Zoran Skoda
trokut

Trokut je najmanji konveksni skup ravnine koji sadrži tri zadane nekolinearne točke koje zovemo vrhovi trokuta. Ako su vrhovi trokuta A,B,CA,B,C tada dužine c=AB¯c = \overline{AB}, a=BC¯a = \overline{BC}, b=CA¯b = \overline{CA} zovemo stranicama trokuta. Kuteve β=ABC\beta = \angle ABC, γ=BCA\gamma = \angle BCA, α=CAB\alpha = \angle CAB zovemo unutarnjim kutevima trokuta. Kažemo da su stranice a,b,ca,b,c (na)suprotne vrhovima A,B,CA,B,C i kutevima α,β,γ\alpha,\beta,\gamma. Prema nejednakosti trokuta (jedan od onih aksioma planimetrije koji se odnose na funkciju udaljenosti) zbroj duljina dviju stranica uvijek je strogo veći od duljine treće stranice, d(A,B)+d(B,C)>d(A,C)d(A,B)+d(B,C) \gt d(A,C) (kako su vrhovi nekolinearne točke nejednakost je stroga). Nutrina/unutrašnjost trokuta je skup svih točaka trokuta koje ne pripadaju ni jednoj od stranica. Komplement trokuta u ravnini koja ga sadrži zove se vanjština trokuta, a za točke u vanjštini kažemo da su van trokuta. Vanjski kutevi trokuta su kutevi čiji je vrh jedan od vrhova trokuta, jedan od krakova je polupravac koji sadrži jednu od stranica, a drugi krak je polupravac koji je produženje druge stranice s istim vrhom. U aksiomatskom pristupu (kao u knjizi Pavković-Veljan) prvi rezultati o trokutu su:

  • Nasuprot jednakim stranicama u trokutu su i jednaki kutevi
  • Nasuprot većoj stranici leži veći kut
  • Svaki vanjski kut trokuta je jednak zbroju unutarnjih kuteva uz druga dva vrha.
  • Zbroj unutarnjih kuteva trokuta je ispruženi kut.

Trokut je jednakokračan (istokračan) ako dvije među njegovim stranicama imaju iste duljine. Te dvije stranice onda zovemo krakovima trokuta, a treću osnovicom jednakokračnog trokuta. Trokut je jednakostraničan (istostraničan) ako su sve tri stranice trokuta iste duljine; Dva su trokuta sukladna ako postoji izometrija ukoliko ga promatramo kao primjer jednakokračnog trokuta, tada je naravno proizvoljno koje ćemo dvije stranice zvati krakovima. Svi kutevi u jednakokračnom trokutu su π/3\pi/3 radijana, tj. 60 60^\circ.

Dva su trokuta sukladna ako postoji izometrija koja je bijekcija jednog trokuta na drugi. Ekvivalentan zahtjev je da su sva tri kuta i sve tri duljine stranica prvog trokuta jednake odgovarajućim kutevima i duljinama stranica drugog trokuta. četiri osnovna teorema o sukladnosti trokuta kažu:

  • dva su trokuta sukladna ako imaju jednake sve tri stranice
  • dva su trokuta sukladna ako imaju jednaku jednu stranicu i njoj priležeće kuteve
  • dva su trokuta sukladna ako imaju jednaka dva kuta i stranicu između njih
  • dva su trokuta sukladna ako imaju jednake dvije stranice i kut nasuprot većoj stranici

Ti teoremi se naveliko koriste kod analize raznih situacija u geometriji i uspoređivanju veličina stranica i kuteva. Trokut dakle može biti zadan duljinama svih triju stranica, jednom stranicom i njoj priležećim kutevima itd. i za sva ta 4 slučaja poznat nam je postupak – to su 4 osnovne konstrukcije trokuta.

Kažemo da su dva trokuta slična ako imaju jednaka sva tri kuta, α=α\alpha = \alpha', β=β\beta = \beta', γ=γ\gamma = \gamma', a odgovarajuće stranice su im prooporcionalne, a=λaa' = \lambda a, b=λbb' = \lambda b, c=λcc' = \lambda c, gdje je λ0\lambda\neq 0 realan broj. Ekvivalentno tome, postoji preslikavanje sličnosti ravnine (tj. preslikavanje koje mijenja udaljenost točaka u udaljenost koja je proporcionalna s istim koeficijentom proporcionalnosti za sve parove točaka) u samu sebe, a koja pri tom šalje prvi u drugi trokut bijektivno. Osnovni teoremi o sličnosti trokuta kažu: dva su trokuta slična ako imaju proporcionalne sve tri stranice, dva su trokuta sukladna ako imaju jednaka dva kuta, dva su trokuta sukladna ako imaju proporcionalne dvije stranice i jedan kut nasuprot većoj stranici. Primijetite da ako su dva kuta jednaka onda je i treći pa drugi od ta tri teorema odgovara bilo druom, bilo trećem teoremu o sukladnosti trokuta. Možemo se sjetiti da je svako preslikavanje sličnosti kompozicija homotetije i izometrije.

