Zoran Skoda
shema

Na svakom tipu geometrijskih prostora postoji neka vrsta lokalno definiranih funkcija. Npr. na topološkom prostoru XX možemo definirati prsten neprekidnih funkcija. Ako svakom otvorenom skupu UXU\subset X zadamo komutativnu algebru C(U)C(U) neprekidnih funkcija, tada su definirane i morfizmi restrikcije r U,V:C(V)C(U)r_{U,V}: C(V)\to C(U) pa dakle imamo predsnop, štaviše snop algebri C:Ouv X opCAlgC:Ouv_X^{op}\to CAlg. Slično na glatkoj mnogostrukosti imamo snop komutativnih algebri glatkih funkcija. Obratno, struktura glatke mnogostrukosti je određena strukturom topološkog prostora i snopom algebri glatkih funkcija na njemu. Takav par topološkog prostora XX i snopa prstenova 𝒪 X\mathcal{O}_X nad njim zovemo prstenovani prostor (X,𝒪 X)(X,\mathcal{O}_X), a 𝒪 X\mathcal{O}_X zovemo strukturni snop prstenovanog prostora X=(X,τ)X = (X,\tau). Ako je 𝒪 X\mathcal{O}_X snop lokalnih prstenova (prsten je lokalan ako ima jedinstveni maksimalni ideal; za morfizme lokalnih porstenova se traži da šalju maksimalni ideal u maksimalni ideal) onda velimo da je (X,𝒪 X)(X,\mathcal{O}_X) lokalno prstenovani prostor.

Morfizam (lokalno) prstenovanih prostora je par

(f,f ):(X,𝒪 X)(Y,𝒪 Y) (f,f^\sharp): (X,\mathcal{O}_X)\to (Y,\mathcal{O}_Y)

gdje je f:XYf:X\to Y neprekidno preslikavanje, a “komorfizam” f :𝒪 Yf *𝒪 Xf^\sharp: \mathcal{O}_Y\to f_* \mathcal{O}_X je izomorfizam snopova (lokalnih) prstenova nad YY. Ovdje s f *𝒪 Xf_* \mathcal{O}_X nazivamo potisak (push-forward) snopa 𝒪 X\mathcal{O}_X uzduž ff, a on se definira na objektima s (f *𝒪 X)(V)=𝒪 X(f 1V)(f_*\mathcal{O}_X)(V)=\mathcal{O}_X(f^{-1}V) gdje je V otvYV^{otv}\subset Y. Kako je f 1VXf^{-1}V\subset X otvoren skup po neprekidnosti od ff, to je 𝒪 X(f 1V)\mathcal{O}_X(f^{-1}V) zaista definiran.

Afine sheme su intuitivno poopćenje afinih algebarskih varijeteta nad poljem, mada se doslovno razlikuju od njih. Afini algebarski varijetet XX nad poljem kk je skup nula nekog skupa polinomijalnih jednadžbi u afinom nn-dimenzionalnom prostoru A k n\mathbf{A}^n_k. On se može opisati globalnom algebrom regularnih funkcija nad XX, koje se dobiju tako da se algebra k[x 1,,x n]k[x_1,\ldots,x_n] svih polinoma u nn-varijabli (koja je ujedno algebra regularnih funkcija na A k n\mathbf{A}^n_k) pocijepa po idealu II svih funkcija koje su nula na XX. Dakle dobijamo algebru regularnih funkcija k[X]:=k[x 1,,x n]/Ik[X] :=k[x_1,\ldots,x_n]/I. Taj ideal funkcija II generiran je s konačno mnogo polinoma (jednadžbi čiji geometrijski lokus je upravo XA k nX\subset \mathbf{A}^n_k). Točke od A k n\mathbf{A}^n_k se mogu konstruirati kao maksimalni spektar Specmk[X]Specm k[X] tj. skup svih maksimalnih ideala u k[X]k[X]. Naime, ako svaki maksimalni ideal m pm_p je jezgra homomorfizma koji šalje regularnu funkciju fk[X]f\in k[X] u njenu vrijednost f(p)kf(p)\in k u točki pp. Tako su točke i maksimalni ideali u bijekciji.

Maksimalni spektar ima nekoliko mana. Prva i najozbiljnija je da maksimalni spekatr nije funktorijalan, jer praslika maksimalnog ideala po homomorfizmu algebri nad kk nemora biti maksimalan ideal, ali jest prosti ideal. Svaki maksimalni ideal je prosti, no prostih općenito ima više. Drugi problem je da maksimalni spektar nije vrlo dobro usaglašen s prelaskom na generalizacije, tj. s komutativnih konačno generiranih algebri bez nilpotentnih elemenata nad poljem (takve odgovaraju varijetetima) na opće komutativne prstene.

Zbog toga je Grothendieck uveo afini spektar općeg komutativnog prstena RR (s jedinicom) kao lokalno prstenovanog prostora SpecRSpec R, koji se kao skup sastoji od skupa svih prostih ideala IRI\subset R. Na njemu je kanonski zadana topologija Zariskog τ X Zar\tau^{Zar}_X: po definiciji jedna baza te topologije se sastoji od svih baznih otvorenih skupova U fU_f gdje je 0fR0\neq f\in R; U fU_f se sastoji precizno od onih prostih ideala 𝔭\mathfrak{p} na kojima ff nije 00 (to treba objasniti). Po definiciji 𝒪 X(U f)\mathcal{O}_X(U_f) je definiran kao komutativna lokalizacija R[f 1]R[f^{-1}], tj. prsten razlomaka tipa r/f nr/f^n gdje je n0n\geq 0 i rRr\in R; time je 𝒪 X\mathcal{O}_X definiran na svim baznim otvorenim skupovima. Postoji prirodna korespodencija među prostim idealima u toj lokalizaciji i točaka U fU_f, tj. kao skupovi U fSpecR[f 1]U_f\cong Spec R[f^{-1}]. Tako U fU gU_f\subset U_g implicira po funktorijalnosti skupa prostih ideala homomorfizam prstenova

𝒪 X(U g)=SpecR[g 1]SpecR[f 1]=𝒪 X(U f)\mathcal{O}_X(U_g) = Spec R[g^{-1}]\to Spec R[f^{-1}]= \mathcal{O}_X(U_f)

koji je po definiciji odgovarajuće preslikavanje restrikcije. Pokazuje se da postoji jedinstveno proširenje do na predsnop 𝒪 X:Ouv τ X Zar opCRing\mathcal{O}_X: Ouv_{\tau^{Zar}_X}^{op}\to CRing komutativnih lokalnih prstenova na porodici svih otvorenih skupova pri čemu taj funktor zadovoljava uvjete ljepljenja snopa, tj. (X,𝒪 X)(X,\mathcal{O}_X) je lokalno prstenovani prostor.

Afina shema je lokalno prstenovani prostor koji je izomorfan afinom spektru nekog komutativnog prstena s jedinicom. Algebarska shema (X,𝒪 X)(X,\mathcal{O}_X) je lokalno prstenovani prostor koji ima pokrivač {U α} αA\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}, takav da restrikcija na svaki otvoreni skup (U α,𝒪 C| U α)(U_\alpha,\mathcal{O}_C|_{U_\alpha}) tog pokrivača bude afina shema.

Created on February 11, 2012 at 22:02:22. See the history of this page for a list of all contributions to it.