bliži od $\epsilon$, tj.$|a_n - a_m| \lt \epsilon$ za sve $n,m\geq n_0$.

Realni broj se može definirati kao razred ekvivalencije Cauchyjevih nizova racionalnih brojeva pri čemu su dva Cauchyjeva niza $a$ i $b$ ekvivalentna ako su počevši od nekog $n_0$ bilo koja dva njihova člana nakon $n_0$ po volji blizu, tj. za svaki $\epsilon\gt 0$ postoji $n_0$ tako da za za svaki $m\gt n_0$ vrijedi $|a_m- b_m| \lt \epsilon$ (mogli smo u definiciji uzeti dva različita $m,m'\gt n_0$ i tražiti $|a_m- a_{m'}|\lt \epsilon$).

Aritmetičke operacije $+$,$-$ i $\cdot$ na Cauchyjevim nizovima se definiraju $(a+b)_n = a_n + b_n$, $(a\cdot b)_n = a_n\cdot b_n$ i $(a - b)_n = a_n - b_n$. Te operacije se prenose s Cauchyjevih nizova na razrede ekvivalencije jer razred zbroja ne zavisi od izabranih predstavnika pribrojnika. Kod dijeljenja primijetimo da svaki razred ekvivalencije Cauchyjevih nizova u kojem nije nulniz ($a_n = 0$, za sve $n$) ima svojstvo da počevši od nekog $n_0$ svi članovi niza su različiti od nule (dapače, ili veći od nekog $\epsilon$ ili su svi manji od nekog $-\epsilon$). Dakle od tog mjesta svakako možemo dijeliti, a prvih konačno mnogo članova ne utječe na razred Cauchyjevog niza.

Kad već jednom imamo definirano polje realnih brojeva tada možemo definirati i Cauchyjeve nizove na isti način, samo su $a_n$ (i ako želimo, i $\epsilon$, mada to nije bitno) sad realni brojevi.

Svojstva skupa realnih brojeva

Skup $\mathbb{Q}$ racionalnih i i skup $\mathbb{R}$ realnih brojeva su uređena polja, tj. polja na kojima je zadan linearan uređaj $\lt$ za čije sve trojke elemenata $a,b,c$ vrijedi da ako je $0\lt a$ tada iz $b\lt c$ slijede nejednakosti $b + a\lt c+a$ i $b\cdot a\lt c\cdot a$.

Uređena polja $\mathbb{Q}$ i $\mathbb{R}$ su gusta u smislu da se strogo između ma koja dva broja $a\lt b$ nalazi barem jedan broj $c$, tj. broj takav da $a\lt c\lt b$. Iz toga lagano slijedi da postoji beskonačno takvih brojeva (jer kad nađemo $c$, onda možemo dalje naći po jedan između $a$ i $c$ i jedan između $b$ i $c$ i tako dalje.

Uređena polja $\mathbb{Q}$ i $\mathbb{R}$ su Arhimedova polja. To znači da za svaka dva elementa $r, s\gt 0$ postoji nenegativni cijeli broj $n$ takav da je $(n+1)\cdot s\gt r$. Ako uzmemo najmanji takav $n$, tada vrijedi i da $s\gt n\cdot s$. Za aksiom (Arhimedov aksiom) dosta uzeti poseban slučaj kad je $s = 1$, dakle svaki pozitivni realni broj je manji od nekog prirodnog broja. Opći slučaj onda slijedi kad u tom aksiomu zamijenimo $s$ sa $s/r$.

category: zadarmat1, zadarmat3, zadarmat4