Zoran Skoda trokut

Trokut je najmanji konveksni skup ravnine koji sadrži tri zadane nekolinearne točke koje zovemo vrhovi trokuta. Ako su vrhovi trokuta $A,B,C$ tada dužine $c = \overline{AB}$, $a = \overline{BC}$, $b = \overline{CA}$ zovemo stranicama trokuta. Kuteve $\beta = \angle ABC$, $\gamma = \angle BCA$, $\alpha = \angle CAB$ zovemo unutarnjim kutevima trokuta. Kažemo da su stranice $a,b,c$ (na)suprotne vrhovima $A,B,C$ i kutevima $\alpha,\beta,\gamma$. Prema nejednakosti trokuta (jedan od onih aksioma planimetrije koji se odnose na funkciju udaljenosti) zbroj duljina dviju stranica uvijek je strogo veći od duljine treće stranice, $d(A,B)+d(B,C) \gt d(A,C)$ (kako su vrhovi nekolinearne točke nejednakost je stroga). Nutrina/unutrašnjost trokuta je skup svih točaka trokuta koje ne pripadaju ni jednoj od stranica. Komplement trokuta u ravnini koja ga sadrži zove se vanjština trokuta, a za točke u vanjštini kažemo da su van trokuta. Vanjski kutevi trokuta su kutevi čiji je vrh jedan od vrhova trokuta, jedan od krakova je polupravac koji sadrži jednu od stranica, a drugi krak je polupravac koji je produženje druge stranice s istim vrhom. U aksiomatskom pristupu (kao u knjizi Pavković-Veljan) prvi rezultati o trokutu su:

• Nasuprot jednakim stranicama u trokutu leže jednaki kutevi, $\alpha=\beta\implies a = b$
• Nasuprot većoj stranici leži veći kut, $\alpha\gt\beta\implies a\gt b$
• Svaki vanjski kut trokuta je jednak zbroju unutarnjih kuteva uz druga dva vrha.
• Zbroj unutarnjih kuteva trokuta je ispruženi kut.

Trokut je jednakokračan (istokračan) ako dvije među njegovim stranicama imaju iste duljine. Te dvije stranice onda zovemo krakovima trokuta, a treću osnovicom jednakokračnog trokuta. Trokut je jednakostraničan (istostraničan) ako su sve tri stranice trokuta iste duljine; Dva su trokuta sukladna ako postoji izometrija ukoliko ga promatramo kao primjer jednakokračnog trokuta, tada je naravno proizvoljno koje ćemo dvije stranice zvati krakovima. Svi kutevi u jednakokračnom trokutu su $\pi/3$ radijana, tj. $60^\circ$.

Dva su trokuta sukladna ako postoji izometrija koja je bijekcija jednog trokuta na drugi. Ekvivalentan zahtjev je da su sva tri kuta i sve tri duljine stranica prvog trokuta jednake odgovarajućim kutevima i duljinama stranica drugog trokuta. četiri osnovna teorema o sukladnosti trokuta kažu:

• dva su trokuta sukladna ako imaju jednake sve tri stranice
• dva su trokuta sukladna ako imaju jednaku jednu stranicu i njoj priležeće kuteve
• dva su trokuta sukladna ako imaju jednake dvije strance i kut između njih
• dva su trokuta sukladna ako imaju jednake dvije stranice i kut nasuprot većoj stranici (da je nasuprot manjoj moguće bi bilo još jedno rješenje koje nije sukladno)

Ti teoremi se naveliko koriste kod analize raznih situacija u geometriji i uspoređivanju veličina stranica i kuteva. Trokut dakle može biti zadan duljinama svih triju stranica, jednom stranicom i njoj priležećim kutevima itd. i za sva ta 4 slučaja poznat nam je postupak – to su 4 osnovne konstrukcije trokuta.

