Zoran Skoda mnogokut

Poligonalna linija ili po dijelovima ravna crta je unija oblika $\overline{A_0 A_1}\cup\overline{A_1 A_2}\cup\ldots\cup\overline{A_{n-1}A_n}$ ($n\in\mathbf{N}$), koja je dakle unija konačno mnogo redom pobrojenih (numeriranih) dužina gdje svaka slijedeća dužina ima početak gdje je kraj prethodne.

Poligonalna linija nema samopresijecanja ako ni jedne dvije dužine u numeriranoj uniji koja je definira nemaju zajedničku točku osim što se podudara kraj prethodne i početak slijedeće. Zatvorena poligonalna linija bez samopresijecanja je poligonalna linija ako ni jedne dvije dužine u uniji koja je definira nemaju zajedničku točku osim što se podudara kraj prethodne i početak slijedeće i osim što je kraj posljednje dužine $\overline{A_{n-1}A_n}$ početak prve dužine $\overline{A_0 A_1}$, tj. $A_n = A_0$.

Rub (ili granica) $n$-terokuta (ili jednodimenzionalni $n$-terokut, nekad kažemo samo $n$-terokut; pišemo nekad kraće $n$-kut) je zatvorena poligonalna linija bez samopresijecanja kod koje ni jedne dvije susjedne dužine u uniji koja je definira nisu na istom pravcu. Svaku takvu dužinu zovemo stranicom $n$-terokuta, $n$-terokut ima $n$ stranica. Svaki rub $n$-terokuta zovemo (jednodimenzionalnim) mnogokutom ili poligonom (stariji sinonim je i višekut). Točke $A_1,\ldots,A_n$ mnogokuta (sjetimo se da je $A_0= A_n$ zovemo vrhovima mnogokuta. Dijagonala mnogokuta je spojnica ma koja dva različita vrha osim susjednih. Kako svaki vrh možemo spojiti s $(n-1)$ drugih vrhova, od čega $(n-3)$ nisu susjedna, a imamo $n$ vrhova, dakle brojimo $n$ puta po $(n-3)$ dijagonale. Međutim, spojnicu vrhova $A_k$ i $A_l$ brojili smo i kao dijagonalu iz točke $A_k$ i još jednom kao dijagonalu iz vrha $A_l$, dakle brojili smo je dva puta, pa $n$-kut ima zapravo ukupno $\sharp d = n(n-3)/2$ dijagonala.

Skup u ravnini je ograničen ako ga možemo obuhvatiti nekim krugom (tj. postoji krug koji ga sadrži). Skup je neograničen ako ga ne možemo obuhvatiti ni jednim krugom.

Jordanov teorem za zatvorenu poligonalnu liniju kaže da svaka zatvorena poligonalna linija bez samopresijecanja dijeli ostatak ravnine na dva povezana dijela, pri čemu je jedan ograničen i zovemo ga nutrina, unutarnji dio ili unutrašnjost, a drugi je neograničen i zovemo ga vanjština ili vanjski dio.

Povezanost se može definirati na razne načine, a u ovoj varijanti Jordanovog teorema se može gledati u smislu povezanosti poligonalnom linijom, tj. svake dvije točke se mogu povezati poligonalnom linijom koja je cijela unutar tog skupa.

Kad govorimo o površini mnogokuta, onda mnogokut shvaćamo kao uniju ruba mnogokuta (u smislu definicije gore) i unutrašnjosti. Mnogokut u tom smislu zovemo i dvodimenzionalni (2d) mnogokut. Za mnogokut kažemo da je konveksan ako je on u tom 2d smislu konveksan skup što je ekvivalentno zahtjevu da je njegova unutrašnjost konveksna. Trokut je isto što i dvodimenzionalni 3-kut u smislu gornje definicije. (Sjetimo se da je trokut po ranijoj definiciji najmanji konveksni skup koji sadrži tri nekolinearne točke koje zovemo vrhovima trokuta.)

Ako je $A_k$ neki vrh $n$-terokuta $A_1\ldots A_n$, tada iz njega idu dva polupravca čiji krakovi sadrže dužine koje se spajaju u vrhu $A_k$. Ta dva polupravca definiraju unutrašnji kut mnogokuta, pri čemu zapravo mislimo pripadni kutni isječak koji ima neprazni presjek s unutrašnjosti $n$-teorokuta. Kod konveksnog $n$-terokuta taj unutarnji kut ima mjeru manju od ispruženog kuta, a kod konkavnog barem jedan unutarnji kut ima mjeru veću od ispruženog kuta.

Zbroj unutarnjih kuteva u trokutu je ispruženi kut, odnosno $\pi$ radijana. Svaki $n$-kut možemo pocijepati na uniju $(n-2)$ susjednih trokuta i svaki od unutarnjih kuteva tih trokuta će biti dio točno jednog unutarnjeg kuta $n$-kuta, pa je zbroj unutarnjih kuteva u $n$-kutu $(n-2)\pi$.

O mnogokutima vidi opširnije u poglavlje III-3 u prvom svesku knjige Pavkovića i Veljana (pdf).

category: zadarmat2