Zoran Skoda skalarni umnožak

Sjetimo se (vidi stranicu vektor) da je u euklidskoj ravnini ili 3-dimenzionalnom euklidskom prostoru skalarni umnožak dvaju vektora broj koji dobijemo kao umnožak duljina tih dvaju vektora i kosinusa kuta između njih. Sjetimo se da izbor neke točke prostora kao ishodišta $O$ i triju međusobno okomitih vektora jedinične duljine iz ishodišta $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$, zadaje pravokutni koordinatni sustav koji daje bijekciju između točki prostora i trojki brojeva, tj. bijekciju euklidskog prostora $E$ s vektorskim prostorom $\mathbf{R}^3$. Ako je $T$ točka prostora onda njoj pridružujemo trojku brojeva koje su komponente vektora $\vec{O T}$ od ishodišta $O$ do točke $T$; te komponente proglašavamo koordinatama $x_T = \vec{O T}_x, y_T = \vec{O T}_y, z_T = \vec{O T}_z$ točke $T$ s obzirom na koordinatni sustav dan podacima $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$. Bijekcija točki i trojki koordinata se može simbolički zapisati $T\mapsto (\vec{O T}_x, \vec{O T}_y, \vec{O T}_z)$. Ako je u prostoru zadan koordinatni sustav, onda možemo skalarni umnožak izraziti i preko komponenti vektora koje skalarno množimo. Formula preko komponenti se može poopćiti umjesto za $\mathbf{R}^3$ za bilo koji konačni broj dimenzija, tj. za vektorski prostor $\mathbf{R}^n$.

Neka je $K$ polje (npr. realni brojevi $\mathbb{R}$) i $K^n$ skup $n$-torki elemenata iz $K$ koje pomatramo kao vektor stupce:

$$\vec{a} = \left(\array{a_1\\a_2\\ \ldots \\ a_n}\right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,a_1,\ldots,a_n\in K.$$

Tada je $K^n$ $n$-dimenzionalni vektorski prostor čiju standardnu bazu $e = (e_1,\ldots,e_n)$ čine vektori

$$e_1 = \left(\array{1\\0\\ 0\\ \ldots \\ 0}\right),\,\,\, e_2 = \left(\array{0\\1\\ 0\\ \ldots \\ 0}\right),\,\,\, e_3 = \left(\array{0\\0\\ 1\\ \ldots \\ 0}\right),\,\,\, \ldots,\,\,\, e_n = \left(\array{0\\0\\ 0\\ \ldots \\ 1}\right)$$

pa je $\vec{a} = a_1 e_1 + \ldots + a_n e_n$. Brojeve $a_1,\dots,a_n$ zovemo komponente vektora $\vec{a}$, a ponekad i same vektore $a_1 e_1,\ldots, a_n e_n$ “u smjeru koordinatnih osi” zovemo vektorske komponente vektora $\vec{a}$. U dimenziji $3$ vektore $e_1,e_2,e_3$ označavamo i s $e_x,e_y,e_z$ ili $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$.

Ukoliko je $K = \mathbb{R}$ skalarno množenje (skalarni produkt) je funkcija $\bullet : \mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ dana formulom

$$\vec{a}\bullet \vec{b} = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 +\ldots + a_n\cdot b_n$$

gdje su na desnoj strani obične aritmetičke operacije na realnim brojevima. Rezultat koji dobijemo skalarnim množenjem dvaju vektora zovemo njihovim skalarnim umnoškom. Kako je množenje skalara komutativno iz definicijske formule slijedi $\vec{a}\bullet\vec{b} = \vec{b}\bullet\vec{a}$ za svaka dva vektora $\vec{a},\vec{b}$.

Kvadratni korijen skalarnog umnoška vektora $\vec{a}$ sa samim sobom je njegova duljina $|\vec{a}|$ (zaista, kosinus kuta je u tom slučaju kosinus od $0$ pa je skalarni umnožak $\vec{a}\bullet\vec{a} = |\vec{a}| |\vec{a}| cos(0) = |\vec{a}|^2$ jer je $cos(0) = 1$, pa je dakle $|\vec{a}| = \sqrt{|\vec{a}\cdot\vec{a}|} = \sqrt{a_1^2+a_2^2+\ldots+a_n^2}$.

