Zoran Skoda
zadarmat4

Matematika 4 - algebarske strukture i linearna algebra

Kao primjena linearne algebre radi se pomalo i analitička geometrija (geometrija u koordinatama) vidi analiticki zadaci te dodatna objašnjenja o projiciranju vektora na projekcije analiticki. Posebna pažnja je na slučajeve ravnine i prostora (zato ćemo ponoviti iz matematike 2 i tražiti na ispitu i sadržaj stranice aksiomi stereometrije. Analitička geometrija ove godine uključuje i zadaće i projekte u dinamičkom sustavu geogebra. Taj program može služiti kao nastavno pomagalo i alat za stvaranje geometrijskih prezentacija i drugih nastavnih pomagala.

Test teorije s rješenjima od 24. 5. 2017., grupa A, grupa B (pdf). Nova stranica analitička geometrija. Ažurirana stranica aksiomi stereometrije.

Novo: prvi ljetni rok od 2018 pdf, drugi ljetni rok pdf

rokovi od 2017 rok1A, rok1B, rok2A, rok2B, rok3, rok4

Mali test iz 2018, grupa A, grupa B. Vidi i analiticki zadaci. Predrok iz 2018 pdf.

Primjerci završnog testa od 2016. su 1, 2, 3.

Osim gradiva koje je tamo ove godine je više vektorskog računa uključujući i primjene u analitičkoj geometriji ravnine i prostora. Stranica analiticki zadaci daje primjere geometrijskih računa s vektorima i koordinatama. Svakako se podsjetite definicije na stranici aksiomi stereometrije.

Podsjetimo se ugrubo i prebrojavanja (to je bilo rađeno u travnju u vezi s permutacijama i kao ponavljanje principa prebrojavanja iz Matematike 1; moguća primjena u vjerojatnosti), vidi prebrojavanje. Također ove godine ima i više pitanja u vezi s standardnim brojevnim sustavima \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset \mathbb{C} (ponavljanje iz matematike 1).

Novo – upute za mali test u srijedu 24. svibnja na stranici zadarmat4k12017. Ove godine test će obuhvaćati znatno više gradiva s obzirom da je ove godine rađeno više računa u koordinatama i više su rađeni vektorski prostori.

Predznanje: skupovi, relacije, funkcije, surjekcije, injekcije, bijekcije, uređena nn-torka elemenata, Kartezijev produkt skupova, osnovni brojevni sustavi (prirodni broj, cijeli broj, racionalni broj, realni brojevi, kompleksni broj). Svim tim temama potrebno je vladati i na ispitu, a brojevni sustavi su i posebno ponovljeni na satu u kontekstu primjera algebarskih struktura pa neka pitanja o njima uvijek dolaze na usmenom ispitu.

Važni primjeri simetrija su iz geometrije pa je dobro sjećati se izometrija.

Neke temeljne nazive u matematici na hrvatskom jeziku možete naći u Struni.

Prema silabusu preporučena literatura je skripta

  • K. Horvatić, Linearna algebra, Tehnička knjiga 2005 (integralno izdanje bazirano na K. Horvatić, Linearna algebra I, II, SN liber 1986; te kao skripta PMF, Zagreb, više izdanja do 1999)

koja u prvom dijelu ima osnove teorije grupa, prstenova, tijela i polja, a drugi se koncentrira na vektorske prostore i linearne operatore te na primjenu u analitičkoj geometriji. Tokom semestra veći dio teorijskog gradiva će biti izložen i na webu.

Neki korisni pojmovi koje treba znati iz Matematike I su obrađeni u natuknicama: funkcija, uređaj, relacija ekvivalencije…Vektore u 2d i 3d radimo i u matematici 2, vidi vektor, a matrice i u matematici 3, pa se dio gradiva naslanja na to znanje. Neke temeljne nazive u matematici na hrvatskom jeziku, ponekad manje formalno, možete naći u Struni http://struna.ihjj.hr.

Predmet se sastoji od dva dijela, a izlaganje drugog dijela ovisi o nekim pojmovima iz prvog.

