Zoran Skoda mat1-301120

Skraćeni zapis predavanja od 30.11.2020. Ovo predavanje ima sadržajno veliki preklop sa stranicom racionalni broj.

Razlomci i racionalni brojevi

Neki cijeli objekti se mogu dijeliti unutar sebe, oni su ili množina manjih objekata ili su neka neprekidna veličina koja ima svoje dijelove. Npr. u geometriji, dužina se može podijeliti na $n$ jednakih dijelova za bilo koji $n$.

Taj dio se zove $1/n$ ili $\frac{1}{n}$ gdje je $n$ prirodni broj (kasnije istu analogiju koristimo i ako je cijeli ali ne 0)

Pa onda $m/n$ bi bilo intuitivno $m$ takvih dijelova, tj. $m \frac{1}{n}$.

Formalno možemo dodati i negativne i interpretirati u nekim situacijama kao dug.

Hoćemo operacije na takvima +,-, množenje i dijeljenje

$n/n = 1$ i $p/q = p:q$ kad je $p$ djeljiv s $q$

Svakako ako na $n q$ dijelova dijelimo $n p$ dobijemo isto, barem je tako kad je $p$ djeljiv s $q$.

$\frac{p}{q} = \frac{n p}{n q}$ (objasni)

To pravilo bismo željeli uvesti kao relaciju ekvivalencije na skupu parova $p/q$, s $q\neq 0$, koje zovemo razlomci.

Prije svega ako $1/b$ interpretiramo kao predmet onda pribrojiti $c$ predmeta skupu od $a$ predmeta dobijemo $a+c$ predmeta, dakle

$$a/b + c/b = a\cdot 1/b + c\cdot 1/b = (a+c)\cdot 1/b = \frac{a+c}{b}$$

To pravilo proširimo na sve kombinacije dva razlomka tako da koristimo i pravilo proširivanja/skraćivanja od gore, $\frac{p}{q} = \frac{n p}{n q}$.

Dakle, $a/b + c/d$ najprije napišemo u terminima istog jediničng predmeta, koristeći pri tome neki zajednički višekratnik od $b$ i $d$, na primjer $b\cdot d$,

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a d}{b d} + \frac{b c}{b d} = \frac{a d + b c}{b d}$$

Možemo, alternativno gledati neki drugi zajednički višekratnik od $b$ i $d$, nazovimo ga $e$. Tada je $e = f b = g d$ za neke cijele $f$ i $g$ pa

$$\frac{a}{b} = \frac{f a}{f b} = \frac{f a}{e}$$

i analogno $\frac{c}{d} = \frac{g c}{g d} = \frac{g c}{e}$. Primijetimo da smo $g$ dobili tako da smo $e$ podijelili s $g$. Dakle,

$$a/b + c/d = f a/e + g c/ e = (f a + g c)/e$$

gdje je $f = e/b$ i $g = e/c$. Sva ta pravila ne zavise od toga koji smo $e$ uzeli.

Time smo dobili kako bi trebala operacija zbrajanja razlomka izgledati. No, kako smo imali više alternativnih načina moramo sve definirati na taj način od početka pazeći da su definicije dobre, odnosno da rezultat ne zavisi od raznih izbora koje smo imali.

Što je razlomak: uređeni par cijelih brojeva (prvi u paru zovemo brojnik, a drugi u zovemo nazivnik razlomka) gdje drugi broj (nazivnik) nije nula. Par $(m,n)$ u tom kontekstu označavamo notacijom $m/n$ ili $\frac{m}{n}$, a nekad i $m:n$. U praktičkim situacijama, $m/n$ nazivamo omjerom cijelih brojeva $m$ i $n$.

2/4 nije isti razlomak kao 1/2 (brojnik prvome je 2, a drugome je 1, pazimo da znamo što su brojnik i nazivnik da bismo mogli o njima pričati)

ali imaju jednaku brojevnu interpretaciju, dakle trebali bi imati istu brojevnu vrijednost! To znači da su ekvivalentni kao brojevi (nova vrsta brojeva). Razrede ekvivalencije s obzirom na najmanju relaciju ekvivalencije koja proširuje pravila proširivanja i skraćivanja

$$p/q ~ n p/ n q,\,\,\,\,\,\,\,n p/n q ~ p/q$$

ćemo zvati racionalni brojevi, a cijeli brojevi su specijalni slučaj, naime broj $n$ je klasa ekvivalencije razlomka $n/1$.

