Zoran Skoda zadarmat4

Matematika 4 - algebarske strukture i linearna algebra

Stranica merlina. Zapis prvog predavanja, mat4-230302.pdf.

Gradivo

Predmet se sastoji od dva dijela – algebarske strukture i vektorski prostori, a izlaganje drugog dijela ovisi o nekim pojmovima iz prvog. Na kraju drugog dijela rade se primjene u analitičkoj geometriji, što se uvjetno može shvatiti i kao treći dio kolegija.

I dio: algebarske strukture

• I dio: I a) algebarska struktura (algebarska struktura je skup $A$ zajedno s nekom množinom algebarskih operacija $A\times A\times \ldots \times A\to A$), parcijalna algebarska struktura (operacije su definirane samo na nekom podskupu elemenata kartezijevog produkta $A^{\times n} = A\times A\times \ldots\times A$; npr. Brandtovi grupoidi)

• I b) binarna algebarska struktura (ima jednu binarnu operaciju) ili magma (staro ime: grupoid); posebni tipovi magmi:

polugrupa (binarna operacija je asocijativna), monoid (asocijativna s neutralnim elementom za množenje), polugrupa riječi na danom alfabetu, monoid riječi na danom alfabetu uključujući praznu riječ; komutativnost binarne operacije, komutativne magme

• I c) grupa (monoid takav da svaki element ima dvostrani inverz); komutativne ili Abelove grupe, razna svojstva grupa (nekoliko sati) i primjeri; (homo)morfizmi algebarskih struktura, izomorfizmi, podgrupe, normalne podgrupe, lijeve i desne susjedne klase, kvocijentni skup, lijeva i desna kvocijentna grupa s obzirom na normalnu podgrupu; Cayleyeva tablica množenja u grupi, grupe permutacija, Cayleyev teorem (svaka grupa je izomorfna nekoj grupi permutacija). Kod permutacija je napravljena digresija prema principima prebrojavanja u jednostavnoj kombinatorici; neke primjene su i na vjerojatnost.

• I d) najvažnije strukture s dvije binarne operacije: prstenovi i njihovi posebni slučajevi tijela i polja. Primjeri struktura s dvije binarne operacije su prsten polinoma (opširna tema u Matematikama 3 i 4) te brojevni sustavi prirodnih $\mathbf{N}$, cijelih $\mathbf{Z}$, racionalnih $\mathbf{Q}$, realnih $\mathbf{R}$ i kompleksnih brojeva $\mathbf{C}$ gdje vrijede inkluzije skupova $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ (radili smo definicije tih skupova, definicije aritmetičkih operacija na tim skupovima brojeva – taj dio je ponavljanje matematike 1 – te koje algebarske strukture tako dobivamo). Ukratko se obrađuju još neki važni primjeri kao što su (nekomutativno) tijelo kvaterniona $\mathbf{R}Q$, polja $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ ostataka modulo $p$ gdje je $p$ prost broj te razni Booleovi prsteni od značaja u informatici.

II dio: vektorski prostori

• II dio: vektorski prostori i linearni operatori; veze s rješavanjem sustava linearnih jednadžbi

  • II a) vektorski prostor: definicija, primjeri, skup izvodnica, baza, ekvipotentost baza, dimenzija vektorskog prostora

  • II b) linearni operator: definicija, primjeri, zapis linearnog operatora između konačno-dimenzionalnih vektorskih prostora u bazi (uglavnom u slučaju $\mathbf{R}^m\to \mathbf{R}^n$) – pojam matrice i determinante matrice

  • Primjeri vektorskih prostora. Definicija vektora u 2d i 3d geometriji kao klasa ekvivalencije usmjerenih dužine, definicija zbrajanja tako definiranih vektora i množenja vektora skalarom; $n$-dimensionalni vektorski prostor $\mathbb{F}^n$ stupaca od $n$ elemenata u polju $\mathbb{F}$

III Primjene vektorskih prostora: analitička geometrija

Kao primjena linearne algebre radi se pomalo i analitička geometrija (geometrija u koordinatama). Vidi analiticki zadaci za primjere geometrijskih računa s vektorima i koordinatama te dodatna objašnjenja o projiciranju vektora na projekcije analiticki. Posebna pažnja je na slučajeve ravnine i prostora – zato ćemo ponoviti iz matematike 2 i tražiti na ispitu i sadržaj stranice aksiomi stereometrije gdje su i sintetičke definicije odnosa točaka, pravaca i ravnina u prostoru, uključujući incidentnost, paralelnost, međusobne kuteve i okomitost u prostoru.

