Zoran Skoda m3 sample2 2017

U testu nema uputa za rješenje, a ovdje stavimo ponekad za pomoć. Za primjer testa vidi m3 sample 2017. Ovdje su samo zadani neki dodatni zadaci.

.1. Nadji domenu realne funkcije $f(x) = \frac{1}{1+cos(x)}$.

Uputa: nazivnik mora biti različit od nule, dakle $cos(x)\neq -1$.

.2. Nadji logaritam po bazi $1/4$ od $16$ ako je $16 = 4\times 4$.

Uputa: $16 = 4\times 4 = (1/4\times 1/4)^{-1} = 1/4^{-2}$, dakle $-2$.

.3. Rastavi na parcijalne razlomke $\frac{2 x+1}{(x+ 3)(x-2)}$

Uputa: Taj polinom je jednak $\frac{A}{x+3} + \frac{B}{x-2} = \frac{A(x-2) + B(x+3)}{(x+3)(x-2)}$ za neke brojeve $A$ i $B$. Kako je nazivnik isti, mora isti biti i brojnik $A(x-2)+B(x+3)=2x-1$, a dva su polinoma jednaka ako imaju jednake koeficijente. Dakle $A+B = 2$ i $-2A+3B = 1$ iz čega rješavanjem sustava dobijemo $A$ i $B$.

.4. Što je to asimptota nekog grafa u koordinatnoj ravnini? Kada kažemo da je asimptota vertikalna, kada je horizontalna i kada kažemo da je kosa ?

.5. Riješi sustav jednadžbi grafički: $x + y \geq 1$ i $x - 2 y - 2 \lt 4$. Na slici neka bude područje koje odgovara rješenju duplo šrafirano.

.6. Izračunaj bez kalkulatora

• $\cos(135^\circ)=$

• $\ln(e^{-2})=$ (vidi logaritam, $ln$ označava prirodni logaritam, tj. po bazi $e$)

• $2^{\log_2 4}=$

• ${}^3\sqrt{3^6}=$

• $tg(-\pi/4) =$

• $e^{i \cdot 7 \pi/6 }$ gdje je $i= \sqrt{-1}\in\mathbf{C}$ (uputa: Eulerova formula $e^{i\phi} = cos\phi + i sin\phi$ ako je $\phi\in\mathbf{R}$)

• $arc cos (-\sqrt{3}/2)$

.7. Nađi korijen kompleksnog broja $\sqrt{-1+i}$.

Uputa: Ako je taj korijen oblika $u + v i$ gdje su $u$ i $v$ realni brojebi, tada $- 1 + i = (u+ v i)^2 = (u^2-v^2) + 2 u v i$, dakle tada je za $- 1 + i = (u^2-v^2) + 2 u v i$ realni dio jednak realnom $u^2 - v^2 = -1$ i imaginarni dio jednak imaginarnom, $2 u v = 1$. To je sustav dvoje jednadžbe s dvije nepoznanice. $v = 1/(2u)$ ubacimo u prvu i dobijemo bikvadratnu jednadžbu $u^2 - 1/(4 u^2) = -1$. Stavimo $u^2 = t$ (mora biti $\geq 0$ jer je $u$ realan broj) pa dobijemo $t - 1/4 t = -1$, i pomnožimo s $t\gt 0$ pa ispada $t^2 + t -1/4 = 0$. To je kvadratna jednadžba i gledamo samo pozitivno rješenje za $t$, a to je $-1/2+\sqrt{2}/2$. Korijenujemo taj broj i dobijemo $u$ i iz njega $v$.

.8. Nađi nultočke funkcije $tg(x/3+\pi/4)$.

Uputa: tangens je nula za argument koji je $0,\pm\pi,\pm 2\pi, \pm 3\pi\ldots$. Dakle $x/3+\pi/4 = k\pi$ gdje je $k\in \mathbb{Z}$ i riješimo tu jednadžbu za $x$.

.9. Nađi determinantu $4\times 4$ matrice

$$\left(\array{ 1 & 0 & 0 & 3\\ 1 & 1 & 1 & -1\\ 0 & 3 & 3 & 6 \\1 & 0 & 2 &-1}\right)$$

Uputa: razvij po prvim retku pa trebaš izračunati 2 determinante od $3\times 3$ matrice koje se pojave u razvoju.

Primjeri tekstualnih zadataka sa sustavima

Dva konja Bijelac i Vranac jedu sijeno. Ako Vranca hranimo $2.5$ dana i Bijelca $4$ dana potrošimo $4$ bale sijena. Ako i Vranca hranimo $5$ dana i Bijelca $6$ dana, potrošimo $7$ bala sijena. Koliko bala sijena dnevno pojede Vranac, a koliko Bijelac ?

Ako dva buldožera i jedan traktor u normalnom opterećenju za sat vremena potroše 75 litara nafte, a 5 buldožera i 3 traktora 195 litara nafte koliko troši traktor, a koliko buldožer na sat rada ?