Kažemo da su dva trokuta slična ako imaju jednaka sva tri kuta, $\alpha = \alpha'$, $\beta = \beta'$, $\gamma = \gamma'$, a odgovarajuće stranice su im prooporcionalne, $a' = \lambda a$, $b' = \lambda b$, $c' = \lambda c$, gdje je $\lambda\neq 0$ realan broj. Ekvivalentno tome, postoji preslikavanje sličnosti ravnine (tj. preslikavanje koje mijenja udaljenost točaka u udaljenost koja je proporcionalna s istim koeficijentom proporcionalnosti za sve parove točaka) u samu sebe, a koja pri tom šalje prvi u drugi trokut bijektivno. Osnovni teoremi o sličnosti trokuta kažu: dva su trokuta slična ako imaju proporcionalne sve tri stranice, dva su trokuta sukladna ako imaju jednaka dva kuta, dva su trokuta sukladna ako imaju proporcionalne dvije stranice i jedan kut nasuprot većoj stranici. Primijetite da ako su dva kuta jednaka onda je i treći pa drugi od ta tri teorema odgovara bilo druom, bilo trećem teoremu o sukladnosti trokuta. Možemo se sjetiti da je svako preslikavanje sličnosti kompozicija homotetije i izometrije.

Trokut je šiljastokutan, ako su mu svi kutevi šiljasti, pravokutan ako su mu dva kuta šiljasta i jedan pravi i trokut je tupokutan ako je jedan od kuteva trokuta tup (a ostala dva šiljasta).

Stranica nasuprot pravom kutu u pravokutnom trokutu zove se hipotenuza, a ostale dvije stranice zovu se katete. Pitagorin teorem kaže da je zbroj kvadrata duljina kateta jednak kvadratu duljine hipotenuze. Obrat Pitagorinog teorema: ako je zbroj kvadrata duljina dviju stranica jednak kvadratu duljine treće stranice onda je trokut pravokutan s pravim kutem nasuprot toj trećoj stranici.

Pomoću pravokutnog trokuta možemo definirati trigonometrijske funkcije čiji je argument šiljasti kut: sinus šiljastog kuta u pravokutnom trokutu je omjer njemu nasuprotne katete i hipotenuze, njegov kosinus je omjer njemu priležeće katete i hipotenuze, tangens je omjer nasuprotne i priležeće katete, a kotangens omjer priležeće i nasuprotne katete. U matematici 3 proširujemo te funkcije na proizvoljan kut/broj definicijom uz pomoć jedinične kružnice: ako je kut $\alpha$ orijentiran, prvi krak kuta os apscisa, a drugi kraj kuta siječe jediničnu kružnicu sa središtem $(0,0)$ u točki $(x,y)$ tada je $x = cos\alpha$, $y = sin\alpha$, $tg\alpha = y/x$ kad god $x\neq 0$ (tj. $\alpha \neq (2k+1)\pi/2, k\in\mathbb{Z}$, $ctg\alpha = x/y$ kad god $y\neq 0$ (tj. $\alpha\neq 2k\pi, k\in\mathbb{Z}$, gdje je mjera kuta dana u radijanima). Više o trigonometrijskim funkcijama vidi na stranici trigonometrijske funkcije (one se detaljnije rade na matematici 3).

Visina trokuta je pravac koji prolazi kroz jedan vrh i okomit je na pravac na kojem leži tom vrhu nasuprotna stranica. Stoga možemo govoriti o visinama kroz vrhove $A,B,C$, ili o visinama koje (su okomite) na (pravce na kojima leže) stranice $a,b,c$. Visine se sijeku u jednoj točki koja se zove ortocentar. Ako je trokut šiljastokutan, onda je ortocentar u nutrini trokuta, ako je pravokutan onda je jednak vrhu kod pravog kuta, a ako je trokut tupi onda je ortocentar van trokuta. Duljina visine trokuta je po definiciji duljina dijela visine od vrha trokuta do sjecišta visine i pravca na kojem leži nasuprotna stranica (to sjecište zovemo nožište visine).

Srednjica trokuta je spojnica polovišta dviju stranica trokuta. Svaki trokut dakle ima tri srednjice. Teorem o srednjici trokuta kaže da je srednjica trokuta koja spaja središta dviju stranica trokuta paralelna trećoj stranici trokuta i po duljini jednaka pola duljine treće stranice.

