Zoran Skoda mat4-240221

Osnovna stranica zadarmat4. Slijedeće predavanje mat4-250221. Vidi također grupa, monoid, wikipedia/group(mathematics).

pojam simetrije

Gledamo neki objekt i fiksiramo neka njegova bitna svojstva.

Simetrija je operacija na tom objektu koja čuva (ne mijenja) ta njegova bitna svojstva.

Operacija je nešto kao funkcija iz skupa u samog sebe. Ima smisla kompozicija u smislu da izvršimo jednu operaciju pa onda drugu i dobijemo treću operaciju.

Ako čuvamo svojstva u prvom koraku, čuvamo u drugom onda čuvamo u kompoziciji. Dakle, kompozicija simetrija je simetrija!

Ako se vraćamo isto ništa ne mijenjamo, dakle inverzna operacija je također simetrija.

Identiteta 1 je simetrija.

Skup svih simetrija S nekog objekta (s fiksiranim kriterijem što su to bitna svojstva) ima dakle binarnu operaciju :S×SS\circ : S \times S\to S

i

0) za svake dvije simetrije f,gf,g njihova kompozicija je definirana

1) postoji element 1, neutralni element, tako da

f1=f=1f f \circ 1 = f = 1 \circ f

2) asocijativnost - za svake tri simetrije f,g,hf,g,h vrijedi

(fg)h=f(gh) (f \circ g)\circ h = f\circ (g\circ h)

3) za svaku simetriju ff postoji dvostrani inverz f f^- takav da

f f=1=ff f^- \circ f = 1 = f \circ f^-

Grupa je dakle trojka (S,,1)(S,\circ,1) takva da vrijede gornja svojstva za svaka tri elementa f,g,hSf,g,h\in S.

Primjer: skup cijelih brojeva s zbrajanjem + i nulom 00, (Z,+,0)(Z,+,0) je grupa. Ali skup prirodnih brojeva nije jer elementi nemaju inverz za zbrajanje (‘suprotni element’).

nn-arna algebarska operacija na skupu SS je funkcija s nn-terostrukog Kartezijevog produkta

S x S x S x … x S —> S

koja je svuda definirana, a ako je na podskupu od tog produkta onda govorimo o parcijalnoj algebarskoj operaciji.

Obostrani neutralni element je jedinstven! Dapače ako su redom 1 l1_l i 1 r1_r lijevi i desni neutralni elementi onda su oni jednaki, dakle obostrani neutralni element

Dokaz: 1 r=1 l1 r=1 l1_r = 1_l \cdot 1_r = 1_l

Algebarska struktura je skup opremljen (ili: zajedno sa) nekom familijom algebarskih operacija na njoj.

Magma = BINARNA algebarska struktura = algebarska struktura s jednom binarnom (svuda definiranom) algebarskom operacijom

category: zadarmat4

Last revised on February 25, 2021 at 11:38:17. See the history of this page for a list of all contributions to it.