Zoran Skoda pravac u ravnini

Pravac u ravnini je opisan jednim uvjetom, dakle kao skup točaka $(x,y)$ u pravokutnom koordinatnom sustavu koje zadovoljavaju implicitnu jednadžbu pravca

$$A x + B y + C = 0, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,A,B,C\in\mathbb{R},\,\,\, A\neq 0 \, ili \, B\neq 0.$$

Ukoliko cijelu jednadžbu pomnožimo s nekim brojem $H\neq 0$ dobivamo ekvivalentnu jednadžbu $H A x + H B y + H C = 0$.

Pravci za koje je $A = 0$ su oblika $B y + C = 0$, dakle $y = - C/B$, drugim riječima $y$ je konstanta. To su horizontalni pravci. Ako je i $C = 0$ pravac je os $x$, dana s $y = 0$.

Pravci za koje je $B = 0$ su oblika $A x + C = 0$, dakle $x = - C/A$, drugim riječima $x$ je konstanta. To su vertikalni pravci. Ako je i $C = 0$ pravac je os $y$, dana s $x = 0$.

Ako je $B\neq 0$, tj. ako pravac nije vertikalan, tada implicitnu jednadžbu možemo zamijeniti ekvivalentnim uvjetom

$$y = -\frac{A}{B} x - \frac{C}{B}$$

što je u obliku $y = k x + l$ gdje su $k = -A/B$ i $l = -C/B$ realni brojevi. Jednadžba $y = k x + l$ je jednadžba pravca u eksplicitnom obliku i može se koristiti samo za pravce koji nisu vertikalni (tj. paralelni osi $y$). Broj $k$ zove se koeficijent smjera pravca i jednak je tangensu kuta između tog pravca i osi $x$. Naziv koeficijent smjera je apstraktan i riječi naklon i nagib (engl. slope) odgovara više svakodnevnoj upotrebi. Naklon je omjer pomaka u vertikalnom smjeru i pripadnog pomaka u horizontalnom smjeru, kad se krećemo po pravcu (padini). Ako gledamo pripadni trokut to se zove tangens kuta između pravca i osi $x$. Taj tangens se dobije i kao tangens kuta kod točke $P$ u bilo kojem pravokutnom trokutu s vrhovima $P(x_1,y_1)$, $R(x_2,y_1)$, $Q(x_2,y_2)$ u kojem su točke $P, Q$ na pravcu s $x_1\neq x_2$. Dakle, to je omjer

$$k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Ako je $(x,y)$ proizvoljna točka na pravcu, tada ona mora zadovoljavati

$$\frac{y-y_1}{x-x_1} = k,$$

dakle

$$y - y_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x - x_1)$$

Ta formula daje stoga jednadžbu pravca ako su zadane koordinate dviju različitih točaka na pravcu.

Pravac koji je okomit na zadani pravac ima naklon jednak $-1/k$ (minus recipročna vrijednost).

Vektor $\vec{a} = (a_x, a_y)$ je uzduž pravca $p$ akko se može predstaviti kao usmjerena dužina $\vec{P Q}$ gdje su $P$ i $Q$ na pravcu $p$. Ako su $A,B\neq 0$ tada možemo uzeti npr. točke $(0,-C/B)$ i $(-C/A,0)$ pa je jedan takav vektor $(-C/A,C/B)$ ili njegov višekratnik $(-B,A)$.

Vektor $\vec{n} = (n_x,n_y)$ je okomit na pravac $A x + B y + C = 0$ ako je okomit na svaki vektor uzduž tog pravca pa tako i na $(x_2-x_1,y_2-y_1)$, dakle skalarni umnožak $n_x (x_2-x_1) + n_y (y_2 - y_1) = 0$. To vrijedi npr. za $(n_x,n_y)$ koji je višekratnik od $(A,B)$ jer $A (x_2 - x_1) + B (x_2 - x_1) = 0$ jer možemo oduzeti identitete $A x_1 + B x_1 + C = 0$ i $A x_2 + B x_2 + C$ koji vrijede jer obje točke $(x_1, y_1)$ i $(x_2,y_2)$ leže na pravcu $p$. Da je $(A,B)$ okomit na pravac $A x + B y + C = 0$ možemo vidjeti i primijetivši da je skalarni umnožak $(A,B)\cdot (-B,A) = 0$, a već smo prije ustanovili da je $(-B,A)$ vektor uzduž smjera pravca $p$. Taj isti vektor je uzduž bilo kojeg paralelnog pravca. Dakle, ako je $A x + B y + C = 0$ jednadžba pravca tada su svi njemu paralelni pravci oblika $A x + B y + C' = 0$ gdje je $C'$ neka druga konstanta, a svi njemu okomiti pravci su oblika $-B x + A y + C'' = 0$ gdje je $C''$ još neka druga konstanta. U terminima koeficijenta smjera, paralelni pravci imaju isti koeficijent smjera, a okomiti pravci imaju koeficijente smjera koji su u odnosu $k' = -1/k$.

Ponekad se koristi parametarska jednadžba pravca na ravnini. Dakle, točke pravca se napišu u bijektivnoj korespodenciji s točkama na brojevnom pravcu $\mathbb{R}$, tj. parametrima $t \in \mathbb{R}$. Neka je $\vec{r}_0 = (x_0,y_0)\in p$ neka točka na pravcu $p$ i $\vec{a} = (a_x,a_y)$ neki vektor uzduž pravca $p$. Tada se sve točke $\vec{r} = (x,y,z)$ pravca $p$ mogu na jedinstven način napisati kao vrijednosti vektorske funkcije

$$\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t\vec{a},$$

argumenta, odnosno parametra $t\in\mathbf{R}$. Vektorsku funkciju $\vec{r} = \vec{r}(t)$ možemo zapisati u komponentama kao par skalarnih funkcija $x = x_0 + a_x t$, $y = y_0 + a_y t$ istog parametra $t$. Bilo koji od tih oblika zovemo parametrizacijom ili parametarskom jednadžbom pravca u prostoru. Ako umjesto vektora $\vec{a}$ koristimo bilo koji višekratnik dobit ćemo isti skup točaka (tj. isti pravac u drugoj parametrizaciji). Zaista ako je recimo $\vec{a}$ dva put veći, dakle $2\vec{a}$, onda neku vrijednost $\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t\vec{a}$ možemo zapisati kao vrijednost $\vec{r}(s) = \vec{r}_0 + s\cdot 2\vec{a}$ za $s = t/2$. Vidi stranicu primjeri parametrizacije pravca.

Kut između dva pravca se može dobiti npr. kao kut nekih vektora koji su uzduž tih pravaca. Ako su ti vektori $\vec{a}$ i $\vec{b}$ tada je (vidi skalarni umnožak)

$$cos \angle(\vec{a},\vec{b}) = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|} = \frac{a_x b_x + a_y b_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2}}$$

Vezane stranice uključuju stranice analitička geometrija, linearna regresija.