U slučaju 3d prostora $\vec{a}\bullet \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$, a u slučaju 2d prostora $\vec{a}\bullet\vec{b} = a_x \cdot b_x + a_y \cdot b_y$. Pozitivni korijen broja $\vec{a}\bullet\vec{a}$ je duljina (ili norma) $|\vec{a}|$ vektora $\vec{a}$. Radi razlikovanja od oznake apsolutne vrijednosti broja, neki autori pišu za duljinu vektora $\|\vec{a}\|$ umjesto $|\vec{a}|$. U 3 dimenzije formulu za duljinu vektora možemo pisati i $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$.

U dimenziji $3$ definiramo i vektorski umnožak vektora $\vec{a},\vec{b}$ kao jedinstveni vektor $\vec{a}\times\vec{b}$ čija duljina je jednaka površini paralelograma razapetog s ta dva vektora, čiji smjer je okomit na oba zadana vektora, a smisao (orijentacija) je dan pravilom desne ruke (vidi na wikipediji. Ako je u prostoru zadan pravokutni koordinatni sustav, onda možemo izraziti vektorski umnožak i preko komponenti. Vektorski umnožak vektora $\vec{a},\vec{b}$ je dakle vektor $\vec{a}\times\vec{b}$ čije su komponente dane formulom

$$\vec{a}\times\vec{b} = (a_y b_z - a_z b_y) \vec{i} + (a_z b_x - a_x b_z) \vec{j} + (a_x b_y - a_y b_x) \vec{k}$$

Primijetite ciklični poredak $x y z x y...$ za pozitivni dio komponente. Iz te formule slijedi

$$\vec{a}\times\vec{b} = -\vec{b}\times\vec{a}.$$

Za one koji razumiju jezik determinanti (zasad u Matematici 3), napomenimo da gornju formulu za vektorski umnožak možemo napisati i u terminima $3\times 3$ determinante (i to na više načina, ovdje dana dva načina):

$$\vec{a}\times\vec{b} = \left| \array{\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z}\right| = \left| \array{a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} }\right|$$

Kut $\angle(\vec{a},\vec{b})$ između vektora $\vec{a},\vec{b}$ u $\mathbf{R}^n$ je kut između $0$ i $\pi$ radijana čiji je kosinus određen formulom

$$\vec{a}\bullet\vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| cos(\angle(\vec{a},\vec{b}))$$

Lako se vidi da je u dimenziji $3$ kut između vektora $\vec{a}$ i vektora $\vec{a}\times\vec{b}$ pravi kut (tj. kosinus kuta je $0$), a također je i kut između $\vec{b}$ i $\vec{a}\times\vec{b}$ pravi. Ukoliko vektori $\vec{a}$ i $\vec{b}$ nisu jedan višekratnik drugog tada oni razapinju ravninu, i činjenica da je $\vec{a}\times\vec{b}$ okomit na oba vektora povlači da je okomit na ravninu njima određenu (pravac je okomit na ravninu ako je okomit na sve pravce u toj ravnini, a to je onda i samo onda ako je okomit na dva neparalelna pravca u ravnini).

Tada je duljina vektora $\vec{a}\times\vec{b}$ jednaka

$$|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| sin\angle(\vec{a},\vec{b}),$$

a ta veličina je ujedno površina paralelograma čije dvije orijentirane stranice su predstavnici vektora $\vec{a},\vec{b}$ s početnom točkom u jednom vrhu paralelograma.

U geometrijskom pristupu vektori su klase međusobno ekvivalentnih usmjerenih dužina. Dvije usmjerene dužine $\vec{A B}$ i $\vec{C D}$ su ekvivalentne ako se dužine $\overline{A D}$ i $\overline{B C}$ međusobno raspolavljaju, tj. $A B C D$ je paralelogram. Duljina vektora čiji je predstavnik usmjerena dužina $\vec{A B}$ je geometijski udaljenost od točke $A$ do točke $B$. Kako je u prostoru geometrijski dana mjera kuta, to se formule za skalarni i vektorski produkt podudaraju s formulama gore. Vektorski produkt dva vektora je jedinstveni vektor koji je okomit na dva zadana vektora, čija je duljina dana gornjom formulom sa sinusima, a njegova je orijentacija, ukoliko nije nul-vektor određena “pravilom desne ruke”.