Gornju relaciju zaista trebamo proširiti. Naime, simetričnost smo uključili u definiciji, a refleksivnost je očita za $n=1$, ali bez proširenja nemamo tranzitivnost

$$(\forall a,c,e\in\mathbf{Z})(\forall b,d,f\in\mathbf{Z}\backslash\{0\})\,\, a/b ~ c/d\,\,\, \wedge\,\,\, c/d ~ e/f \implies a/b ~ e/f$$

6/9 ~ 24/36, 24/36 ~ 8/12 ali $6/9$ nije dobiven od $8/12$ jednim skraćivanjem ili proširivanjem, nego najprije proširimo do $24/36$, a onda skratimo do $8/12$. Kako možemo biti sigurni da li postoji takav postupak u dva (ili više) koraka ? Radije bismo uveli neki eksplicitniji kriterij.

Teorijski moramo uzeti najmanju relaciju ekvivalencije za koju vrijedi $p/q ~ n p/ n q$ (malo proširujemo, malo skraćujemo).

ali ovo je eksplicitniji drugi način: 12 je najveća zajednička mjera od 24 i 36 pa skratimo s njom, Vidimo da tako dobijemo 24/36 = 2/3 kao potpuno skraćen! To znači da su brojnik i nazivnik relativno prosti brojevi (najveća zajednička mjera im je $1$), dakle ne možemo naći broj kojim bismo podijelili brojnik i nazivnik i tako dalje skratili. Slično, 6/9 = 2/3 i 8/12 = 2/3. Općenito, dva su razlomka ekvivalentna ako imaju isti oblk u potpuno skraćenom obliku, pri čemu smo izabrali da je nazivnik uvijek pozitivan.

Efektivan je način dakle da $a/b ~ c/d$ ako imaju istu potpuno skraćenu formu.

Svaki razlomak je ekvivalentan nekom, pri tome jedinstvenom potpuno skraćenom razlomku.

Ona je jedinstvena, $a/b$ potpuno skratimo tako da gledamo najveću zajedničku mjeru $M(a,b)$ i skratimo tim brojem. No, nalaženje najveće zajedničke mjere je složen postupak i teško je teorijski s njime raditi.

Zato se uvodi i treći način koji je zapravo ekvivalentan s prva dva: $a/b ~ c/d$ akko $a d = b c$. Očito je $a: b = c : d$ kad ih možemo podijeliti kao cijele brojeve.

$6/9 ~ 8/12$ je jer $6\times 12 = 72 = 8 \times 9$

Ako je $a$ djeljiv s $b$ i $c$ djeljiv s $d$, dakle $a = m b$, $c = n d$, tada je $m = n$ ako i samo ako $m b d = n b d$, a kako je $b\neq 0$ to vrijedi onda i samo onda kad $a d = b c$.

Klase ekvivalencije $[a/b]$ razlomaka s obzirom ma relaciju ~ zovemo racionalni brojevi!!

Skup racionalnih brojeva označavamo $\mathbf{Q}$ (matematički debeli font od Q).

Funkciju razlomak $\mapsto$ klasa ekvivalencije tog razlomka zovemo “brojevna vrijednost”

$$2/3 \mapsto [2/3]\in\mathbf{Q}$$

ili vrijednost od $2/3$ kao racionalnog broja. Dakle, 2/3~4/6 ili $[2/3] = [4/6]$. U početku građenja teorije, radi razumijevanja što podrazumijevamo pod raznim matematičkim konceptima pazimo na razliku između racionalnog broja i razlomka. U praksi, uglate zagrade ne pišemo, i uvijek mislimo na racionalni broj, osim u momentu kad govorimo o “osminama” i slično, tj. kad govorimo o konkretnom brojniku i nazivniku, dakle o konkretnom predstavniku razreda ekvivalencije.

Razlika dva racionalna broja

Razlika dva broja je broj kojeg moramo dodati drugom broju da dobijemo prvi. To je vrijedilo dok je pojam broja bio “prirodni broj”, dok je pojam broja bio “cijeli broj”, a ista definicija vrijedi kad pod broj mislimo racionalni broj.

Razlika dva racionalna broja uvijek postoji kao racionalni broj, naime $a/b - c/d$ ima predstavnika $(a d - b c)/(b d)$. Zaista,

$$\array{\frac{a d - b c}{b d} + \frac{c}{d} &=& \frac{a d - b c}{b d} + \frac{b c}{b d} & \\ &=& \frac{(a d - b c) + b c}{b d} = &\frac{a d + (- b c + b c)}{b d} \\ &=& \frac{a d}{b d} = \frac{a}{b}& }$$

Relacija biti manji za cijele brojeve

Za cijele brojeve: negativni $\lt 0 \lt$ pozitivni, a ako su oba negativni ili oba pozitivni onda ih uspoređujemo ovako:

— negativne: $-n \lt -m$ ako $n \gt m$ kao prirodni brojevi

— pozitivne: $+n \lt +m$ ako $n \lt m$ kao prirodni brojevi

To je relacija strogog linearnog uređaja.