• Osnove pristupa euklidskoj geometriji u terminima koordinata i vektora (Weylova aksiomatika euklidske geometrije i koordinatizacija preko bijekcije između skupa točaka $n$-dimenzionalnog prostor $\mathbf{R}^n$ i $n$-dimenzionalnog euklidskog prostora). Usporedba sa sintetičkom aksiomatikom iz Matematike 2. Parametrizirane krivulje i plohe. Geometrija pravaca i ravnina. Paralelepiped, prizma i piramida. Kugla i sfera, valjak, stožac/konus/čunj i krati osvrt na čunjosječnice. Poprečni prerezi tijela. Udaljenost među točkama i ravninama, točkama i pravcima, kutevi između pravaca i ravnina. Paralelnost i okomitost.

• Zadaci iz analitičke geometrije u prostoru pomoću vektora, korištenje skalarnog umnoška vektora u $n$ dimenzija, vektorskog produkta 2 vektora u $3$ dimenzije i mješovitog produkta tri vektora u tri dimenzije koji je koristan npr. kod računanja volumena prizmi, paralelepipeda i piramida u 3 dimenzionalnom prostoru. Vidi analiticki zadaci, projekcije analiticki, aksiomi stereometrije, parametrizacije u geometriji i glave 5 (pdf) i 6 (pdf) iz Horvatićeve knjige.

• Analitička geometrija ove godine uključuje ilustracije, zadaće i projekte u dinamičkom sustavu geogebra. Taj program može služiti kao nastavno pomagalo i alat za stvaranje geometrijskih prezentacija i drugih nastavnih pomagala.

Dio bilješki s online predavanja iz 2021

mat4-240221, mat4-250221, mat4-030321, mat4-040321, mat4-100321.pdf, mat4-110321.pdf, mat4-170321.pdf, mat4-180321.pdf, mat4-240321.pdf,

mat4-250321.pdf, mat4-310321.pdf, mat4-070421.pdf, mat4-080421.pdf, mat4-140421.pdf, mat4-150421.pdf, mat4-210421.pdf, mat4-280421.pdf, mat4-290421.pdf, mat4-050521.pdf, mat2-060521.pdf (zajednički zapis predavanja iz mat2 i mat4 iz vezanog gradiva 6.5.), mat4-120521.pdf, mat4-130521.pdf

Zadaci i testovi

Pismeni ispiti iz 2024: mat4t240613.pdf, mat4t240626.pdf, mat4t240626b.pdf

Pismeni ispiti 2023: mat4t230906.pdf, mat4t230704.pdf, rješenje mat4t230704rja1.pdf, mat4t230704b.pdf, rješenje mat4t230704rjb.pdf, mat4t230613.pdf, rješenje mat4t230613rj.pdf

Ispiti 2022.: mat4t220607.pdf, mat4t220615.pdf

Rješenja testa od 10.6.2021. mat4t100621r.pdf; test od 1.7.2021. mat4t010721.pdf.

Ispiti 2018. pdf (dio rješenja na satu mat4-230601.pdf), drugi ljetni rok pdf

Ispiti 2017. rok1A, rok1B, rok2A, rok2B, rok3, rok4

Test teorije s rješenjima od 24. 5. 2017., grupa A, grupa B

Mali test iz 2018, grupa A, grupa B. Vidi i analiticki zadaci. Predrok iz 2018 pdf.

Primjerci završnog testa od 2016. su 1, 2, 3.

Upute za mali test 24.5.2017.: zadarmat4k12017.

Predznanje (što ponoviti iz Mat 1-3)

Predznanje: skupovi, relacije, funkcije, surjekcije, injekcije, bijekcije, uređena $n$-torka elemenata, Kartezijev produkt skupova, osnovni brojevni sustavi (prirodni broj, cijeli broj, racionalni broj, realni brojevi, kompleksni broj). Svim tim temama potrebno je vladati i na ispitu, a brojevni sustavi su i posebno ponovljeni na satu u kontekstu primjera algebarskih struktura pa neka pitanja o njima uvijek dolaze na usmenom ispitu.

Važni primjeri simetrija su iz geometrije pa je dobro sjećati se izometrija.

Podsjetimo se ugrubo i prebrojavanja (to je bilo rađeno u travnju u vezi s permutacijama i kao ponavljanje principa prebrojavanja iz Matematike 1; moguća primjena u vjerojatnosti), vidi prebrojavanje. Također ove godine ima i više pitanja u vezi sa standardnim brojevnim sustavima $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset \mathbb{C}$ (ponavljanje iz matematike 1).

Literatura

Neke temeljne nazive u matematici na hrvatskom jeziku možete naći u Struni.

Prema silabusu preporučena literatura je skripta

• K. Horvatić, Linearna algebra, Tehnička knjiga 2005 (integralno izdanje bazirano na K. Horvatić, Linearna algebra I, II, SN liber 1986; te kao skripta PMF, Zagreb, više izdanja do 1999)

koja u prvom dijelu ima osnove teorije grupa, prstenova, tijela i polja, a drugi se koncentrira na vektorske prostore i linearne operatore te na primjenu u analitičkoj geometriji. Tokom semestra veći dio teorijskog gradiva će biti izložen i na webu.