Trokut je šiljastokutan, ako su mu svi kutevi šiljasti, pravokutan ako su mu dva kuta šiljasta i jedan pravi i trokut je tupokutan ako je jedan od kuteva trokuta tup (a ostala dva šiljasta).

Stranica nasuprot pravom kutu u pravokutnom trokutu zove se hipotenuza, a ostale dvije stranice zovu se katete. Pitagorin teorem kaže da je zbroj kvadrata duljina kateta jednak kvadratu duljine hipotenuze. Obrat Pitagorinog teorema: ako je zbroj kvadrata duljina dviju stranica jednak kvadratu duljine treće stranice onda je trokut pravokutan s pravim kutem nasuprot trećoj stranici.

Pomoću pravokutnog trokuta možemo definirati trigonometrijske funkcije čiji je argument šiljasti kut: sinus šiljastog kuta u pravokutnom trokutu je omjer njemu nasuprotne katete i hipotenuze, kosinus je omjer njemu priležeće katete i hipotenuze, tangens omjer nasuprotne i priležeće katete, a kotangens omjer priležeće i nasuprotne katete. U matematici 3 proširujemo te funkcije na proizvoljan kut/broj definicijom uz pomoć jedinične kružnice: ako je kut α\alpha orijentiran, prvi krak kuta os apscisa, a drugi kraj kuta siječe jediničnu kružnicu sa središtem (0,0)(0,0) u to?ki (x,y)(x,y) tada je x=cosαx = cos\alpha, y=sinαy = sin\alpha, tgα=y/xtg\alpha = y/x kad god x0x\neq 0 (tj. α(2k+1)π/2,k\alpha \neq (2k+1)\pi/2, k\in\mathbb{Z}, ctgα=x/yctg\alpha = x/y kad god y0y\neq 0 (tj. α2kπ,k\alpha\neq 2k\pi, k\in\mathbb{Z}, gdje je mjera kuta dana u radijanima). Više o tim funkcijama vidi na stranici trigonometrijske funkcije (one se detaljnije rade na matematici 3).

Visina trokuta je pravac koji prolazi kroz jedan vrh i okomit je na pravac na kojem leži tom vrhu nasuprotna stranica. Stoga možemo govoriti o visinama kroz vrhove A,B,CA,B,C, ili o visinama koje (su okomite) na (pravce na kojima leže) stranice a,b,ca,b,c. Visine se sijeku u jednoj točki koja se zove ortocentar. Ako je trokut šiljastokutan, onda je ortocentar u nutrini trokuta, ako je pravokutan onda je jednak vrhu kod pravog kuta, a ako je trokut tupi onda je ortocentar van trokuta. Duljina visine trokuta po definiciji je duljina dijela visine od vrha trokuta do sjecišta visine i pravca na kojem leži nasuprotna stranica.

Srednjica trokuta je spojnica polovišta dviju stranica trokuta. Svaki trokut dakle ima tri srednjice. Teorem o srednjici trokuta kaže da je srednjica trokuta koja spaja središta dviju stranica trokuta paralelna trećoj stranici trokuta i po duljini jednaka pola duljine treće stranice.

Težišnica trokuta je spojnica vrha trokuta i polovišta njemu nasuprotne stranice. Dakle, trokut ima tri težišnice. Teorem o težišnicama kaže da se sve tri težišnice sijeku u jednoj točki (težište) koja dijeli svaku od tih težišnica u omjeru 2:12:1. Ako su vrhovi trokuta zadani koordinatama u pravokutnom koordinatnom sustavu, tada je svaka koordinata težišta aritmetička sredina (tj. trećina zbroja) istih koordinata vrhova:

x T=x A+x B+x C3,y T=y A+y B+y C3.x_T = \frac{x_A+x_B+x_C}{3},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, y_T = \frac{y_A+y_B+y_C}{3}.

Sve tri simetrale unutarnjih kuteva trokuta sijeku se u jednoj točki koja je ujedno središte trokutu upisane kružnice. Sve tri simetrale stranica trokuta sijeku se u jednoj točki koja je ujedno središte trokutu opisane kružnice. Ukoliko je trokut tupokutan, središte opisane kružnice je van trokuta.

Četiri osobite ili karakteristične točke trokuta su (prema tradiciji): ortocentar, težište, centar upisane kružnice i centar opisane kružnice. Te četiri točke se podudaraju akko je trokut jednakostraničan.

Površina trokuta je jednaka polovini umnoška jedna od stranica i duljine visine na tu stranicu.

P=av a2=bv b2=cv c2 P = \frac{a v_a}{2} = \frac{b v_b}{2} = \frac{c v_c}{2}

Često je korisno razdijeliti trokut visinom na dva dijela. Npr. ako je trokut jednakokračan s osnovicom aa i krakovima b=cb = c tada visina na stranicu aa dijeli trokut na dva dijela koja su međusobno sukladna, točnije osnosimetrična, čija hipotenuza je bb, a katete a/2a/2 i v av_a. Pitagorin teorem tada kaže (a/2) 2+v a 2=b 2(a/2)^2 + v_a^2 = b^2, Što se obično koristi za računanje visine. Iz toga slijedi da je, u tim oznakama, površina jednakokračnog trokuta av a2=a2b 2a 24\frac{a v_a}{2} = \frac{a}{2}\sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}. Kako je visina na stranicu aa ujedno simetrala kuta α\alpha onda ga dijeli na dva jednaka kuta veličine α/2\alpha/2 i iz definicije sinusa slijedi da u jednakokračnom trokutu a/2=bsin(α/2)a/2 = b sin(\alpha/2). U jednakostraničnom trokutu a=ba = b pa ispada v a=32av_a = \frac{\sqrt{3}}{2}a i P=34a 2P = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2. Više detalja naći na stranici trigonometrijska funkcija.

