Zoran Skoda mat4-240221

Osnovna stranica zadarmat4. Slijedeće predavanje mat4-250221. Vidi također grupa, monoid, wikipedia/group(mathematics).

pojam simetrije

Gledamo neki objekt i fiksiramo neka njegova bitna svojstva.

Simetrija je operacija na tom objektu koja čuva (ne mijenja) ta njegova bitna svojstva.

Operacija je nešto kao funkcija iz skupa u samog sebe. Ima smisla kompozicija u smislu da izvršimo jednu operaciju pa onda drugu i dobijemo treću operaciju.

Ako čuvamo svojstva u prvom koraku, čuvamo u drugom onda čuvamo u kompoziciji. Dakle, kompozicija simetrija je simetrija!

Ako se vraćamo isto ništa ne mijenjamo, dakle inverzna operacija je također simetrija.

Identiteta 1 je simetrija.

Skup svih simetrija S nekog objekta (s fiksiranim kriterijem što su to bitna svojstva) ima dakle binarnu operaciju $\circ : S \times S\to S$

i

0) za svake dvije simetrije $f,g$ njihova kompozicija je definirana

1) postoji element 1, neutralni element, tako da

$$f \circ 1 = f = 1 \circ f$$

2) asocijativnost - za svake tri simetrije $f,g,h$ vrijedi

$$(f \circ g)\circ h = f\circ (g\circ h)$$

3) za svaku simetriju $f$ postoji dvostrani inverz $f^-$ takav da

$$f^- \circ f = 1 = f \circ f^-$$

Grupa je dakle trojka $(S,\circ,1)$ takva da vrijede gornja svojstva za svaka tri elementa $f,g,h\in S$.

Primjer: skup cijelih brojeva s zbrajanjem + i nulom $0$, $(Z,+,0)$ je grupa. Ali skup prirodnih brojeva nije jer elementi nemaju inverz za zbrajanje (‘suprotni element’).

$n$-arna algebarska operacija na skupu $S$ je funkcija s $n$-terostrukog Kartezijevog produkta

S x S x S x … x S —> S

koja je svuda definirana, a ako je na podskupu od tog produkta onda govorimo o parcijalnoj algebarskoj operaciji.

Obostrani neutralni element je jedinstven! Dapače ako su redom $1_l$ i $1_r$ lijevi i desni neutralni elementi onda su oni jednaki, dakle obostrani neutralni element

Dokaz: $1_r = 1_l \cdot 1_r = 1_l$

Algebarska struktura je skup opremljen (ili: zajedno sa) nekom familijom algebarskih operacija na njoj.

Magma = BINARNA algebarska struktura = algebarska struktura s jednom binarnom (svuda definiranom) algebarskom operacijom

category: zadarmat4