Zoran Skoda shema

Na svakom tipu geometrijskih prostora postoji neka vrsta lokalno definiranih funkcija. Npr. na topološkom prostoru $X$ možemo definirati prsten neprekidnih funkcija. Ako svakom otvorenom skupu $U\subset X$ zadamo komutativnu algebru $C(U)$ neprekidnih funkcija, tada su definirane i morfizmi restrikcije $r_{U,V}: C(V)\to C(U)$ pa dakle imamo predsnop, štaviše snop algebri $C:Ouv_X^{op}\to CAlg$. Slično na glatkoj mnogostrukosti imamo snop komutativnih algebri glatkih funkcija. Obratno, struktura glatke mnogostrukosti je određena strukturom topološkog prostora i snopom algebri glatkih funkcija na njemu. Takav par topološkog prostora $X$ i snopa prstenova $\mathcal{O}_X$ nad njim zovemo prstenovani prostor $(X,\mathcal{O}_X)$, a $\mathcal{O}_X$ zovemo strukturni snop prstenovanog prostora $X = (X,\tau)$. Ako je $\mathcal{O}_X$ snop lokalnih prstenova (prsten je lokalan ako ima jedinstveni maksimalni ideal; za morfizme lokalnih porstenova se traži da šalju maksimalni ideal u maksimalni ideal) onda velimo da je $(X,\mathcal{O}_X)$ lokalno prstenovani prostor.

Morfizam (lokalno) prstenovanih prostora je par

$$(f,f^\sharp): (X,\mathcal{O}_X)\to (Y,\mathcal{O}_Y)$$

gdje je $f:X\to Y$ neprekidno preslikavanje, a “komorfizam” $f^\sharp: \mathcal{O}_Y\to f_* \mathcal{O}_X$ je izomorfizam snopova (lokalnih) prstenova nad $Y$. Ovdje s $f_* \mathcal{O}_X$ nazivamo potisak (push-forward) snopa $\mathcal{O}_X$ uzduž $f$, a on se definira na objektima s $(f_*\mathcal{O}_X)(V)=\mathcal{O}_X(f^{-1}V)$ gdje je $V^{otv}\subset Y$. Kako je $f^{-1}V\subset X$ otvoren skup po neprekidnosti od $f$, to je $\mathcal{O}_X(f^{-1}V)$ zaista definiran.

Afine sheme su intuitivno poopćenje afinih algebarskih varijeteta nad poljem, mada se doslovno razlikuju od njih. Afini algebarski varijetet $X$ nad poljem $k$ je skup nula nekog skupa polinomijalnih jednadžbi u afinom $n$-dimenzionalnom prostoru $\mathbf{A}^n_k$. On se može opisati globalnom algebrom regularnih funkcija nad $X$, koje se dobiju tako da se algebra $k[x_1,\ldots,x_n]$ svih polinoma u $n$-varijabli (koja je ujedno algebra regularnih funkcija na $\mathbf{A}^n_k$) pocijepa po idealu $I$ svih funkcija koje su nula na $X$. Dakle dobijamo algebru regularnih funkcija $k[X] :=k[x_1,\ldots,x_n]/I$. Taj ideal funkcija $I$ generiran je s konačno mnogo polinoma (jednadžbi čiji geometrijski lokus je upravo $X\subset \mathbf{A}^n_k$). Točke od $\mathbf{A}^n_k$ se mogu konstruirati kao maksimalni spektar $Specm k[X]$ tj. skup svih maksimalnih ideala u $k[X]$. Naime, ako svaki maksimalni ideal $m_p$ je jezgra homomorfizma koji šalje regularnu funkciju $f\in k[X]$ u njenu vrijednost $f(p)\in k$ u točki $p$. Tako su točke i maksimalni ideali u bijekciji.

Maksimalni spektar ima nekoliko mana. Prva i najozbiljnija je da maksimalni spekatr nije funktorijalan, jer praslika maksimalnog ideala po homomorfizmu algebri nad $k$ nemora biti maksimalan ideal, ali jest prosti ideal. Svaki maksimalni ideal je prosti, no prostih općenito ima više. Drugi problem je da maksimalni spektar nije vrlo dobro usaglašen s prelaskom na generalizacije, tj. s komutativnih konačno generiranih algebri bez nilpotentnih elemenata nad poljem (takve odgovaraju varijetetima) na opće komutativne prstene.

Zbog toga je Grothendieck uveo afini spektar općeg komutativnog prstena $R$ (s jedinicom) kao lokalno prstenovanog prostora $Spec R$, koji se kao skup sastoji od skupa svih prostih ideala $I\subset R$. Na njemu je kanonski zadana topologija Zariskog $\tau^{Zar}_X$: po definiciji jedna baza te topologije se sastoji od svih baznih otvorenih skupova $U_f$ gdje je $0\neq f\in R$; $U_f$ se sastoji precizno od onih prostih ideala $\mathfrak{p}$ na kojima $f$ nije $0$ (to treba objasniti). Po definiciji $\mathcal{O}_X(U_f)$ je definiran kao komutativna lokalizacija $R[f^{-1}]$, tj. prsten razlomaka tipa $r/f^n$ gdje je $n\geq 0$ i $r\in R$; time je $\mathcal{O}_X$ definiran na svim baznim otvorenim skupovima. Postoji prirodna korespodencija među prostim idealima u toj lokalizaciji i točaka $U_f$, tj. kao skupovi $U_f\cong Spec R[f^{-1}]$. Tako $U_f\subset U_g$ implicira po funktorijalnosti skupa prostih ideala homomorfizam prstenova

$$\mathcal{O}_X(U_g) = Spec R[g^{-1}]\to Spec R[f^{-1}]= \mathcal{O}_X(U_f)$$

koji je po definiciji odgovarajuće preslikavanje restrikcije. Pokazuje se da postoji jedinstveno proširenje do na predsnop $\mathcal{O}_X: Ouv_{\tau^{Zar}_X}^{op}\to CRing$ komutativnih lokalnih prstenova na porodici svih otvorenih skupova pri čemu taj funktor zadovoljava uvjete ljepljenja snopa, tj. $(X,\mathcal{O}_X)$ je lokalno prstenovani prostor.

Afina shema je lokalno prstenovani prostor koji je izomorfan afinom spektru nekog komutativnog prstena s jedinicom. Algebarska shema $(X,\mathcal{O}_X)$ je lokalno prstenovani prostor koji ima pokrivač $\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$, takav da restrikcija na svaki otvoreni skup $(U_\alpha,\mathcal{O}_C|_{U_\alpha})$ tog pokrivača bude afina shema.