Težišnica trokuta je spojnica vrha trokuta i polovišta njemu nasuprotne stranice. Dakle, trokut ima tri težišnice. Teorem o težišnicama kaže da se sve tri težišnice sijeku u jednoj točki (težište) koja dijeli svaku od tih težišnica u omjeru $2:1$. Ako su vrhovi trokuta zadani koordinatama u pravokutnom koordinatnom sustavu, tada je svaka koordinata težišta aritmetička sredina (tj. trećina zbroja) istih koordinata vrhova:

$$x_T = \frac{x_A+x_B+x_C}{3},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, y_T = \frac{y_A+y_B+y_C}{3}.$$

Sve tri simetrale unutarnjih kuteva trokuta sijeku se u jednoj točki koja je ujedno središte trokutu upisane kružnice, što je po definiciji kružnica koja dira sve tri stranice iznutra. Zanimljive su i tri trokutu pripisane kružnice, koje diraju po jednu stranicu, recimo $c$, izvana i diraju polupravce $A p$, $B q$ koji produljuju (produljeci) druge dvije stranice $b$ i $a$. Središte pripisane kružnice koje dira stranicu $c$ je sjecište simetrale unutarnjeg kuta $\gamma$ i simetrala dva vanjska kuta, naime $\angle B A p$ i $\angle A B q$.

Sve tri simetrale stranica trokuta sijeku se u jednoj točki koja je ujedno središte trokutu opisane kružnice, što je po definiciji jedinstvena kružnica koja prolazi kroz sva tri vrha trokuta. Drugim riječima, stranice trokuta su tetive toj kružnici (vidi krug). Ukoliko je trokut tupokutan, središte opisane kružnice je van trokuta.

Četiri osobite ili karakteristične točke trokuta su (prema tradiciji): ortocentar, težište, centar upisane kružnice i centar opisane kružnice. Te četiri točke se međusobno podudaraju akko je trokut jednakostraničan.

Površina trokuta je jednaka polovini umnoška jedna od stranica i duljine visine na tu stranicu.

$$P = \frac{a v_a}{2} = \frac{b v_b}{2} = \frac{c v_c}{2}$$

Jedan od načina je da uočimo da je trokut polovina paralelograma kojem je jedna od stranica trokuta dijagonala, a površina paralelograma je $P = a v_a$ (potonju formulu uviđamo tako da paralelogram prekrojimo premještanjem jednog trokuta, u pravokutnik kojem je $a$ jedna, a $v_a$ druga stranica).

Često je korisno razdijeliti trokut visinom na dva dijela. Npr. ako je trokut jednakokračan s osnovicom $a$ i krakovima $b = c$ tada visina na stranicu $a$ dijeli trokut na dva dijela koja su međusobno sukladna, točnije osnosimetrična, čija hipotenuza je $b$, a katete $a/2$ i $v_a$. Pitagorin teorem tada kaže $(a/2)^2 + v_a^2 = b^2$, Što se obično koristi za računanje visine. Iz toga slijedi da je, u tim oznakama, površina jednakokračnog trokuta $\frac{a v_a}{2} = \frac{a}{2}\sqrt{b^2 - \frac{a^2}{4}}$. Kako je visina na stranicu $a$ ujedno simetrala kuta $\alpha$ onda ga dijeli na dva jednaka kuta veličine $\alpha/2$ i iz definicije sinusa slijedi da u jednakokračnom trokutu $a/2 = b sin(\alpha/2)$. U jednakostraničnom trokutu $a = b$ pa ispada $v_a = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ i $P = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$. Više detalja naći na stranici trigonometrijska funkcija.

Heronova formula za površinu trokuta izrašava površinu trokuta iz duljina stranica:

$$P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

gdje je $s = (a+b+c)/2$ poluopseg trokuta (pola opsega).

Polumjer trokutu upisane kružnice $\rho$ može se izračunati iz formule

$$\rho s = P$$

koja se lako dokazuje razdijelivši trokut $\triangle ABC$ na 3 trokuta $\triangle AGB$, $\triangle BGC$ i $\triangle CGA$ gdje je $G$ središte trokutu upisane kružnice (naime visina u jednom od tih manjih trokuta iz visine $G$ je $\rho$ pa su površine redom $\rho c/2$, $\rho a/2$ i $\rho b/2$, a njihov zbroj mora biti površina trokuta $ABC$. Slična rasuđivanja i formule postoje i za polumjere triju trokutu pripisanih kružnica.