U 3-dimenzionalnom prostoru možemo kombinirati vektorski i skalarni umnožak vektora u mješoviti umnožak 3 vektora. Ako su vektori $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ tada prvo pomnožimo $\vec{a}\times\vec{b}$ vektorski i onda dobiveni vektor pomnožimo vektorom $\vec{c}$ skalarno; dobiveni rezultat množenja triju vektora je skalar (koji može biti negativan, pa i $0$). Isti rezultat dobijemo ako pomnožimo najprije $\vec{b}$ i $\vec{c}$ vektorski, a onda dobiveni rezultat s $\vec{a}$ skalarno:

$$\array{(\vec{a}\times\vec{b})\bullet\vec{c} &=& (a_y b_z - a_z b_y) c_x + (a_z b_x - a_x b_z) c_y + (a_x b_y - a_y b_x) c_z\\ &=& a_x (b_y c_z - b_z c_y) + a_y (b_z c_x - b_x c_z) + a_z (b_x c_y - b_y c_x)\\ &=& \vec{a}\bullet(\vec{b}\times\vec{c}) }$$

Oni koji razumiju determinante mogu jednakost lijevog i desnog izraza shvatiti kao dva načina izračuna determinante $3\times 3$ matrice – razvojem po trećem i razvojem po prvom stupcu. Pri tome primijetite da je minus predznak koji dolazi sa srednjim članom u oba razvoja gore uključen na način da su u pripadnoj razlici zamijenjeni pribrojnici u zagradi.

$$\array{ (\vec{a}\times\vec{b})\bullet\vec{c} &=& \left|\array{ a_y & a_z \\ b_y & b_z}\right| c_x - \left|\array{ a_x & a_z \\ b_x & b_z}\right| c_y + \left|\array{ a_x & a_y \\ b_x & b_y}\right| c_z \\ &=& \left| \array{a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z }\right| \\ &=& a_x \left|\array{ b_y & b_z \\ c_y & c_z}\right| - a_y \left|\array{ b_x & b_z \\ c_x & c_z}\right| + a_z \left|\array{ b_x & b_y \\ c_x & c_z}\right| \\ &=& \vec{a}\bullet(\vec{b}\times\vec{c}) }$$

Apsolutna vrijednost mješovitog produkta $\vec{a}\bullet(\vec{b}\times\vec{c})$ jednaka je volumenu paralelepipeda kojemu s $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ orijentirani bridovi koji polaze iz jednog vrha. To je isto kao i šesterostruki volumen tetraedra (trostrane piramide) čiji vrhovi su vrhovi te tri usmjerene dužine. Također je taj volumen jednak dvostrukom volumenu prizme kojoj je baza trokut razapet s dva od ta tri vektora, a treći vektor je zadani brid. Sve to vrijedi naravno ukoliko taj mješoviti produkt nije nula. Ukoliko je nula, to znači da su vektori $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ zavisni, tj. njihovi predstavnici se mogu izabrati kao komplanarni.

Ako je $M_{b c}$ ravnina koju određuju vektori $\vec{b}$ i $\vec{c}$ i $\angle(\vec{a},M_{b c})$ kut između vektora $\vec{a}$ i ravnine $M_{b c}$ (tj. kut između $\vec{a}$ i projekcije vektora $\vec{a}$ na ravninu $M_{b c}$) tada je

$$\vec{a}\bullet(\vec{b}\times\vec{c}) = \pm |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}| sin\angle(\vec{b},\vec{c}) sin\angle(\vec{a},M_{b c}) = \pm |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}| sin\angle(\vec{b},\vec{c}) cos\angle(\vec{a},\vec{b}\times\vec{c})$$

Predznak je na desnoj strani određen pravilom desne ruke (ili, ekvivalentno, desnog dlana, ili desnog vijka).

Primijetimo da je kut $\angle(\vec{a},M_{b,c})$ između ravnine $M_{b c}$ i vektora $\vec{a}$ komplementu kuta $\angle(\vec{a},\vec{n})$ između normale na ravninu $M_{b c}$ i vektora $\vec{a}$, a normala je proporcionalna vektoru $\vec{b}\times\vec{c}$.

Video docenta Kosora o mješovitom umnošku vektora: yt.

category: zadarmat2, zadarmat3, zadarmat4