Zoran Skoda pravac u ravnini

Pravac u ravnini je opisan jednim uvjetom, dakle kao skup točaka (x,y)(x,y) u pravokutnom koordinatnom sustavu koje zadovoljavaju implicitnu jednadžbu pravca

Ax+By+C=0,A,B,C,A0iliB0. A x + B y + C = 0, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,A,B,C\in\mathbb{R},\,\,\, A\neq 0 \, ili \, B\neq 0.

Ukoliko cijelu jednadžbu pomnožimo s nekim brojem H0H\neq 0 dobivamo ekvivalentnu jednadžbu HAx+HBy+HC=0 H A x + H B y + H C = 0.

Pravci za koje je A=0A = 0 su oblika By+C=0B y + C = 0, dakle y=C/By = - C/B, drugim riječima yy je konstanta. To su horizontalni pravci. Ako je i C=0C = 0 pravac je os xx, dana s y=0y = 0.

Pravci za koje je B=0B = 0 su oblika Ax+C=0A x + C = 0, dakle x=C/Ax = - C/A, drugim riječima xx je konstanta. To su vertikalni pravci. Ako je i C=0C = 0 pravac je os yy, dana s x=0x = 0.

Ako je B0B\neq 0, tj. ako pravac nije vertikalan, tada implicitnu jednadžbu možemo zamijeniti ekvivalentnim uvjetom

y=ABxCB y = -\frac{A}{B} x - \frac{C}{B}

što je u obliku y=kx+ly = k x + l gdje su k=A/Bk = -A/B i l=C/Bl = -C/B realni brojevi. Jednadžba y=kx+ly = k x + l je jednadžba pravca u eksplicitnom obliku i može se koristiti samo za pravce koji nisu vertikalni (tj. paralelni osi yy). Broj kk zove se koeficijent smjera pravca i jednak je tangensu kuta između tog pravca i osi xx. Naziv koeficijent smjera je apstraktan i riječi naklon i nagib (engl. slope) odgovara više svakodnevnoj upotrebi. Naklon je omjer pomaka u vertikalnom smjeru i pripadnog pomaka u horizontalnom smjeru, kad se krećemo po pravcu (padini). Ako gledamo pripadni trokut to se zove tangens kuta između pravca i osi xx. Taj tangens se dobije i kao tangens kuta kod točke PP u bilo kojem pravokutnom trokutu s vrhovima P(x 1,y 1)P(x_1,y_1), R(x 2,y 1)R(x_2,y_1), Q(x 2,y 2)Q(x_2,y_2) u kojem su točke P,QP, Q na pravcu s x 1x 2x_1\neq x_2. Dakle, to je omjer

k=y 2y 1x 2x 1 k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Ako je (x,y)(x,y) proizvoljna točka na pravcu, tada ona mora zadovoljavati

yy 1xx 1=k, \frac{y-y_1}{x-x_1} = k,

dakle

yy 1=y 2y 1x 2x 1(xx 1) y - y_1 = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x - x_1)

Ta formula daje stoga jednadžbu pravca ako su zadane koordinate dviju različitih točaka na pravcu.

Pravac koji je okomit na zadani pravac ima naklon jednak 1/k-1/k (minus recipročna vrijednost).

Vektor a=(a x,a y)\vec{a} = (a_x, a_y) je uzduž pravca pp akko se može predstaviti kao usmjerena dužina PQ\vec{P Q} gdje su PP i QQ na pravcu pp. Ako su A,B0A,B\neq 0 tada možemo uzeti npr. točke (0,C/B)(0,-C/B) i (C/A,0)(-C/A,0) pa je jedan takav vektor (C/A,C/B)(-C/A,C/B) ili njegov višekratnik (B,A)(-B,A).

