Zoran Skoda razdioba

Promatrajmo neki podatak koje je određen/zavisi od slučajnog događaja. Takve podatke zovemo slučajnim obilježjima,a ako je slučajno obilježje dano kvantitativno (brojem, vektorom i slično) tada je zovemo i slučajnom ili stohastičkom veličinom.

Recimo ako bacamo kocku 3 puta jedna takva veličina je broj koliko puta smo dobili šesticu. Možemo je dobiti 1, 2 ili 3 puta. Recimo da je potpuni opis 3 bacanja uređeni niz brojeva koje smo dobili, recimo 1-1-1, 1-1-2, itd do 6-6-6. Dakle imamo 6 puta 6 puta 6 potpunih opisa, što daje 216 elementarnih događaja. Svaki podskup skupa od 216 elemenata je neki događaj i račinamo da su svi jednako vjerovatni. Koja je vjerovatnost da je šestica nula puta ? Pa svaki put smo dobili jedan od preostalih brojeva, što je u pet od šest slučajeva u svakom od bacanja. Dakle vjerovatnost je

$$P(0) = \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216}$$

Slično je vjerovatnost da je jedna šestica, prvo izaberemo kad je šestica, to je u jednom od tri slučaja i onda je za to bacanje $1/6$ vjerojatnost, za druga dva je $5/6$. Dakle rezultat je

$$P(1) = 3\cdot \frac{1\cdot5\cdot 5}{216} = \frac{75}{216} = \frac{25}{72}$$

Slično je

$$P(2) = \binom{3}{2}\cdot\frac{1}{6}\frac{1}{6}\frac{5}{6} = 3\cdot\frac{5}{216} = \frac{15}{216} = \frac{5}{72}$$

i $P(3) = \frac{1^3}{216} = \frac{1}{216}$.

Zbroj $P(0)+P(1)+P(2)+P(3) = 216/216$, jer se jedna od 4 mogućnosti 0,1,2,3 mora desiti sa stopostnotnom vjerojatnošću.

Dakle dobili smo da su vjerojatnosti za sve mogućnosti varijable $X$ (koliko puta smo dobili šesticu)

$$\left| \array{ X & | & 0 & 1 & 2& 3 \\ P(X)&| & 125/216 & 75/216 & 15/216 & 1/216 } \right|$$

Ta tablica daje teorijsku razdiobu ili raspodjelu (ili distribuciju) kolika je vjerojatnost za svaku od mogućnosti za

Nekad tablicu određujemo iz eksperimenta, tada kažemo da je to empirička razdioba.

Statistička veličina može imati nekoliko vrijednosti koje su odvojene, recimo 3,5,7, tada kažemo da je to diskretna numerička veličina i tada govorimo o pripadnim diskretnim numeričkim razdiobama. Ako veličina može imati ma koju vrijednost između (realni broj) onda govorimo o neprekidnim razdiobama. Tada nas radije zanima vjerojatnost za neki mali interval oko nekog broja jer teško da ćemo pogoditi točnu vrijednost i tada govorimo o gustoći vjerojatnosti. Dakle, gustoća u točki $a$ je

$$f(a) = \frac{P( a \leq X\lt a+\delta)}{\delta}$$

gdje je $\delta$ duljina jako malog intervala od $a$ do $a+\delta$.

Alternativno možemo govoriti o kumulativnoj funkciji razdiobe vjerojatnosti

$$\Phi(a) = P(X\leq a)$$

gdje je $a$ neki broj koja pokazuje ukupnu vjerojatnost za sve mogućnosti manje od $a$. Ako govorimo o obilježjima koja su kvalitativna (opisna) onda govorimo o kvalitativnim razdiobama, engleski categorical distribution.

U kolegiju Uvod u vjerovatnost i statistiku, radimo ove teorijske razdiobe: uniformna razdioba, binomna razdioba i Poissonova razdioba i normalna (ili Gaussova razdioba).

Uniformna je najjednostavnija, u nekom intervalu vremena ili prostora vjerojatost je proporcionalna veličini tog prostora, ako je u dozvoljenom dijelu prostora, a nula ako nije. Ukupna vjerojatnost cijelog prostora je naravno $1$.

Ako je dozvoljeno područje od $a$ do $b$ na brojevnom pravcu onda je gustoća vjerojatnosti $\frac{1}{a-b}$ u tom intervalu i $0$ van tog intervala. Dakle, unutar intervala od $a$ do $b$ je vjerojatnost od $x$ do $y$ (gdje su oba kraja unutar intervala) jednaka duljina puta gustoća, kao važete platno, drugim riječima

$$\frac{y-x}{b-a}$$

Međutim ako su $y$ i $x$ van tog intervala onda morate područje podijeliti na dijelove koji su unutra koje računate na taj način i one koji su vani, čiji je doprinos nula.

Na primjer ako je $a = 3$ i $b = 5$ i zanima nas vjerojatnost da je vrijednost izmedđu 2 i 3.5. Tada je od 2 do 3 vjerojatnost nula jer je to zabranjeno područje, a od $3$ do $3.5$ ukupna duljina je $0.5$, a gustoća vjerojatnosti je $\frac{1}{5-3} = 1/2$ pa pomnožimo $0.5$ s $1/2$ i dobijemo vjerojatnost od $0.5/2 = 0.25$.