Neki korisni pojmovi koje treba znati iz Matematike I su obrađeni u natuknicama: funkcija, uređaj, relacija ekvivalencije…Vektore u 2d i 3d radimo i u matematici 2, vidi vektor, a matrice i u matematici 3, pa se dio gradiva naslanja na to znanje. Neke temeljne nazive u matematici na hrvatskom jeziku, ponekad manje formalno, možete naći u Struni http://struna.ihjj.hr.

Iz izvedbenog plana

Pojam operacije simetrije, pojam grupe, primjeri. Pojam algebarske strukture.

Magma, polugrupa i monoid. Primjeri: polugrupa i monoid riječi na danom alfabetu.

Grupe, Cayleyeva tablica grupe. Primjeri grupa simetrija poligona, poliedra i kristalografske grupe. Abelove grupe. Graf konačne grupe. Podgrupe i homomorfizmi, izomorfizmi, automorfizmi. Permutacije. Broj permutacija.

Grupe permutacija. Cayleyev teorem. Centralne i normalne podgrupe. Susjedne klase grupe s obzirom na podgrupu. Lagrangeov teorem. Kvocijentna grupa. Slučaj Abelovih grupa. Djelovanja grupa.

Prsteni. Komutativni i nekomutativni prsteni. Djelitelji nule, tijela i polja. Primjeri i kontraprimjeri. Prsteni kvadratnih matrica. Tijelo kvaterniona. Prezentacija softvera u algebri. Geogebra (planiran je i mathsage, ali nije obrađen).

Brojevni sustavi kao primjeri algebarskih struktura s ponavljanjem definicija i konstrukcija brojevnih sustava N,Z,Q,R,C iz Matematike 1. Trigonometrijski zapis kompleksnog broja. n-ti korijen kompleksnog broja.

Polinomi nad poljem. Operacije nad polinomima. Teorem o dijeljenju polinoma s ostatkom. Euklidov algoritam za zajedničku mjeru polinoma. Identiteti za polinome. Nultočke polinoma. Osnovni teorem algebre. Rastav polinoma na proste množitelje. Pojam algebarskog broja i transcendentnog broja. Binomna formula.

Važni primjeri prstena: aritmetika ostataka modulo p, konačna polja, Booleovi prsteni i njihovo pojavljivanje (logika, skupovi, elektronički sklopovi). Prstenovi matrica s elementima u polju, tijelu ili čak drugom prstenu.

Vektori u 2 i 3 dimenzije kao razredi ekvivalencije usmjerenih dužina. Zbrajanje vektora i množenje sa skalarom. Duljina vektora, komponente vektora. Smjer i smisao vektora. Skalarni,vektorski i mješoviti umnožak vektora i njihova geometrijska interpretacija. Ovaj dio je velikim dijelom ponavljanje s kraja kolegija Matematika 2. Definicija vektorskog prostora nad poljem. Linearne kombinacije vektora. Linearna ljuska skupa vektora.

Linearna nezavisnost skupa vektora, baza i dimenzija vektorskog prostora. Zapis vektora u bazi. Prostori vektor redaka i vektor stupaca brojeva.

Vektori reci i stupci kao posebni slučaj matrica. Množenje matrice i vektora. Skalarni umnožak u više dimenzija. Vektorski potprostori.

Koordinatni sustav u ravnini i prostoru s naglaskom na vektorski prikaz. Biranje ishodišta. Afini prostor. Pravci i ravnine u vektorskom pristupu. Paralelni i okomiti pravci i ravnine. Kut između ravnina. Okomica na ravninu. Udaljenost od točke do ravnine. Udaljenost od točke do pravca. Udaljenost između dva mimoilazna pravca. Volumen paralelepipeda.

Jednadžbe kružnice i kugle. Parametarska jednadžba krivulje. Presjek krivulja kao rješenje sustava jednadžbi. Kvalitativno ponavljanje aksiomatike stereometrije i diskusija osnovnih tipova izometrija u 2 i 3 dimenzije. Parametarska jednadžba površine, primjeri u geogebri.

Linearni operatori i njihova veza s matricama. Množenje matrica kao kompozicija linearnih operatora. Matrični prikaz i geometrijska interpretacija sustava linearnih jednadžbi. Geometrijska interpretacija rješenja sustava linearnih jednadžbi.

Izometrije prostora i ravnine u terminama matrica i vektora. Matrice rotacije u ravnini kao linearnog operatora. Dilatacije (homotetije u prostoru s koeficijentom $\lambda\gt 0$, nisu obrađene 2018., vidi dilation). Osna simetrija.

category: zadarmat4