Relacija biti manji za racionalne brojeve

Relaciju biti strogo manji na skupu racionalnih brojeva definiramo u dva koraka.

Slučaj I) omjer $a/b \lt 0$ i kažemo da je racionalni broj $a/b$ negativan ako $a$ i $b$ imaju različiti predznak (to ne zavisi od predstavnika) i $a/b = 0$ ako $a = 0$. Iz toga onda vidimo kad je $a/b\gt 0$ (kad nije ni manji ni jednak $0$). U tom slučaju kažemo da je $a/b$ pozitivan. Svaki racionalni broj je pozitivan, negativan ili jednak nuli.

Slučaj II) $a/b \lt c/d$ ako $a/b - c/d \lt 0$ (kriterij kad je manji od $0$ je pod $I$)

Relacija biti strogo manji je relacija linearnog strogog uređaja na skupu racionalnih brojeva, dakle, relacija je tranzitivna, antirefleksivna i asimetrična u smislu da iz $a/b\lt c/d$ slijedi da nije nije istina da $c/d\lt a/b$. Linearnost znači da su svaka dva elementa usporediva, dakle ili je $a/b\lt c/d$, ili $c/d\lt a/b$, ili $a/b=c/d$ kao racionalni broj.

Dokaz tranzitivnosti za treći tip

Pravilo $a/b ~ c/d$ ako je $a d = b c$ definira relaciju ekvivalencije .

$a/b ~ a/b$ jer $a b = a b$ (refleksivnost vrijedi)

$a/b ~ c/d$ akko $a d = b c$, dok je $c/d ~ a/b$ akko $c b = a d$ što je isto. Dakle simetričnost vrijedi.

Da dokažemo tranzitivnost, pretpostavimo za neke $a,b,c,d,e,f\in\mathbf{Z}$ da je $d,e,f\neq 0$ i da je $a/b ~ c/d$ i $c/d ~ e/f$. To znači po definiciji da 1) $a d = b c$, 2) $c f = d e$

1. jednadžbu 1) pomnoži s $e$

   $a d e = b c e$

2. uvrsti 2) u tu jednadžbu (umjesto $d e$ piši $c f$)

   $a c f = b c e$

3. podijeli jednadžbu s $c$

   $a f = b e$

To znači $a/b ~ e/f$. Dakle tranzitivnost vrijedi.

To je jako korisno jer možemo odmah provjeriti. 6/20 isto ili ne kao 10/24 ali na prvi pogled je teško vidjeti je li ekvivalentno po drugim kriterijima. Ovaj kriterij ekvivalentnosti razlomaka je pak jednostavan. U tom slučaju pomnožimo i vidimo da 144 nije 200. Pitajmo malo preciznije, je li 6/20 ili 10/24 veće ? Oduzmemo,

$$6/20-10/24 = 3/5 - 5/12 = (36-25)/60 = 11/60 \gt 0$$

Rezultat je veći od nule. To znači da je $6/20 \gt 10/24$

Neki razlomci imaju apsolutnu vrijednost brojnika veću od apsolutne vrijednosti nazivnika

45 : 20 podijelimo s ostatkom

45 : 20 = 2 i 5 ostatak

$$45 = 20 \times 2 + 5$$

$$45/20 = 2 \times 20/20 + 5/20 = 2 + 5/20 = 2 + 1/4$$

nekad pišemo $2\frac{1}{4}$. Takav izraz zovemo nepravi rezlomak (način pisanja kao suma cijelog broja i razlomka, ali bez oznake +).

Svaki obični broj identificiramo s razlomkom: 5 = 5/1.

Na taj način $\mathbf{Z}$ postaje podskup od $\mathbf{Q}$. Slično tome, dijeljenje s ostatkom možemo koristiti i kod apstraktnih izraza.

$$(2 y + 3)/2 = 2 y/2 + 3/2 = y + 3/2$$

Množenje racionalnih brojeva

Množenje racionalnih brojeva je jednostavnije od zbrajanja:

$$\frac{a}{b} \cdot\frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d}$$

Između ostalog,

$$a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a\cdot b}{c} = \frac{a}{1}\cdot\frac{b}{c},$$

što je u skladu s gornjom motivacijom racionalnih brojeva.

Dijeljenje racionalnih brojeva

Dijeljenje dva prirodna broja, ili dijeljenje dva cijela broja nije uvijek definirano, nego samo onda kad je prvi broj djeljiv s drugim. Dijeljenje je uvijek definirano osim dijeljenja s nulom, tj. razredom ekvivalencije razlomka $0/1$.