  • I dio: I a) algebarska struktura (algebarska struktura je skup AA zajedno s nekom množinom algebarskih operacija A×A××AAA\times A\times \ldots \times A\to A), parcijalna algebarska struktura (operacije su definirane samo na nekom podskupu elemenata kartezijevog produkta A ×n=A×A××AA^{\times n} = A\times A\times \ldots\times A; npr. Brandtovi grupoidi)

  • I b) binarna algebarska struktura (ima jednu binarnu operaciju) ili magma (staro ime: grupoid); posebni tipovi magmi: polugrupa (binarna operacija je asocijativna), monoid (asocijativna s neutralnim elementom za množenje), polugrupa riječi na danom alfabetu, monoid riječi na danom alfabetu uključujući praznu riječ; komutativnost binarne operacije, komutativne magme

  • I c) grupa (monoid takav da svaki element ima dvostrani inverz); komutativne ili Abelove grupe, razna svojstva grupa (nekoliko sati) i primjeri; (homo)morfizmi algebarskih struktura, izomorfizmi, podgrupe, normalne podgrupe, lijeve i desne susjedne klase, kvocijentni skup, lijeva i desna kvocijentna grupa s obzirom na normalnu podgrupu; Cayleyeva tablica množenja u grupi, grupe permutacija, Cayleyev teorem (svaka grupa je izomorfna nekoj grupi permutacija). Kod permutacija je napravljena digresija prema principima prebrojavanja u jednostavnoj kombinatorici; neke primjene su i na vjerojatnost.

  • I d) najvažnije strukture s dvije binarne operacije: prstenovi i njihovi posebni slučajevi tijela i polja. Primjeri struktura s dvije binarne operacije su prsten polinoma te brojevni sustavi prirodnih N\mathbf{N}, cijelih Z\mathbf{Z}, racionalnih Q\mathbf{Q}, realnih R\mathbf{R} i kompleksnih brojeva C\mathbf{C} gdje vrijede inkluzije skupova \mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C} (radili smo definicije tih skupova, definicije aritmetičkih operacija na tim skupovima brojeva – taj dio je ponavljanje matematike 1 – te koje algebarske strukture tako dobivamo); (nekomutativno) tijelo kvaterniona RQ\mathbf{R}Q, polja Z/pZ\mathbf{Z}/p\mathbf{Z} ostataka modulo pp gdje je pp prost broj.

  • II dio: vektorski prostori i linearni operatori; veze s rješavanjem sustava linearnih jednadžbi

    • II a) vektorski prostor: definicija, primjeri, skup izvodnica, baza, ekvipotentost baza, dimenzija vektorskog prostora

    • II b) linearni operator: definicija, primjeri, zapis linearnog operatora između konačno-dimenzionalnih vektorskih prostora u bazi (uglavnom u slučaju R mR n\mathbf{R}^m\to \mathbf{R}^n) – pojam matrice i determinante matrice

    • Primjeri vektorskih prostora. Definicija vektora u 2d i 3d geometriji kao klasa ekvivalencije usmjerenih dužine, definicija zbrajanja tako definiranih vektora i množenja vektora skalarom; nn-dimensionalni vektorski prostor 𝔽 n\mathbb{F}^n stupaca od nn elemenata u polju 𝔽\mathbb{F}

    • Zadaci iz analitičke geometrije u prostoru pomoću vektora, korištenje skalarnog umnoška vektora u nn dimenzija, vektorskog produkta 2 vektora u 33 dimenzije i mješovitog produkta tri vektora u tri dimenzije koji je koristan npr. kod računanja volumena prizmi, paralelepipeda i piramida u 3 dimenzionalnom prostoru. Vidi analiticki zadaci i aksiomi stereometrije.

Iz izvedbenog plana

Pojam operacije simetrije, pojam grupe, primjeri. Pojam algebarske strukture.

Magma, polugrupa i monoid. Primjeri: polugrupa i monoid riječi na danom alfabetu.