Ako je radijus opisane kružnice $R$, tada iz teorema o središnjem i obodnom kutu (vidi krug) jednakokračan trokut kojemu su vrhovi $B,C$ i središte $O$ trokutu opisane kružnice ima kut pri tom središtu jednak $2\alpha$, osnovicu $a$ i krakove jednake $R$. Razdijelivši taj trokut visinom iz $O$ na $a$ na dva pravokutna trokuta s kutem kod $O$ jednakim $\alpha$ i nasuprotnom stranicom $a$. Po definiciji sinusa je dakle $R sin\alpha = a/2$. Slično za ostale dvije stranice. Na taj način dobivamo promjer trokutu opisane kružnice formulama

$$2 R = \frac{a}{sin\alpha} = \frac{b}{sin\beta} = \frac{c}{sin\gamma}$$

Iz toga slijedi sinusov poučak: omjer dviju stranica trokuta jednak je omjeru sinusa njima nasuprotnih kuteva. Npr. $sin\alpha:sin\beta = a:b$. Taj teorem možemo dokazati i jednostavnije: Podijelimo trokut visinom $v_c$ na dva pravokutna trokuta. Ako je nožište te visine $N$, to su trokuti $\triangle A N C$ i $\triangle B C N$. U pravokutnom trokutu $\triangle A N C$ hipotenuza je $b = \overline{C A}$, a hipotenuza od $\triangle B C N$ je $a = \overline{B C}$. Po definiciji sinusa kuta, $sin\angle N A C = sin\alpha = \frac{v_c}{b}$ i slično $sin\angle C B N = sin\beta = \frac{v_c}{a}$. Dakle, $a sin\beta = v_c = b sin\alpha$ iz čega slijedi $\frac{b}{a} = \frac{sin\beta}{sin\alpha}$.

Neka su $\vec{a},\vec{b}$ dva vektora koja zamišljamo preko predstavnika $\vec{a} = \vec{C B}$ i $\vec{b} = \vec{C A}$ s istim početnim vrhom $C$. Definirajmo vektor $\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$ čiji predstavnik je vektor $\vec{A B}$ (doista, $\vec{b}+\vec{c} = \vec{C A} + \vec{A B} = \vec{C B} = \vec{a}$. Duljine ta tri vektora, $a = \|\vec{a}\| = \sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}$, $b = \|\vec{b}\|$, $c = \|\vec{c}\|$ su duljine stranica trokuta $\triangle B C A$. Dakle, tri vektora $\vec{a},\vec{b}\vec{c}$ su tri usmjerene stranice trokuta $\triangle B C A$ (orijentacije su navedene), a $a,b,c$ su duljine tih stranica. Skalarnim kvadriranjem svake od dvije strane jednakosti $\vec{c}=\vec{a}-\vec{b}$ dobijemo jednakost $c^2 = (\vec{a}-\vec{b})\cdot(\vec{a}-\vec{b})$, a iz nje, po distributivnosti skalarnog umnoška prema zbrajanju, $c^2 = a^2 -\vec{b}\cdot\vec{a} - \vec{a}\cdot\vec{b} + b^2$, i korištenjem formule za skalarni umnožak $\vec{a}\cdot\vec{b} = a b cos\angle(\vec{a},\vec{b}) = \vec{b}\cdot\vec{a}$, dobivamo kosinusov poučak,

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b cos \angle(\vec{a},\vec{b}),$$

gdje su duljine vektora $a = \|\vec{a}\|$, $b = \|\vec{b}\|$ ujedno duljine dviju stranica trokuta, a kut $\angle(\vec{a},\vec{b})$ je kut između njih. Kosinusov teorem povezuje duljine triju stranica trokuta s kosinusom kuta između dvije stranice. Dakle, ako znamo dvije stranice i kut između njih, znamo i treću stranicu, a ako znamo sve tri stranice onda možemo odrediti kut između ma koje dvije. Ako je $c^2 - b^2 - a^2\lt 0$ dobivamo da je i kosinus negativan, dakle kut $\angle(\vec{a},\vec{b})$ je tup; ako je $c^2 - b^2 - a^2 = 0$, tada je kosinus nula pa je kut pravi, a ako je $c^2 - b^2 - a^2\gt 0$, tada je kut između stranica $a$ i $b$ šiljasti. Preimenovanjem stranica možemo napisati kosinusov teorem za ostale kuteve u trokutu, npr. $a^2 = b^2 + c^2 - 2 b c cos\angle(\vec{b},\vec{c})$.

category: zadarmat2