Vektor n=(n x,n y)\vec{n} = (n_x,n_y) je okomit na pravac Ax+By+C=0A x + B y + C = 0 ako je okomit na svaki vektor uzduž tog pravca pa tako i na (x 2x 1,y 2y 1)(x_2-x_1,y_2-y_1), dakle skalarni umnožak n x(x 2x 1)+n y(y 2y 1)=0n_x (x_2-x_1) + n_y (y_2 - y_1) = 0. To vrijedi npr. za (n x,n y)(n_x,n_y) koji je višekratnik od (A,B)(A,B) jer A(x 2x 1)+B(x 2x 1)=0A (x_2 - x_1) + B (x_2 - x_1) = 0 jer možemo oduzeti identitete Ax 1+Bx 1+C=0A x_1 + B x_1 + C = 0 i Ax 2+Bx 2+CA x_2 + B x_2 + C koji vrijede jer obje točke (x 1,y 1)(x_1, y_1) i (x 2,y 2)(x_2,y_2) leže na pravcu pp. Da je (A,B)(A,B) okomit na pravac Ax+By+C=0A x + B y + C = 0 možemo vidjeti i primijetivši da je skalarni umnožak (A,B)(B,A)=0(A,B)\cdot (-B,A) = 0, a već smo prije ustanovili da je (B,A)(-B,A) vektor uzduž smjera pravca pp. Taj isti vektor je uzduž bilo kojeg paralelnog pravca. Dakle, ako je Ax+By+C=0A x + B y + C = 0 jednadžba pravca tada su svi njemu paralelni pravci oblika Ax+By+C=0A x + B y + C' = 0 gdje je CC' neka druga konstanta, a svi njemu okomiti pravci su oblika Bx+Ay+C=0-B x + A y + C'' = 0 gdje je CC'' još neka druga konstanta. U terminima koeficijenta smjera, paralelni pravci imaju isti koeficijent smjera, a okomiti pravci imaju koeficijente smjera koji su u odnosu k=1/kk' = -1/k.

Ponekad se koristi parametarska jednadžba pravca na ravnini. Dakle, točke pravca se napišu u bijektivnoj korespodenciji s točkama na brojevnom pravcu \mathbb{R}, tj. parametrima tt \in \mathbb{R}. Neka je r 0=(x 0,y 0)p\vec{r}_0 = (x_0,y_0)\in p neka točka na pravcu pp i a=(a x,a y)\vec{a} = (a_x,a_y) neki vektor uzduž pravca pp. Tada se sve točke r=(x,y,z)\vec{r} = (x,y,z) pravca pp mogu na jedinstven način napisati kao vrijednosti vektorske funkcije

r(t)=r 0+ta,\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t\vec{a},

argumenta, odnosno parametra tRt\in\mathbf{R}. Vektorsku funkciju r=r(t)\vec{r} = \vec{r}(t) možemo zapisati u komponentama kao par skalarnih funkcija x=x 0+a xtx = x_0 + a_x t, y=y 0+a yty = y_0 + a_y t istog parametra tt. Bilo koji od tih oblika zovemo parametrizacijom ili parametarskom jednadžbom pravca u prostoru. Ako umjesto vektora a\vec{a} koristimo bilo koji višekratnik dobit ćemo isti skup točaka (tj. isti pravac u drugoj parametrizaciji). Zaista ako je recimo a\vec{a} dva put veći, dakle 2a2\vec{a}, onda neku vrijednost r(t)=r 0+ta\vec{r}(t) = \vec{r}_0 + t\vec{a} možemo zapisati kao vrijednost r(s)=r 0+s2a\vec{r}(s) = \vec{r}_0 + s\cdot 2\vec{a} za s=t/2s = t/2. Vidi stranicu primjeri parametrizacije pravca.

Kut između dva pravca se može dobiti npr. kao kut nekih vektora koji su uzduž tih pravaca. Ako su ti vektori a\vec{a} i b\vec{b} tada je (vidi skalarni umnožak)

cos(a,b)=abab=a xb x+a yb ya x 2+a y 2b x 2+b y 2 cos \angle(\vec{a},\vec{b}) = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\| \|\vec{b}\|} = \frac{a_x b_x + a_y b_y}{\sqrt{a_x^2+a_y^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2}}

Vezane stranice uključuju stranice analitička geometrija, linearna regresija.

Created on February 19, 2021 at 16:53:25. See the history of this page for a list of all contributions to it.