Heronova formula za površinu trokuta izrašava površinu trokuta iz duljina stranica:

P=s(sa)(sb)(sc) P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

gdje je s=(a+b+c)/2s = (a+b+c)/2 poluopseg trokuta (pola opsega).

Polumjer trokutu upisane kružnice ρ\rho može se izračunati iz formule

ρs=P \rho s = P

koja se lako dokazuje razdijelivši trokut ABC\triangle ABC na 3 trokuta AGB\triangle AGB, BGC\triangle BGC i CGA\triangle CGA gdje je GG središte trokutu upisane kružnice (naime visina u jednom od tih manjih trokuta iz visine GG je ρ\rho pa su površine redom ρc/2\rho c/2, ρa/2\rho a/2 i ρb/2\rho b/2, a njihov zbroj mora biti površina trokuta ABCABC. Slična rasuđivanja i formule postoje i za polumjere triju trokutu pripisanih kružnica.

Ako je radijus opisane kružnice RR, tada iz teorema o središnjem i obodnom kutu (vidi krug) jednakokračan trokut kojemu su vrhovi B,CB,C i središte OO trokutu opisane kružnice ima kut pri tom središtu jednak 2α2\alpha, osnovicu aa i krakove jednake RR. Razdijelivši taj trokut visinom iz OO na aa na dva pravokutna trokuta s kutem kod OO jednakim α\alpha i nasuprotnom stranicom aa. Po definiciji sinusa je dakle Rsinα=a/2R sin\alpha = a/2. Slično za ostale dvije stranice. Na taj način dobivamo promjer trokutu opisane kružnice formulama

2R=asinα=bsinβ=csinγ 2 R = \frac{a}{sin\alpha} = \frac{b}{sin\beta} = \frac{c}{sin\gamma}

Iz toga slijedi sinusov poučak: omjer dviju stranica trokuta jednak je omjeru sinusa njima nasuprotnih kuteva.

Neka su a,b\vec{a},\vec{b} dva vektora koja zamišljamo preko predstavnika s istim početnim vrhom; definiramo vektor c=ab\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}, i duljine a tri vektora, a=a=aaa = \|\vec{a}\| = \sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}, b=bb = \|\vec{b}\|, c=cc = \|\vec{c}\|. Dakle, ta tri vektora su tri usmjerene stranice nekog trokuta, a a,b,ca,b,c su duljine stranica. Skalarnim kvadriranjem svake od dvije strane jednakosti c=ab\vec{c}=\vec{a}-\vec{b} dobijemo jednakost c 2=(ab)(ab)c^2 = (\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b}), a iz nje, po distributivnosti skalarnog umnoška prema zbrajanju, c 2=a 2baab+b 2c^2 = a^2 -\vec{b}\cdot\vec{a} - \vec{a}\cdot\vec{b} + b^2, i korištenjem formule za skalarni umnožak ab=abcos(a,b)=ba\vec{a}\cdot\vec{b} = a b cos\angle(\vec{a},\vec{b}) = \vec{b}\cdot\vec{a}, dobivamo kosinusov poučak,

c 2=a 2+b 22abcos(a,b), c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b cos \angle(\vec{a},\vec{b}),

gdje su duljine vektora a=aa = \|\vec{a}\|, b=bb = \|\vec{b}\| ujedno duljine dviju stranica trokuta, a kut (a,b)\angle(\vec{a},\vec{b}) je kut između njih. Kosinusov teorem povezuje duljine triju stranica trokuta s kosinusom kuta između dvije stranice. Dakle, ako znamo dvije stranice i kut između njih, znamo i treću stranicu, a ako znamo sve tri stranice onda možemo odrediti kut između ma koji dvije. Ako je c 2b 2a 2<0c^2 - b^2 - a^2\lt 0 dobivamo da je i kosinus negativan, dakle kut (a,b)\angle(\vec{a},\vec{b}) je tup; ako je c 2b 2a 2=0c^2 - b^2 - a^2 = 0, tada je kosinus nula pa je kut pravi, a ako je c 2b 2a 2>0c^2 - b^2 - a^2\gt 0, tada je kut između stranica aa i bb šiljasti. Preimenovanjem stranica možemo napisati kosinusov teorem za ostale kuteve u trokutu, npr. a 2=b 2+c 22bccos(b,c)a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c cos\angle(\vec{b},\vec{c}).

category: zadarmat2

Last revised on June 29, 2018 at 07:45:02. See the history of this page for a list of all contributions to it.