Grupe, Cayleyeva tablica grupe. Primjeri grupa simetrija poligona, poliedra i kristalografske grupe. Abelove grupe. Graf konačne grupe. Podgrupe i homomorfizmi, izomorfizmi, automorfizmi. Permutacije. Broj permutacija.

Grupe permutacija. Cayleyev teorem. Centralne i normalne podgrupe. Susjedne klase grupe s obzirom na podgrupu. Lagrangeov teorem. Kvocijentna grupa. Slučaj Abelovih grupa. Djelovanja grupa.

Prsteni. Komutativni i nekomutativni prsteni. Djelitelji nule, tijela i polja. Primjeri i kontraprimjeri. Prsteni kvadratnih matrica. Tijelo kvaterniona. Prezentacija softvera u algebri. Geogebra (planiran je i mathsage, ali nije obrađen).

Brojevni sustavi kao primjeri algebarskih struktura s ponavljanjem definicija i konstrukcija brojevnih sustava N,Z,Q,R,C iz Matematike 1. Trigonometrijski zapis kompleksnog broja. n-ti korijen kompleksnog broja.

Polinomi nad poljem. Operacije nad polinomima. Teorem o dijeljenju polinoma s ostatkom. Euklidov algoritam za zajedničku mjeru polinoma. Identiteti za polinome. Nultočke polinoma. Osnovni teorem algebre. Rastav polinoma na proste množitelje. Pojam algebarskog broja i transcendentnog broja. Binomna formula.

Važni primjeri prstena: aritmetika ostataka modulo p, konačna polja, Booleovi prsteni i njihovo pojavljivanje (logika, skupovi, elektronički sklopovi). Prstenovi matrica s elementima u polju, tijelu ili čak drugom prstenu.

Vektori u 2 i 3 dimenzije kao razredi ekvivalencije usmjerenih dužina. Zbrajanje vektora i množenje sa skalarom. Duljina vektora, komponente vektora. Smjer i smisao vektora. Skalarni,vektorski i mješoviti umnožak vektora i njihova geometrijska interpretacija. Ovaj dio je velikim dijelom ponavljanje s kraja kolegija Matematika 2. Definicija vektorskog prostora nad poljem. Linearne kombinacije vektora. Linearna ljuska skupa vektora.

Linearna nezavisnost skupa vektora, baza i dimenzija vektorskog prostora. Vektor reci i vektor stupci. Zapis vektora u bazi. Prostori vektor redaka i vektor stupaca.

Vektori reci i stupci kao posebni slučaj matrica. Množenje matrice i vektora. Skalarni umnožak u više dimenzija. Vektorski potprostori.

Koordinatni sustav u ravnini i prostoru s naglaskom na vektorski prikaz. Biranje ishodišta. Afini prostor. Pravci i ravnine u vektorskom pristupu. Paralelni i okomiti pravci i ravnine. Kut između ravnina. Okomica na ravninu. Udaljenost od točke do ravnine. Udaljenost od točke do pravca. Udaljenost između dva mimoilazna pravca. Volumen paralelepipeda.

Jednadžbe kružnice i kugle. Parametarska jednadžba krivulje. Presjek krivulja kao rješenje sustava jednadžbi. Kvalitativno ponavljanje aksiomatike stereometrije i diskusija osnovnih tipova izometrija u 2 i 3 dimenzije. Parametarska jednadžba površine, primjeri u geogebri.

Linearni operatori i njihova veza s matricama. Množenje matrica kao kompozicija linearnih operatora. Matrični prikaz i geometrijska interpretacija sustava linearnih jednadžbi. Geometrijska interpretacija rješenja sustava linearnih jednadžbi.

Izometrije prostora i ravnine u terminama matrica i vektora. Matrice rotacije u ravnini kao linearnog operatora. Dilatacije (homotetije u prostoru s koeficijentom λ>0\lambda\gt 0, nisu obrađene 2018., vidi dilation). Osna simetrija.

category: zadarmat4

Last revised on July 9, 2018 at 11:17:12. See the history of this page for a list of all contributions to it.