Pod pretpostavkom da $b,c,d,f\neq 0$, pokušajmo naći $e/f$ tako da $a/b : c/d = e/f$ u smislu da

$$a/b = e/f\cdot c/d,$$

tj. dijeljenje je inverzno množenju: kad količnik pomnožimo s djeljiteljom dobijemo djeljenik. (To je kao da pomnožimo cijelu jednadžbu $a/b : c/d = e/f$ s $c/d$ i dobijemo ekvivalentnu jednadžbu.) Sada pomnožimo s $d$ i dobijemo

$$\frac{a d}{b} = \frac{e c}{f}$$

Dakle, $a d f = b c e$. Jedan način da zadovoljimo tu jednadžbu je ako stavimo $e = a d$, $f = b c$. Zaista, tada dobivamo $e f = f e$.

S druge strane, može se vidjeti da je rješenje gornje jednadžbe jedinstveno.

Rezultat je

$$\frac{a}{b}\colon\frac{c}{d}=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c}$$

To je uobičajeno pravilo za “dvostruki razlomak”.

Umnožak dva cijela broja je $0$ akko je barem jedan od njih nula. Isto vrijedi i za racionalne brojeve, gdje je nula $0/1$.

U skupu $\mathbf{Q}$ vrijede zakoni polja za zbrajanje i množenje: zbrajanje i množenje su definirani za svaka dva racionalna broja, imamo (obostrane) neutralne elemente s obzirom na zbrajanje i množenje, zbrajanje i množenje su komutativne i asocijativne operacije, svaki broj ima inverz s obzirom na zbrajanje (suprotan broj od $n$ je $-n$, a od $-n$ je $n$), svaki broj osim nule ima inverz s obzirom na množenje i vrijedi lijeva i desne distributivnost množenja prema zbrajanju. Zahvaljujući multiplikativnom inverzu svakog broja osim nule, možemo dijeliti sa svakim brojem osim nulom. To svojstvo nismo imali kod cijelih brojeva, a kod prirodnih nismo imali niti nulu, a time ni pojam suprotnog elementa nije imao smislu.

$1$ je neutralni element za množenje, $1 \cdot n = n = n \cdot 1$.

$0$ je neutralni element za zbrajanje, $0 + n = n = n + 0$.

Svaki element ima inverz s obzirom na zbrajanje

$$(-n) + n = 0 = n + (-n)$$

Sjetimo se da je (-3)/(-4) = 3/4, ali

$$3/4 + (-3)/4 = 0/4 = 0$$

Tako nalazimo inverz s obzirom na zbrajanje (suprotni element). Kod množenja,

$$3/4 \cdot 4/3 = 1$$

Svi razlomci osim nule imaju inverz s obzirom na množenje.

Komutativnost zbrajanja $a + b = b + a$ (zamijene mjesta)

Asocijativnost zbrajanja $(a + b)+ c = a + (b + c)$

Jednako kod množenja, komutativnost $a \cdot b = b\cdot a$ i asocijativnost $(a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)$.

$a\cdot (b + c) = a\cdot b + a\cdot c$ distributivnost množenja prema zbrajanju slijeva

$(b + c)\cdot a = b\cdot a + c\cdot a$ distributivnost množenja prema zbrajanju zdesna

Kažemo da cijeli brojevi čine prsten,
a racionalni čine polje(dvije operacije s tim svojstvima, kod racionalnih imamo dijeljenje, kod cijelih nemamo uvijek) Kod prirodnih ne jer nemamo inverz niti za zbrajanje.

Omjeri i razmjeri

Broj a : b zovemo omjer broja a i broja b.

U situacijama kad uspoređujemo dva omjera pa ako su isti kažemo da su pripadne vrijednosti razmjerne, i takve situacije su često.

Npr. ako kokoš i po za dan i po snese jaje i po koliko snesu tri kokoši za 5 dana ?

Možemo to riješiti tako da promatramo koliko kokoš snese dnevno i to zovemo $x$. Tada problem kaže da $1.5 \cdot 1.5 \cdot x = 1.5$. Iz toga slijedi $x = 1.5/(1.5\cdot 1.5) = (3/2)/(9/4) = 12/18= 2/3$. Tada je broj jaja od 3 kokoši u pet dana

$$3\cdot 5\cdot x = \frac{5\cdot 3\cdot 1.5}{1.5\cdot 1.5} = 10\,\,\,jaja$$

No mogli smo postaviti razmjer

koliko snese : (broj kokoši $\times$ broj dana) = uvijek isti

Kažemo da imamo proporcionalnost

koliko snese ~ broj kokoši $\times$ broj dana

gdje ~ označava proporcionalnost. Dakle,

$$1.5 : (1.5 \cdot 1.5) = ? : (3 \cdot 5)$$

pa je $? = 10$. Vidi i stranicu razmjeri.

Djelomični zapis sutrašnjeg predavanja će se pojaviti na stranici mat1-011220.

category: zadarmat1